1. 引言
早在1948年,V. F. Kagan给出了3维欧式空间
中平行曲面的分类,并指出
中的开区域、球面
以及圆柱面
为
中一类特殊的平行平面 [1]。对于
时的情形,U. Simon and A. Weinstein给出了
中平行超曲面的分类 [2]。在文献 [3] 中,D. Ferus得到了欧式空间平行子流形的一般分类定理。从那时起,研究平行子流形成为微分几何中一个非常有趣和重要的研究课题。
在文献 [4] 中,R. L. Bishop,B. O’Neill为了构造一类具有负曲率的流形结构,引入了卷积空间的概念。卷积空间为笛卡尔积空间的自然推广,具有重要的几何物理性质。对于广义的卷积空间,L. J. Alias等学者给出了具有常平均曲率的特殊曲面和超曲面的基本性质 [5] [6]。重要的是,在文献 [7] [8] 中,Chen和J. Van der Veken从微分几何的角度刻画了卷积空间非退化曲面的曲率形式。基于这些研究,本文主要刻画双卷积空间非退化曲面的曲率形式。首先我们给出双卷积空间上的基本公式、定义和相关理论;其次,主要研究双卷积空间上非退化曲面的几何性质。
2. 基本概念和基本公式
给定配置黎曼度量
的黎曼流形B和开区间I,设
分别为定义在流形B上的正函数。考虑乘积流形
和投射
,诱导配置卷积度量
的双卷积空间
,称
为对应卷积空间的卷积函数。
设伪黎曼流形
的子流形为B,流形B上的切丛TB。给定局部坐标卡
中的坐标系统
,对任意的
,对应
上向量场可表示为
,其中在任意点
对应切丛
上的基底
为
中的向量场,则协变导数D满足
这里
为
中的向量场。记
为对应协变导数D的Christoffel符号,如果对基底所有的坐标对
,都有
,称D为
中唯一联络。记伪黎曼流形
和子流形B上对应Levi-Civita联络分别为
。
定义1:联络对应的曲率形式定义为
记对应
上向量场可表示为
,对应的曲率算式 [5] [6] 为
,
(1.1)
且有
。
具有以下性质:
1)
, (1.2)
2)
, (1.3)
3)
.(1.4)
结合向量场的基底形式,曲率等价形式为
a)
,
b)
,
c)
.
3. 双卷积空间的基本引理
对于配置卷积度量
的双卷积空间
,设t为参数,
为区间I上的向量场的提升,满足
,
, (2.1)
其中,双卷积空间
上与
、
相切的向量场为垂直向量场。记
,那么双卷积空间上的向量场V具有如下分解
, (2.2)
其中
是属于V与
正交的垂直分解元。
和
分别指代双卷积空间
上的底流形的向量场集 [7]。
引理2.1. 记t为区间I上的弧长参数,设向量场
,双卷积空间
上的度量满足:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
证明:利用文献 [2] [3] 中的Kozul公式,
.
分别代入对应的向量场
,引理得证。
引理2.2. 对于向量场
,相应的Levi-Civita联络
满足
1)
,
2)
,
3)
.
证明:设
,结合引理2.1得到
,
分别代入对应的向量场
,引理得证。
4. 双卷积空间非退化曲面的几何性质
本节主要结合双卷积空间
非退化曲面的结构形式,给出刻画曲面几何性质的主要引理 [7] [8]。
引理3.1. 设向量场
,双卷积空间
上的曲率张量
满足:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
(c为常数)。
证明:
利用引理2.2和曲率算式(1.1)得到
. (3.1)
类似(3.1)计算方法,分别代入对应的向量场
,引理3.1得证。
定理3.2. 双卷积空间
平坦的充要条件是正函数为一次函数
,且常数
。
证明:双卷积空间
平坦的条件对应
,从而
,则正函数为一次函数。
定理3.3. 设向量场
,双卷积空间
上的Ricci曲率满足:
1)
,
2)
,
3)
.
证明:给定双卷积空间
的正交标架
,利用引理3.1和Ricci曲率公式
得到
, (3.2)
. (3.3)
类似(3.3)计算方法,定理3.3得证。