1. 离散模型的分析
众所周知,流行病学是研究疾病传播的学科,目的是寻找促使疾病发生的因素等,在人口不重叠的情况下,离散时间模型比连续时间模型更合理 [1] [2]。
本节主要研究具有非线性发生率的SI系统,并希望研究以下连续模型的离散版本的动力学性态:
(1.1)
其中S、I表示t时刻的易感密度和感染密度。参数b、d和
分别表示该疾病的增长率、死亡率和有效传播率 [3]。此外,
是代表感染者死亡率的参数,参数a衡量抑制作用,假设所有的参数都为正的。我们研究以下具有饱和发生率的离散模型的动力学,
(1.2)
系统(1.2)中的所有参数均与系统(1.1)中的相同。
通过对系统(1.2)的简单计算,可以得到两个非负平衡点
,
,其中
和
是方程的正根
,系统(1.2)的雅可比矩阵如下 [4]
雅可比矩阵的特征方程可以写成
其中
以及
为了研究平衡点的稳定性,我们首先给出了以下引理
引理1 让
,假设
,
和
是
的根
1)
且
当且仅当
且
;
2)
且
(或
且
)当且仅当
;
3)
且
当且仅当
且
;
4)
且
当且仅当
且
。
那么可以得到
定理1 假设
,那么平衡点
1) 当参数满足
时,
是一个汇点;
2) 当参数满足
时,
是一个源点。
现在我们将讨论平衡点
的稳定性及其分支。平衡点
是稳定的如果它满足下列式子:
当
满足
其中
并且
,
且
这样保证了特征根
位于复平面的单位圆内,从而可以判断平衡点的局部稳定性。
我们可以得到
定理2 如果满足以下条件,平衡点
是渐近稳定的:
1)
;
2)
;
3)
。
随机模型分析
在这一部分中,我们研究连续模型(1.1)的随机版本的动力学 [5] [6]。在一些主要参数中引入了随机扰动,我们允许变量
在正平衡点
处围绕其值的随机扰动。假设在模型(1.1)中变量在
处的值周围的随机扰动属于白噪声类型,其与
与值
的距离成正比,所以系统(1.1)会导致
(2.1)
其中
,
是实常数,
,
是相互独立的标准维纳过程。通过研究(2.1)的平衡点
的渐近随机行为来得出系统(2.1)的动力学行为对于这种随机性是否具有稳定性。我们将(2.1)视为ITO随机微分系统。系统(2.1)正平衡
处可以变量替换使其中心化 [7]:
随机微分系统在
处线性化
其中
。
定理3 假设
和
,那么(2.1)的零解是渐近均方稳定的。
证明. 让我们考虑Lyapunov函数
,其中
为选定的实正常数。进一步有
(3.1)
因此
和
(3.2)
易得
其中
,
,
。
即
其中
and
。Z是正定的,如果i)
和ii)
。证毕。
2. 离散模型的模拟
从模拟图形(图1)可以看出系统(2.1)的平衡点渐近稳定,轨道收敛到正平衡点,也揭示了该系统的稳定特性。
3. 结论
具有非线性传染率的离散随机SI系统展示了两种不同的动力性态。其中
代表感染力,疾病的有效传播率对控制疫情起着至关重要的作用。当感染个体的数量非常巨大时。从生物学角度来看,我们可以解释,对于大量的感染性疾病,人群可能倾向于减少单位时间内的接触次数,促使易感者采取保护措施。然而,对一种特定的疾病进行类似的分析将是有趣的,借助数据来解释这两类模型作为政策指导工具的预测性质以及实施。
致谢
作者对同行评阅人的意见和建议表示深深的感谢。本文由2021大学生创新创业训练项目(X202110452284)支持。
NOTES
*通讯作者。