1. 引言
考虑如下具有Φ-Laplace算子的奇异拟线性椭圆型方程正解的存在性、多重性和分歧性
( P λ )
其中
是带有
边界的有界区域,
是Φ-Laplace算子,
,
,
。
在过去几十年里,已有一些学者研究了如下形式的拟线性椭圆型方程
(1.1)
其中
关于u是非奇异的,如文献 [1] 等。当
是带有光滑边界的有界区域,
,
,
时,文献 [2] 利用对称山路定理和集中紧性原理
证明了方程(1.1)非平凡解的多重性。对于
,Fukagai等学者在文献 [3] 中利用变分法证明了方程(1.1)正解的存在性,其中
包含临界增长情形。
关于椭圆型方程解的分歧性的研究,Ambrosetti等在文献 [4] 中首先建立了半线性Dirichlet问题解的分歧性,然后学者Guo等推广到p-Laplace算子,如文献 [5],其中
,
,
。
对于非线性项具有奇异的情形,研究成果也有很多,如文献 [6] [7] [8]。当
,在文献 [8] 中,Papageorgiou等利用临界点理论和截断技巧证明了如下
-Laplace方程正解的存在性和分歧性
其中
是带有
边界的有界区域,
,
,
关于u在无穷远处呈线性增长。
现在给出函数
和函数f的基本假设。函数
,
,且满足下列条件
(
) 当
时,
;当
时,
;
(
)
在
上是严格增的;
(
) 存在常数
,使得对于任意的
,成立
(
) 存在常数
,使得
。
进一步,假设
:
是Carathéodory函数,当
时,
,且
1) 存在函数
,
,使得
,
;
2)
对几乎所有的
一致成立,其中
;
3) 存在
,
,使得
对几乎所有的
一致成立;
4)
对几乎所有的
一致成立,存在
,
,使得
;
5) 对于任意的
,存在
,使得对于几乎所有的
,函数
在
上是非减的。
注记1.1:由条件
2),3)知,
在
处为
次超线性增长,故不满足一般的(AR)条件。例如,考虑函数
不依赖于x,常数
,
定义为
容易验证函数
满足条件
但不满足(AR)条件。
在叙述本文的主要结果之前,先定义下列几类集合
其中
是边界
上在x点处的单位外法向量,
;定义
,其中
;
。
的定义将在下节中给出。
定理1.1:设(
)~(
)和
成立,则存在
,使得下列结论成立:
a) 当
时,问题(
)至少存在两个正解
,且
,
;
b) 当
时,问题(
)至少存在一个正解
;
c) 当
时,问题(
)无正解。
定理1.2:设(
)~(
)和
成立,则当
时,问题(
)存在最小正解
。
定理1.3:设(
)~(
)和
成立,若
,
为问题(
)的最小正解,则
是严格增和左连续的,即若
,则
,且对任意的
,有
。
2. 预备知识和基本引理
符号:记C表示正常数,在不同处出现时可能不相同。
设
是带有
边界的有界区域,记
,在
上定义Luxemburg范数
。
记
,在
上定义范数
记
是
在
中的闭包。易知,
和
是可分的、自反的Banach空间(参见文献 [9] )。
根据(
)和Poincaré不等式可以得到定义在
上的范数
与
等价。
若
则称
是
的Sobolev共轭N-函数,其中
满足
,
,且当
时,
。
记
的对偶空间为
,即
(参见文献 [9] ),且
,
。
注记2.1:如果对于所有的
,都有
,则称N-函数
在无穷远处比
增长得更慢,
记
。如果
,则
(参见文献 [10],符号“
”表示“紧嵌入”,符号“
”表示“连续嵌入”)。进一步,有
。在条件(
)~(
)下,还有:
,
(参见文献 [11] )。
注记2.2:在条件(
)~(
)下,可以推得
此外,还可以得到
下面给出本文需要的几个基本引理。
引理2.1 ( [3] ):设(
)~(
)成立,对
,令
则对于任意
,成立
。
引理2.2 ( [3] ):设(
)~(
)成立,对
,令
则对于任意
,
,成立
引理2.3 ( [11] ):设(
)~(
)成立,则
是(
