1. 引言
Riesz空间的研究开始于1930年,F. Riesz [1] 做了开创性的工作,他将格序结构引入到向量空间,建立了Riesz空间的一些基础理论。对于Riesz空间和Banach格的基本理论参考文献 [2] [3] [4] 有详细研究。
模糊数理论是模糊分析学的基础。1965年,美国控制论专家Zadeh [5] 提出了模糊集的概念。1972年Zadeh和Chang [6] 结合概率分布函数的性质,把实数域R上一族的模糊集(它们均具有一些特殊的性质)称之为模糊数。自此,展开了对模糊集的广泛研究。2003年,Bag和Samanta [7] 在线性空间中引入了一个模糊范数的新的定义。
模糊理论与Riesz空间的结合是以1971年Zadeh的文章 [8] 为标志,他在文章中首次定义了模糊序关系的概念。最近,C. Park [9] 定义了Riesz模糊赋范空间,他分别用模糊范数与单调序列定义了模糊Riesz空间中的模糊范数收敛与模糊序收敛,并给出一些例子与基本结果。C. Park [9] 主要是从模糊序列的角度研究模糊赋范Riesz空间上的收敛问题。本文主要是从模糊范数的角度研究模糊赋范Riesz空间上的问题。
2. 预备知识
首先给出经典Riesz空间的定义和结论。
定义2.1 [4] 设“≤”为一个关系,E是一个具有关系“≤”的非空集合,若关系“≤”满足以下条件:
1)
,对每个
,
2) 如果
且
,则
,
3) 如果
且
,则
。
则称E为偏序集。
设A是E的非空子集,
。如果对任意的
,都有
,那么称
是A的一个上界。如果对于A的任意上界
,都有
,那么称
是A的最小上界或上确界,记为
。
类似的,可以定义一个集合的下界和下确界,A的下确界记为
。
定义2.2 [4] 设E是一个偏序集。若每个包含两个元素的子集都有上确界和下确界,则称E为格。通常用
与
分别表示
的上确界与下确界。
定义2.3 [4] 设E是一个实向量空间,若赋予偏序关系“≤”,使得向量空间结构与序结构相容,即满足下列条件:
1) 如果
,则对任意
,有
;
2) 如果
,则对任意
,有
。
则称E是序向量空间。其中,θ为E的零向量(在以后的行文中,若无特别说明,θ均表示向量空间的零向量)。特别的,若E还是格,则称E为Riesz空间或向量格。
对Riesz空间E,给出如下定义和记号。
1) 称子集
为E的正部,
的元素称为E的正元。
2) 对
,记
,
,
。
3) 若
且满足
,则称x和y是不交的,记作
。
对于Riesz空间,有如下简单性质。
引理2.4 [4] 设E是一个Riesz空间,对E中的f,g和h,有
1)
,
,
,因此
。
2)
,
。
3)
,
,
。
4)
。
定义2.5 [4] 设E是一个Riesz空间,且E的子集与E有相同的序关系。
1) 设V是E的线性子空间。如果对V的任意两个元素f、g,有
与
属于V,则称V为E的Riesz子空间。
2) 设S是E的子集。如果对任意
,
,当
且
,有
,则称S为实心的。
3) 设A是E的子集。如果A是E的一个实心的线性子空间,则称A为E的理想。
现在回顾Riesz空间中的两个重要概念,向上集和向下集。
定义2.6 [4] 设E是一个Riesz空间,D是E的非空子集。如果对D中任意两个元素f和g,存在一个元素
,使得
,则称D为向上集,记为
。类似地可定义向下集,记为
。
下面,回顾Riesz空间中序列收敛的有关概念。
定义2.7 [4] 设E是一个Riesz空间,
为E中序列。如果
,则称
为单调递增的,记为
。如果
,则称
为单调递减的,记为
。如果
,
存在,则称
单增趋于f,记为
;相同地,如果
,并且
在E中存在,则称
单减趋于f,记为
。如果
或
,则称
单调趋于f。
定义2.8 [4] 设E是一个Riesz空间,
为E上的一个范数。如果对任意
,且
,都有
,则称
为Riesz范数(或格范数)。一个被赋予Riesz范数的空间叫做赋范Riesz空间。
定义2.9 [4] 设E是一个Riesz空间,
为E中序列,
。若存在E中单减趋于零的序列
(即
),使得对任意自然数n,都有
,则称
序收敛于f,也称f为
的序极限,记为
。对于E中序列
,若存在
,使得
,则称
序收敛。
定义2.10 [4] 设E是一个Riesz空间,
,
为E中序列,如果对任意的数
,存在
,使得当
时,有
,则称
u-一致收敛到f,记为
。等价地,
当且仅当存在单减趋于零的实数列
,使对任意n,有
。若对
,当
有
,则称
是u-uniformly Cauchy列。
现在,回顾模糊赋范Riesz空间的概念和一些性质。首先回顾模糊赋范线性空间的一些概念和性质。
定义2.11 [7] 设E为数域F的线性空间。设N为
的模糊子集,如果对任意的
和
,满足:
(N1)
;
与
;
(N2)
,
,当且仅当
;
(N3)
;
,
和
;
(N4)
,其中
;
(N5)
是
上一个非递减函数,且
。
则称N为E上的模糊范数,并且
是一个模糊赋范线性空间。
模糊赋范线性空间中有一个重要定理——分解定理。
引理2.12 [7] 设
为一个模糊赋范空间,且满足条件:
(N6)
,
,就有
。
令
,
。
则
是E上的一个单增范数族。称这个范数为E上的
-范数。
引理2.13 [7] 令
