一类带有对数非线性项的拟线性椭圆方程解的存在性及多重性

Existence and Multiplicity of Solutions for a Class of Quasilinear Elliptic Equations with Logarithmic Nonlinearity

摘要: 本文讨论一类带有对数非线性项的拟线性椭圆方程解的存在性和多重性。对主项系数A(x,t)提出合适的条件，使用弱下半连续泛函的非光滑临界点定理证明该问题存在山路解和无穷多非平凡解。

Abstract: In this paper, we consider the existence and multiplicity of solutions of a class of quasilinear elliptic equations with logarithmic nonlinearity. Under some appropriate conditions for the principal coefficient A(x,t), we use the nonsmooth critical point theorem of weak lower semicontinuous functional to prove the problem has mountain path solutions and infinite nontrivial solutions.

1. 引言

本文考虑如下拟线性椭圆方程弱解的存在性与多重性

$\{\begin{array}{l}-\text{div}\left(A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u\right)+\frac{1}{2}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2=u\log u^2\mathrm{,}\text{in}\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\Omega \mathrm{,}\\ u=\mathrm{0,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\text{on}\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\partial \Omega \mathrm{,}\end{array}$ (1.1)

其中 $\Omega \subset {ℝ}^N$ 是一个具有光滑边界的有界区域， $N\ge 2$，且 $A\left(x\mathrm{,}s\right)$ 满足以下条件：

(A₀) $A\left(x\mathrm{,}s\right)$ 是 $C^1$ 的Carathéodory函数，即

$A\left(\cdot \mathrm{,}s\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}x\in \Omega \mapsto A\left(x\mathrm{,}s\right)\in ℝ$ 对于所有 $s\in ℝ$ 是可测的，

$A\left(x\mathrm{,}\cdot \right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}s\in ℝ\mapsto A\left(x\mathrm{,}s\right)\in ℝ$ 对几乎处处的 $x\in \Omega$ 是 $C^1$ 的；

(A₁) 存在正常数 ${\alpha }_0\le {\alpha }_1$，使得 ${\alpha }_0\le A\left(x\mathrm{,}s\right)\le {\alpha }_1$，a.e. $x\in \Omega$，对所有 $s\in ℝ$ ；

(A₂) $\underset{s\in ℝ}{{\displaystyle \sup }}{A}_s\left(\cdot \mathrm{,}s\right)\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$ ；

(A₃) $-A_s\left(x\mathrm{,}s\right)s\ge 0$ a.e. $x\in \Omega$，对所有 $s\in ℝ$ ；

(A₄) 存在正常数 ${\alpha }_2\mathrm{<mo>\; <\; </mo>}{\alpha }_1$，使得 $A\left(x\mathrm{,}s\right)+\frac{1}{2}{A}_s\left(x\mathrm{,}s\right)s\ge {\alpha }_2$，a.e. $x\in \Omega$，对所有 $s\in ℝ$ ；

(A₅) $A\left(x\mathrm{,}s\right)=A\left(x\mathrm{,}\left|s\right|\right)$，a.e. $x\in \Omega$，对所有 $s\in ℝ$。

问题(1.1)对应的能量泛函为

$\mathcal{J}\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\log u^2\text{d}x\mathrm{.}$

记 ${\mathcal{J}}_1\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x$， $g\left(u\right)=u\log u^2$， $G\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}g\left(u\right)\text{d}x$， ${\mathcal{J}}_2\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}G\left(u\right)\text{d}x$，则 $\mathcal{J}\left(u\right)={\mathcal{J}}_1\left(u\right)-{\mathcal{J}}_2\left(u\right)$。

近年来，一些学者通过使用合适的变分方法研究如下类型的问题

$-\text{div}\left(A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\right)+\frac{1}{2}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u{\left|\nabla u\right|}^p=g\left(x\mathrm{,}u\right)\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}p\ge 2.$ (1.2)