)型算子,即对任意给定的序列
,若
,且
,则在
中有
。
对
,记
;对
,定义
,那么
定义2.1:对给定
是可测函数,如果对每一个紧集
,存在常数
,使得对几乎处处的
,成立
则记
。
给定集合
,如果对每一对
,都可以找到
,使得
,
,则称集合S为下有向集。
给定
,且
,定义
定义2.2:设X是Banach空间,
。若序列
满足
在
上有界,且当
时,
(在
中),则称序列
为泛函
的Cerami序列。若对任意Cerami序列
都存在强收敛子列,则称泛函
满足Cerami条件。
若函数
,
,
,使得对任意
且满足
,成立
则函数u是问题(
)的弱解。
容易验证,问题(
)对应的能量泛函为
其中
。显然,奇异项的存在导致能量泛函
不是
的,从而我们不能直接对泛函
运用临界点理论中的极小极大定理。为了克服这一困难,我们通过研究相应的辅助问题,结合截断技巧和比较原理来去除奇性。
为此,先考虑如下纯奇异的辅助问题
( Q λ )
考虑Banach空间
,正锥
,它的非空内部为
。
根据文献 [12] 中引理14.16知存在
,使得
,其中
。因此,
。再根据文献 [13] 的命题4.1.22知对
,存在常数
,使得
从而有
。
给定
,设
是
的第一特征值,
是对应的特征函数。根据正则性理论(参见文献 [14] )和极大值原理(参见文献 [15] )可得
,从而有
。再次利用文献 [13] 的命题4.1.22,可以找到
,使得对任意
,有
,即
。根据文献 [16] 的引理可知
(2.1)
引理2.4:设(
)~(
)成立,对每一个
,则存在
是问题(
)的唯一解,且映射
是非减的,即若
,则
。
证明:首先,证明问题(
)存在解。根据文献 [17] 中引理3.6可得,对任意
,下述拟线性Dirichlet问题存在唯一解
进一步,由正则性理论和极大值原理可得
。
固定
,则存在
,使得
,
,故
。
接下来,考虑如下截断函数
那么方程
对应的能量泛函为
其中
。容易验证泛函
是
、强制且弱下半连续的,因此,存在极小值点
,使得对任意
,成立
(2.2)
在(2.2)式中取
作为测试函数便得到
。利用
和引理3.3,取
,当t足够小时,有
因此,存在
,使得
。由于
,故
。
在(3.2)式中取
作为测试函数,有
由(
)可得
,故
是问题(
)的解,进一步,由正则性理论和极大值原理知
。
其次,证明
是问题(
)的唯一解。设
是问题(
)的另一个解,通过计算可得
故
。因此可得
是问题(
)的唯一解。
最后,证明映射
是非减的。由(2.1)式,有
。设
,考虑如下Dirichlet问题
(2.3)
其中
为截断函数
由前面证明过程知问题(2.3)存在解
。因此,成立
(2.4)
在(2.4)式中取
为测试函数,可以得到
由(
)可得
,故
是问题(
)的解,又由问题(
)解的存在唯一性可知
,从而得到
。证毕。
3. 定理1.1的证明
本节的主要工作是证明定理1.1,先给出几个关键引理。
引理3.1:设(
)-(
)和
1)、4)成立,则
。
证明:给定
,根据引理2.4,则存在
是问题(
)的唯一解. 考虑如下截断函数
(3.1)
那么方程
对应的能量泛函为
其中
。
容易验证泛函
是
的。根据条件
1)、4)可得,对任意
,存在
,使得
(3.2)
由(3.1)式、(3.2)式和引理2.2,有
又
因此
(3.3)
由于
,故存在
,
,使得
(3.4)
对上述
,
,选取
以及
,使得
(3.5)
结合(3.3)式~(3.5)式可得,当
时有
(3.6)
令
。因为
是自反的,由Eberlein-Smulian定理知集合
是序列弱紧。此外,泛函
是弱下半连续的。因此,由Weierstrass-Tonelli定理知存在
,使得
(3.7)
类似引理2.4的证明方法可知
,
,再根据(3.6)式可得
(3.8)
结合(3.7)式和(3.8)式可得
,即