是一个模糊赋范线性空间,且满足(N6)和条件:
(N7) 假设对
,
是R (实数集)上的一个连续泛函并且在R的子集
上是严格单调递增的。
令
是一个如下定义的泛函:
则:
1)
是E上的一个模糊范数,
2)
。
定义2.14 [9] 设
是一个模糊赋范空间,
为E中序列,
。若对所有
,都有
,则称
按模糊范数收敛于x,也称x为序列
的模糊范极限,记为
。
定义2.15 设
是一个模糊赋范空间,
为
中的序列。若对每个
和
,
,使得当
,有
,则称
为模糊范柯西序列。
定义2.16 设
是一个模糊赋范空间,F为E的子集。若对F中任一序列
,只要
,就有
,则称F为模糊闭集。
现在,回顾本文的重要概念——模糊赋范Riesz空间。
定义2.17 [9] 设
是一个Riesz空间。N为E上模糊范数。如果N满足条件:
(N8) 当
,有
,其中
,
。
则称N为Riesz模糊范数,并且称
为一个模糊赋范Riesz空间(以下简称FNRS)。
关于模糊赋范Riesz空间,有如下主要性质。
引理2.18 [9] 在模糊赋范Riesz空间E中,若
且
,则:
1)
;
2)
;
注:由以上引理,容易得出,若
,则有
、
和
。
3. 模糊赋范Riesz空间中的分解定理
本节主要讨论模糊赋范Riesz空间中的分解定理。
定理3.1 设
为一个模糊赋范Riesz空间,且满足(N6)条件,令
,
,则
是E上的一个单增Riesz范数族。我们将这个Riesz范数称为E上的
-Riesz范数。
证明:由模糊Riesz范数的定义知,
为模糊赋范线性空间,且N满足条件(N6),由引理2.12知,
为E上的一族单增范数族。因此,为证本定理,只须证若
,且
,则有
。
事实上,由(N8)知若
,则
,所以有
。故
为E上的
-Riesz范数。
定理3.2 设
是一个满足(N6)和(N7)的模糊赋范Riesz空间。令
,
,并且
是一个如下定义的泛函:
则:
1)
是E上的一个Riesz模糊范数,
2)
。
证明:由引理2.13知
是E上的一个模糊范数,因此,为证本定理,只需证当
有
。
事实上,由定理3.1知,若
,有
,所以当
时,
;当
时,
。所以当
有
,本定理得证。
4. 模糊赋范Riesz空间中的各种收敛
本节主要讨论了模糊赋范Riesz空间中的各种收敛性质,给出了模糊赋范Riesz空间中向上集(向下集)收敛的概念,并讨论其相关性质。
定理4.1 在模糊赋范Riesz空间E中,若
且
。则:
1) 若对任意的n,都有
,则
。因此,若
对所有n成立,则
。
2) 若D是模糊赋范Riesz空间E的一个子集,使得
对所有
和所有n成立,则
对所有
成立。
证明:
1) 首先证明:若
对任意n成立,则
。事实上,由引理2.4知
由(N8)知,对
,有
。
由于对
,
,故
。又因为
对所有n成立,所以
,有
即
,有
,故
,从而由
知
,因此
。
下证:
。由于
,
,故
。而
,故
。即
。
2) 由引理2.18的注知,
,显然,若令
,
,则
。显然,对
,
,故由引理2.18 (2)知
。即
,即
。
定理4.2 若E是FNRS,
,则
1)
并且
,则
。对单调递减的序列也成立。
2) 若
,则
。
3) 若
是u-uniformly Cauchy且
,则
。
证明:1) 由于
,故对
,当
时有
。由
和定理4.1的(1)知,
。因此f为
的上界。下证,f为
的上确界。事实上,若g为
的上界,即对
有
。再由定理4.1的(1)知
,因此,f是
的最小上界,即
,从而
。
若
,且
,则
,且
。由以上定理知
,即
,从而
。
2) 由于
,故存在单减趋于零的数列
,使得对
,有
,由(N8)知,对
,有
, (1)
而
。故
。因此,由不等式(1)知
,
。即
。
3) 对
,有
,
从而由(N8)知,对
,有
,
再由
及上述不等式知,对
,有
,
即
,
, (2)
由
为u-uniformly Cauchy列知,对
,
,
,有
(3)
从而,当
,由(2)、(3)及定理4.1(1)知
,即
。
定理4.3 在FNRS中,若
并且
,则
。
证明:不妨设
,因此,要证本定理,只需证
。下证
。事实上,由引理2.17知,
(1),由
知,存在
,使得对
有
。对任意的n,当
时,有
。由(1)式及定理4.1(1)有
,
。故
,即
,即
。
下面介绍模糊赋范Riesz空间中向上集(向下集)收敛的性质。
定义4.4 设E是FNRS,D是E的一个向上集,若对
和
,
,
,使得当
且
时有
,则称
。类似可定义向下集模糊范数收敛。
定理4.5 设E是FNRS,D是E的一个向上集且
,则
。若D是E的一个向下集且
,则
。
证明:首先证明
是D的上界。
,下证明
。因为
,所以对
,
,使得
且
时有
,
下面选取
,使得
,故
且
,有
,
接下来,对
,
,使得
且
时有
,
下面选取
,使得
,故
且
,故
,
用此方法做下去,可得在D中序列
使得
,
,
故
,且
。由定理4.1(1)和定理4.2(1)知
,因为
是D中任意的,故
是D的一个上界。下证明
是D最小的上界。对D中任意其他上界g,则对n,有
,又因为
,由定理4.1(1)得
,故
是D最小上界,
。
类似可证明向下集。
参考文献