在 [1] [2] 中Candela，Palmieri和Salvatore在 $\Omega$ 为有界区域时考虑问题(1.2)，非线性项 $g\left(x\mathrm{,}t\right)$ 关于t满足合适的增长条件，在 $W_0^{\mathrm{1,}p}\left(\Omega \right)\cap L^{\infty }\left(\Omega \right)$ 上利用弱形式的山路引理和对称山路定理，得到解的存在性和多重性。进一步，Candela和Salvatore在 [3] 中证明了当 $\Omega$ 是无界区域时，问题(1.2)径向解的存在性。

而带有对数非线性项的Schrödinger方程

$-\Delta u+V\left(x\right)u=Q\left(x\right)u\log u^2\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}x\in \Omega \mathrm{,}$ (1.3)

也引起了很多学者的兴趣。Squassina，Szulkin在 [4] 中借助次微分的相关概念和非光滑临界点理论证明了当V和Q是1-周期函数，且 $Q\in C^1\left({ℝ}^N\right)$， $\underset{x\in {ℝ}^N}{\min }V>0$， $\underset{x\in {ℝ}^N}{\min }\left(V+Q\right)>0$ 时，问题(1.3)解的多重性。Ji

和Szulkin在此基础上又证明了当 $Q=1$ 的情形下，V是强制位势时，解的多重性，以及V是有界位势时，基态解的存在性，见 [5]。此外，当 $Q=1$ 时，V满足合适的条件下，问题(1.3)解的集中行为也有研究成果，见 [6] [7]。

受到上述成果的启发，本文对 $A\left(x\mathrm{,}s\right)$ 提出条件(A₀)~(A₅)，此时 ${\mathcal{J}}_1$ 在空间 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上不是 $C^1$ 的。由 [8] 知，由于 $\left|g\left(u\right)\right|\le C_1\left(1+{\left|u\right|}^{\delta }\right)$， $\delta \in \left({\mathrm{1,2}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}-1\right)$， $C_1\mathrm{<mo>\; >\; </mo>0}$，故对 $u\in H^1\left(\Omega \right)$， ${\displaystyle {\int }_{\Omega }}G\left(u\right)\text{d}x$ 关于u是 $C^1$ 的。

注1.1 由(A₁)、(A₃)和(A₄)可得

$0\ge A_s\left(x\mathrm{,}s\right)s\ge 2\left({\alpha }_2-{\alpha }_1\right)\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\text{a}\text{.e}\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}x\in \Omega ,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}s\in ℝ\mathrm{.}$

即 $A_s\left(x\mathrm{,}s\right)s$ 是一个负的有界函数。

注1.2 [9] 对数sobolev不等式

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}}{u}^2\log u^2\text{d}x\le \frac{a^2}{\pi }{\left|\nabla u\right|}_2^2+\left(\log {\left|u\right|}_2^2-N\left(1+\log a\right)\right){\left|u\right|}_2^2\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}u\in H^1\left({ℝ}^N\right)\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}a>0.$ (1.4)

需要指出的是，在本文设定的条件下， $\mathcal{J}$ 非光滑，且本文的非线性项并不能满足之前很多文献对于非线性项的要求，比如AR条件。为了研究(1.1)解的存在性，本文将借助 [10] [11] [12] 中针对弱下半连续泛函的非光滑临界点理论，证明 $\mathcal{J}$ 在空间 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上是弱下半连续的，且满足弱梯度意义下的(PS)_c条件。

本文的结果如下。

定理1.1 设 $N\ge 2$， $A\left(x\mathrm{,}s\right)$ 满足(A₀)~(A₄)，则问题(1.1)存在一个山路解。

定理1.2 设 $N\ge 2$， $A\left(x\mathrm{,}s\right)$ 满足(A₀)~(A₅)，则问题(1.1)有一列解 $\left\{u_k\right\}\subset H_0^1\left(\Omega \right)$，且当 $k\to \infty$， $\mathcal{J}\left(u_k\right)\to +\infty$。

2. 预备知识

设X是Banach空间，f是X上的泛函，定义

$\text{epi}\left(f\right)=\left\{\left(x\mathrm{,}\lambda \right)\in X\times ℝ\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mo>\; |\; </mo>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}f\left(x\right)\le \lambda \right\}\mathrm{,}$ (2.1)