(3.9)
取
作为测试函数代入(3.9)式,可得到
,从而
,
。
再取
作为测试函数代入(3.9)式,有
利用(
)可得
。从而根据(3.1)式和(3.9)式可得
,故
。证毕。
引理3.2:设(
)~(
)和
成立,且
,设
是(
)的唯一解,则对任意
,成立
。
证明:对于任意给定的
,考虑如下Dirichlet问题
(3.10)
其中
(3.11)
类似引理2.4的证明,可得问题(3.10)存在正解
。因此,取
作为测试函数代入问题(3.10)的弱解形式,又
,故
由(
)可得
。进一步,再由(3.11)式和引理2.4知
,从而对任意
,都成立
。
引理3.3:设(
)~(
)和
成立,则对
,有
。
证明:设
,那么,
,且
(3.12)
设
是(
)的唯一解,由引理3.2知
。考虑如下Dirichlet问题
(3.13)
由文献 [12] 定理9.15知问题(3.13)存在唯一解
。因为
,故由Sobolev嵌入定理有
,其中
。令
,此时(3.12)式可写为
根据
假设,由文献 [14] 推得
。又因为
其中
,
,
,
,故Φ-Laplace算子满足文献 [18] 中的定理1.7的条件,因此有
。
此外,由(3.12)式知
,定义
,那么存在足够小的
,使得
[11]。利用文献 [15] 的强极大值原理,对任意的
,有
;再由文献 [15] 定理5.5.1的结论推得
,故
。证毕。
接下来,证明
是连通集。
引理3.4:设(
)~(
)和
成立,
,若
,则
。
证明:因为
,故存在
,设
和
分别为(
)和(
)的唯一解。由引理2.4和引理3.2知
。
考虑如下截断函数
(3.14)
那么方程
对应的能量泛函为
其中
。
容易验证泛函
是
、强制且弱下半连续的,因此,存在极小值点
,使得对任意
,成立
(3.15)
在(3.15)式中取
作为测试函数得到
再次利用(
),便得到
。
再在(3.15)式中取
作为测试函数得到
由(
)可得
。
综合上述分析,我们有
(3.16)
结合(3.14)~(3.16)式,可以得到
,故
。证毕。
利用上述引理容易得到下面推论。
推论3.1:设(
)~(
)和
成立,则对每一个
,存在
;当
时,存在
,使得
。
进一步,可得下述结果。
引理3.5:设(
)~(
)和
成立,
,
,则
。
证明:由推论3.1,存在
,
,使得
。令
,则由
-5)知存在
,成立
(3.17)
由于
,故从(3.17)式和文献 [19] 中命题7推得
。证毕。
引理3.6:设(
)~(
)和
成立,设
,则
。
证明:由条件
2)~4)知,存在
,使得
(3.18)
设
,且
,则存在
。设
,且
,
。对
,
定义
,
。设
为
-5)中所给出。结合(3.18)式、
-5)及
,对
,有
(3.19)
其中
。故对
充分小,有
。
由(3.19)式和文献 [19] 命题6知
,这与
定义矛盾,由此推得
。证毕。
引理3.7:设(
)~(
)和
成立,则对每一个
,问题(
)至少存在两个解
,且
,
。
证明:令
,则由引理3.5,存在
和
,使得
(3.20)
设
是(
)的唯一解,根据引理3.2可得
,从而
。作截断函数
(3.21)
那么方程
对应的能量泛函为
其中
。容易验证泛函
是
的。类似引理3.4的证明方法可知
(3.22)
作另一截断函数
(3.23)
则方程
对应的能量泛函为
其中
。同样可知泛函
是
的,且存在
,使得
(3.24)
由(3.21)式和(3.22)式,不妨假设
(3.25)
否则问题(
)存在另一个正解且大于
。由(3.21)式和(3.23)式容易得出
(3.26)
因此
,故有
。进一步,由文献 [20] 中定理3.2,推出
是
在
上的局部极小点。
设
是有限集(否则问题(
)存在无限个正解且大于
),因此,由文献 [13] 的定理5.7.6知存在
,使得
(3.27)
又由
-2)知
(3.28)
接下来证明:泛函
满足Cerami条件。
给定
,设序列
,满足
(3.29)
(3.30)
首先,证明
在
中有界。由(3.30)式知
,
,
即
(3.31)
取测试函数
代入(3.31)式,并利用注2.2和引理2.2,有
。由此推得
在
中有界。
其次,证明
在
中有界。由(3.21)式和(3.29)式得
(3.32)
此外,取测试函数
代入(3.31)式中得
(3.33)
由注2.2,通过计算可得
(3.34)
又由
-3)和4)知
,
。设
,因为
,从而有
,结合
和
可得
,从(3.34)式可得
。选取
充分大,使得
,便有
。注意到
,故
。
下面分两种情况来证明
在
中有界。
情形1:若
,则
在
中有界,由条件
-1)、注2.2和引理2.2,有
因此可得
在
中有界。
情形2:若
,令
满足
(3.35)
由插值不等式,得到
,从而
,因此
由条件
-3)和(3.35)式知
,故
在
中有界。
综合上述分析可得
在
中有界。因此,存在
的子列(仍记为其本身)以及
,有
(3.36)
在(3.31)式中取
为测试函数,并结合(3.36)式,有
(3.37)
注意到算子
满足(
)型条件,由(3.36)式、(3.37)式和引理2.3,得到在
中
。因此,泛函
满足Cerami条件。
结合(3.27)式、(3.28)式和
满足Cerami条件,利用山路引理,则存在
满足
,且
。又因为
,便有
,且
。证毕。
引理3.8:设(
)~(
)和
成立,则
。
证明:设
,且
,
是问题(
)的唯一解。由引理3.2和推论3.1知存在序列
,使得
,且
。考虑如下截断函数
(3.38)
那么方程
对应的能量泛函为
其中
。容易验证泛函
是
的。类似引理3.4的证明方法可知
。
作另一截断函数
(3.39)
则方程
对应的能量泛函为
其中
。同样可知泛函
是
的,且存在
,使得
,且
。
结合
、注2.2以及
是(
)的解,有
又由(3.38)式和(3.39)式知
,因此
(3.40)
又
,故
(3.41)
对(3.40)式和(3.41)式重复引理3.7的证明过程,可得在
中
,且
。在(3.39)式中令
,推得
,
。因此
,即
。证毕。
定理1.1的证明 根据引理3.7,对每一个
,问题(
)至少存在两个解
,且
;由引理3.8知当
时,问题(
)至少存在一个解
;最后,由
的定义及引理3.8知问题(
)无正解。
4. 定理1.2的证明
由于
是下有向集,若
是(
)的唯一解,由文献 [21] 知,可以找到序列
,使得
(4.1)
且
(4.2)
取测试函数
代入(4.2)式中,结合(4.1)式得
在
中有界。因此,存在
的子列(仍记为其本身),有
(在
中);
(在
中)。
重复引理3.7的证明,得到
(在
中),由此可得
由引理3.2,对任意的
,
,从而
,即
。
5. 定理1.3的证明
若
,且
,由定理1.2知存在
,
,利用引理3.5,有
(5.1)
设
,且
,
。设
是问题(
)的最小正解,
是问题(
)的唯一解,则由引理3.2和(5.1)式,有
(5.2)
且
(5.3)
取测试函数
代入(5.3)式中,结合(5.2)式得
在
中有界。由正则性理论(参见文献 [22] ),存在
和常数
(C与n无关),使得
,且
。又由
是紧的,因此存在子列(仍记为其本身)
及
,使得在
中
。
最后,我们断言
。用反证法,若
,则存在
,使得
。对上述的
,当n足够大时,有
。又
,故由(5.1)式知对任意
,有
。这样便得到矛盾的结果,因此
。
6. 结论
本文研究了一类具有Φ-Laplace算子和奇异非线性项的拟线性椭圆型方程。因为奇异项的存在导致能量泛函不是
的,从而不能直接对泛函运用临界点理论的极小极大原理。为了克服这一困难,我们通过研究相应的辅助问题,结合截断技巧和比较原理来去除奇性,从而证明了方程正解的存在性及相关问题。