并赋予范数 ${\Vert \cdot \Vert }_E={\left({\Vert \cdot \Vert }_X^2+{\left|\cdot \right|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$，用 $B_{\delta }\left(x\right)$ 表示以x为球心、 $\delta$ 为半径的开球，用 $B_{\delta }\left(x\mathrm{,}\lambda \right)$ 表示以 $\left(x\mathrm{,}\lambda \right)$ 为球心、 $\delta$ 为半径的开球。

定义2.1 [10] 设f是X上的泛函， $x\in X$，若存在 $\delta >0$ 和连续映射 $\mathcal{H}$ ： $\left(B_{\delta }\left(x\mathrm{,}f\left(x\right)\right)\cap \text{epi}\left(f\right)\right)\times \left[\mathrm{0,}\delta \right]\mapsto X$，使得当 $\left(\xi \mathrm{,}\mu \right)\in B_{\delta }\left(x\mathrm{,}f\left(x\right)\right)\cap \text{epi}\left(f\right)$ 和 $t\in \left[\mathrm{0,}\delta \right]$ 时，有

$d\left(\mathcal{H}\left(\left(\xi \mathrm{,}\mu \right)\mathrm{,}t\right)\mathrm{,}\xi \right)\le t\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}f\left(\mathcal{H}\left(\left(\xi \mathrm{,}\mu \right)\mathrm{,}t\right)\right)\le \mu -\sigma t\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\left(\sigma >0\right)\mathrm{,}$ (2.2)

则将 $\sigma$ 的上确界称为f在x处的弱梯度，并记作 $\left|df\right|\left(x\right)$。

定义2.2 [10] 设f是X上的连续泛函， $x\in X$，若存在 $\delta >0$ 和连续映射 $\mathcal{H}$ ： $B_{\delta }\left(x\right)\times \left[\mathrm{0,}\delta \right]\mapsto X$，使得当 $w\in B_{\delta }\left(x\right)$ 和 $t\in \left[\mathrm{0,}\delta \right]$ 时，有

${\Vert \mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)-w\Vert }_X\le t\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}f\left(\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\right)\le f\left(w\right)-\sigma t\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\left(\sigma >0\right)\mathrm{,}$ (2.3)

则将 $\sigma$ 的上确界称为f在x处的弱梯度，并记作 $\left|df\right|\left(x\right)$。

注2.1 [10] 定义连续函数 ${\mathcal{G}}_f\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\text{epi}\left(f\right)\mapsto ℝ$， ${\mathcal{G}}_f\left(x\mathrm{,}\lambda \right)=\lambda$，显然， ${\mathcal{G}}_f$ 是1-Lipschtiz连续的。对于任意 $\left(x\mathrm{,}\lambda \right)\in \text{epi}\left(f\right)$， $\left|d{\mathcal{G}}_f\right|\left(x\mathrm{,}\lambda \right)\le 1$，且 $\left|df\right|\left(x\right)$ 与 $\left|d{\mathcal{G}}_f\right|\left(x\mathrm{,}f\left(x\right)\right)$ 的关系如下

$\left|df\right|\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\left|d{\mathcal{G}}_f\right|\left(x\mathrm{,}f\left(x\right)\right)}{\sqrt{1-{\left(\left|d{\mathcal{G}}_f\right|\left(x\mathrm{,}f\left(x\right)\right)\right)}^2}}\mathrm{,}\hfill & \text{if}\left|d{\mathcal{G}}_f\right|\left(x\mathrm{,}f\left(x\right)\right)<\mathrm{1,}\hfill \\ +\infty \mathrm{,}\hfill & \text{if}\left|d{\mathcal{G}}_f\right|\left(x\mathrm{,}f\left(x\right)\right)=1.\hfill \end{array}$

定义2.3 [9] 对 $c\in ℝ$，若序列 $\left\{u_k\right\}\subset X$ 满足：当 $k\to \infty$ 时， $f\left(u_k\right)\to c$，且 $\left|df\right|\left(u_k\right)\to 0$。则称 $\left\{u_k\right\}$ 是f的(PS)_c序列；若f的每一个(PS)_c序列都有强收敛子列，则称泛函f满足(PS)_c条件；若 $x\in X$， $f\left(x\right)\in ℝ$，且 $\left|df\right|\left(x\right)=0$，则称x是f的临界点。

注2.2 [9] 设f是X上的偶泛函， $f\left(0\right)\in ℝ$，对 $\lambda \ge f\left(0\right)$，若存在 $\delta >0$ 和连续映射 $\mathcal{H}=\left({\mathcal{H}}_1\mathrm{,}{\mathcal{H}}_2\right)$ ： $\left(B_{\delta }\left(\mathrm{0,}\lambda \right)\cap \text{epi}\left(f\right)\right)\times \left[\mathrm{0,}\delta \right]\mapsto \text{epi}\left(f\right)$，使得当 $w\left(\mathrm{,}\mu \right)\in B_{\delta }\left(\mathrm{0,}\lambda \right)\cap \text{epi}\left(f\right)$ 和 $t\in \left[\mathrm{0,}\delta \right]$ 时，有

${\Vert \mathcal{H}\left(\left(w\mathrm{,}\mu \right)\mathrm{,}t\right)-\left(w\mathrm{,}\mu \right)\Vert }_{X\times ℝ}\le t\mathrm{,}$

${\mathcal{H}}_2\left(\left(w\mathrm{,}\mu \right)\mathrm{,}t\right)\le \mu -\sigma t\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\left(\sigma >0\right)\mathrm{,}$

${\mathcal{H}}_1\left(\left(-w\mathrm{,}\mu \right)\mathrm{,}t\right)=-{\mathcal{H}}_1\left(\left(w\mathrm{,}\mu \right)\mathrm{,}t\right)\mathrm{,}$

则将 $\sigma$ 的上确界记为 $\left|d_{{\mathbb{Z}}_2}{\mathcal{G}}_f\right|\left(\mathrm{0,}\lambda \right)$。

定理2.1 [12] 设 $\left(x\mathrm{,}\lambda \right)\in \text{epi}\left(f\right)$，若对于给定 $\rho >0$，都存在 $\delta >0$ 和连续映射

$\mathcal{H}\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\left\{w\in B_{\delta }\left(x\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}f\left(w\right)<\lambda +\delta \right\}\times \left[\mathrm{0,}\delta \right]\to X\mathrm{,}$

满足当 $w\in B_{\delta }\left(x\right)$， $f\left(w\right)<\lambda +\delta$ 和 $t\in \left[\mathrm{0,}\delta \right]$ 时，成立

$d\left(\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\mathrm{,}w\right)\le \rho t\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}f\left(\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\right)\le \left(1-t\right)f\left(w\right)+t\left(f\left(w\right)+\rho \right)\mathrm{.}$

则 $\left|d{\mathcal{G}}_f\right|\left(x\mathrm{,}\lambda \right)=1$。进一步，如果f是X上的偶泛函，且 $\mathcal{H}\left(-w\mathrm{,}t\right)=-\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)$，则 $\left|d_{{\mathbb{Z}}_2}{\mathcal{G}}_f\right|\left(\mathrm{0,}\lambda \right)=1$。

定理2.2 [12] 设X是Banach空间，f是X上的弱下半连续泛函，满足如下条件：

1) 存在 $e\in X$， $\eta >0$， $r_0>0$，成立

对 $\forall x$，当 $\Vert x\Vert =r_0$ 时， $f\left(x\right)>\eta$ ； $\Vert e\Vert >r_0$ 且 $f\left(e\right)<\eta$，

2) f满足(epi)_c条件。

记集合 $\Gamma =\left\{\gamma :\left[0,1\right]\to X\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}|\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\gamma 是奇映射,且\gamma \left(0\right)=0,\gamma \left(1\right)=e\right\}$， $c=\underset{\Gamma }{\inf }\underset{\left[\mathrm{0,1}\right]}{\sup }f\left(\gamma \left(t\right)\right)<+\infty$。则f满足(PS)_c

条件，且存在临界点x， $f\left(x\right)=c$。

定理2.3 [12] 设X是Banach空间，f是X上的弱下半连续偶泛函， $f\left(0\right)=0$。若下列条件成立：

1) 存在正常数r、 $\beta$，存在X的有限余维子空间W，使得当 $x\in W$， ${\Vert x\Vert }_X=r$ 时， $f\left(x\right)\ge \beta$ ；

2) 对于X的每个有限维子空间V，都存在 $R>0$，使得当 $x\in V$，且 ${\Vert x\Vert }_X\ge R$ 时， $f\left(x\right)\le 0$ ；

3) 当 $c\ge \beta$ 时，f满足(PS)_c条件和(epi)_c条件；

4) 当 $\lambda >0$ 时， $\left|d_{{\mathbb{Z}}_2}{\mathcal{G}}_f\right|\left(\mathrm{0,}\lambda \right)\ne 0$ ；

则泛函f存在一列临界点 $\left\{x_k\right\}$，当 $k\to \infty$ 时，有 $f\left(x_k\right)\to +\infty$。

本文的工作空间为 $H_0^1\left(\Omega \right)$，定义范数 $\Vert u\Vert ={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\right)}^{\frac{1}{2}}$。 $L^p\left(\Omega \right)$ 是标准 $L^p$ 空间，并定义其范数为 ${\left|u\right|}_p={\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|u\right|}^p\text{d}x\right)}^{\frac{1}{p}}$，由sobelev嵌入定理可得， $H^1\left(\Omega \right)\rightarrowtail L^p\left(\Omega \right)$ (连续嵌入)， $p\in \left[{\mathrm{2,2}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right]$，且有

$H_0^1\left(\Omega \right)\rightarrowtail \rightarrowtail L^p\left(\Omega \right)$ (紧嵌入)， $p\in \left({\mathrm{2,2}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right)$。

3. 解的存在性

引理3.1 假设(A₀)~(A₁)成立，则泛函 $\mathcal{J}$ 是弱下半连续的。

证 设 $u\in \Omega$， $\left\{u_k\right\}\subset H_0^1\left(\Omega \right)$，且 $u_k\to u$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上，故 $u_k\to u$ 在 $L^p\left(\Omega \right)$ 上， $p\in \left[{\mathrm{2,2}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right]$。首先对 ${\mathcal{J}}_1$ 进行分析

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right)-A\left(x\mathrm{,}u\right)\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right)\left({\left|\nabla u_k\right|}^2-{\left|\nabla u\right|}^2\right)\text{d}x\mathrm{.}\end{array}$

由(A₁)，利用Lebesgue控制收敛定理和强收敛，易证 ${\mathcal{J}}_1\left(u_k\right)\to {\mathcal{J}}_1\left(u\right)$。

记 $H_1\left(s\right)={\left(s^2\log s^2\right)}^{+}$， $H_2\left(s\right)={\left(s^2\log s^2\right)}^{-}$。显然当 $\left|s\right|\le 1$ 时， $H_1\left(s\right)=0$，当 $\left|s\right|\ge 1$ 时， $H_2\left(s\right)=0$，且当 $\left|s\right|\ge 1$ 时，有 $\left|H\left(s\right)\right|\le C_{\delta }{\left|s\right|}^{2+\delta }$， $\delta \in \left({\mathrm{0,2}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}-2\right)$，故对所有 $s\in ℝ$，都有 $\left|H_1\left(s\right)\right|\le C_{\delta }{\left|s\right|}^{2+\delta }$，因此

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_1\left(u_k\right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_1\left(u\right)\text{d}x\mathrm{.}$

由Fatou引理可得

$\underset{k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_2\left(u_k\right)\text{d}x\ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_2\left(u\right)\text{d}x\mathrm{,}$

故

$\begin{array}{c}\underset{k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}\left(-{\mathcal{J}}_2\left(u_k\right)\right)=\frac{1}{2}\underset{k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_2\left(u_k\right)\text{d}x-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_1\left(u_k\right)\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}_k^2\text{d}x\\ \ge \frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_2\left(u\right)\text{d}x-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{H}_1\left(u\right)\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\text{d}x\\ =-{\mathcal{J}}_2\left(u\right)\mathrm{.}\end{array}$

综上可得 $\mathcal{J}$ 是弱下半连续的。

当 $v\in L^{\infty }\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)$ 时，由于 ${\mathcal{J}}_2$ 是 $C^1$ 的，故 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left|g\left(u\right)v\right|\text{d}x<+\infty$，且根据(A₁)、(A₂)，成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u\nabla v\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^{2}v\text{d}x<+\infty \mathrm{.}$

考虑泛函 $\mathcal{J}$ 沿着 $v\in L^{\infty }\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)$ 的方向导数：

$\langle {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u\right)\mathrm{,}v\rangle ={\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u\nabla v\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^{2}v\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}uv\log u^2\text{d}x\mathrm{.}$

并记 ${{\mathcal{J}}^{\prime }}_1\left(u\right)=A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u+\frac{1}{2}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2$， ${{\mathcal{J}}^{\prime }}_2\left(u\right)=u\log u^2$。

引理3.2 假设(A₀)~(A₄)成立，设 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$， ${\mathcal{J}}_1\left(u\right)\in ℝ$，则有

$\left|\langle {{\mathcal{J}}^{\prime }}_1\left(u\right)\mathrm{,}u\rangle \right|\le \left|d{\mathcal{J}}_1\right|\left(u\right)\Vert u\Vert \mathrm{.}$

证 如果 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$，使得 $\left|d{\mathcal{J}}_1\right|\left(u\right)=+\infty$，或 $A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u\nabla u+\frac{1}{2}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^{2}u\le 0$，则结论自然成立，下面考虑当 $\left|d{\mathcal{J}}_1\right|\left(u\right)=+\infty$。对 $m\ge 1$，令

$T_m\left(s\right)=\{\begin{array}{ll}s\mathrm{,}\hfill & \text{if}\left|s\right|\le m\mathrm{,}\hfill \\ m\frac{s}{\left|s\right|}\mathrm{,}\hfill & \text{if}\left|s\right|>m\mathrm{.}\hfill \end{array}$ (3.1)

反证，若引理结论不成立，那么存在 $\sigma$，使得 $\sigma >\left|d{\mathcal{J}}_1\right|$ 成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u\nabla T_m\left(u\right)\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2{T}_m\left(u\right)\text{d}x>\sigma \Vert T_m\left(u\right)\Vert \mathrm{.}$ (3.2)

给定 $ϵ>0$，首先证明存在 $\delta >0$，当 $w\in H^1\left(\Omega \right)$，且 $\Vert w-u\Vert <\delta$ 时，成立

$\Vert T_m\left(w\right)\Vert \le \left(1+ϵ\right)\Vert T_m\left(u\right)\Vert \mathrm{,}$ (3.3)

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}w\right)\nabla u\nabla T_m\left(w\right)\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}w\right){\left|\nabla u\right|}^2{T}_m\left(w\right)\text{d}x>\sigma \Vert T_m\left(u\right)\Vert \mathrm{.}$ (3.4)

设 $w_k\in H_0^1\left(\Omega \right)$， $w_k\to u\text{in}{H}_0^1\left(\Omega \right)$。由(A₁)和注记1.1，成立

$\begin{array}{l}\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}{w}_k\right)\nabla w_k\nabla T_m\left(w_k\right)\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}{w}_k\right){\left|\nabla w_k\right|}^2{T}_m\left(w_k\right)\text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u\nabla T_m\left(u\right)\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2{T}_m\left(u\right)\text{d}x\\ >\sigma \Vert T_m\left(u\right)\Vert .\end{array}$

故(3.3)和(3.4)成立。

定义连续函数

$\mathcal{H}\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}{B}_{\delta }\left(u\right)\times \left[\mathrm{0,}\delta \right]\to H_0^1\left(\Omega \right)\mathrm{,}$

$\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)=w-\frac{t}{\Vert T_m\left(u\right)\Vert \left(1+ϵ\right)}{T}_m\left(w\right)\mathrm{.}$

记

$\varphi \left(t\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\right){\left|\nabla \mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\right|}^2\text{d}x\mathrm{.}$

简单计算可得

$\begin{array}{l}{\varphi }^{\prime }\left(t\right)=-\frac{1}{\left(1+ϵ\right)\Vert T_m\left(u\right)\Vert }({\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\right)\left(\nabla w-\frac{t\nabla T_m\left(w\right)}{\left(1+ϵ\right)\Vert T_m\left(u\right)\Vert }\right)\nabla T_m\left(w\right)\\ \mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\begin{array}{c}\\ {}_{}{}^{}\end{array}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\right)T_m\left(w\right){\left|\nabla \mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\right|}^2)\mathrm{.}\end{array}$

由(3.3)和(3.4)可得存在 ${\delta }_1<\delta$，使得当 $t\in \left[\mathrm{0,}{\delta }_1\right]$ 和 $v\in H^1\left(\Omega \right)$， $\Vert w-v\Vert \le {\delta }_1$，成立

$d\left(\mathcal{H}\left(w\mathrm{,}t\right)\mathrm{,}w\right)\le t\mathrm{,}$

且

$\varphi \left(t\right)-\varphi \left(0\right)={\varphi }^{\prime }\left(0\right)t+o\left(1\right)\le -\frac{\sigma }{1+ϵ}\mathrm{.}$

由 $ϵ$ 的任意性，可得 $\left|d{\mathcal{J}}_1\right|\left(u\right)\ge \sigma$.与(3.2)矛盾，故

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right)\nabla u\nabla T_m\left(v\right)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2{T}_m\left(v\right)\text{d}x\le \left|d{\mathcal{J}}_1\right|\left(u\right)\Vert T_m\left(v\right)\Vert \mathrm{.}$

令 $m\to +\infty$，可知该引理成立。

引理3.3 假设(A₀)~(A₄)成立，则 $\mathcal{J}$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上满足(PS)_c条件。

证 设 $\left\{u_k\right\}\subset H_0^1\left(\Omega \right)$ 是 $\mathcal{J}$ 的(PS)_c序列，即 $\mathcal{J}\left(u_k\right)\to c$，且 $\left|d\mathcal{J}\right|\left(u_k\right)\to 0$.由引理3.2可得

$\langle {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_k\right)\mathrm{,}{u}_k\rangle \le \left|d\mathcal{J}\right|\left(u_k\right)\Vert u_k\Vert \to 0.$

根据(A₁)和注记1.1，当 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$ 时，有 $A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2+\frac{1}{2}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u{\left|\nabla u\right|}^2\in L^1\left(\Omega \right)$，因此可选择 $u_k$ 作为测试函数，可得

${\left|u_k\right|}_2^2-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}{u}_k\right)u_k{\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x=2\mathcal{J}\left(u_k\right)-\langle {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_k\right)\mathrm{,}{u}_k\rangle \le 2C_2+o\left(1\right)\Vert u_k\Vert \mathrm{.}$

利用(A₃)可得

${\left|u_k\right|}_2^2\le 2C_2+o\left(1\right)\Vert u_k\Vert \mathrm{.}$ (3.5)

利用(A₁)和(1.4)可得

$\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x=\mathcal{J}\left(u_k\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}_k^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}_k^2\log u_k^2\text{d}x\mathrm{,}$

$\frac{{\alpha }_0}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x\le \mathcal{J}\left(u_k\right)-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}_k^2\text{d}x+\frac{a^2}{\pi }{\left|\nabla u_k\right|}_2^2+\left(\log {\left|u_k\right|}_2^2-N\left(1+\log a\right)\right){\left|u_k\right|}_2^2\mathrm{,}$

$\left(\frac{{\alpha }_0}{2}-\frac{a^2}{\pi }\right){\left|\nabla u_k\right|}_2^2\le \mathcal{J}\left(u_k\right)-\left(\frac{1}{2}+N\left(1+\log a\right)\right){\left|u_k\right|}_2^2+{\left|u_k\right|}_2^2\log {\left|u_k\right|}_2^2\mathrm{.}$

利用 $\mathcal{J}\left(u_k\right)$ 有界，选取合适的 $a>0$，结合(3.5)可得

$\begin{array}{c}{\Vert u_k\Vert }^2\le C_3+C_4{\left|u_k\right|}^2\log {\left|u_k\right|}^2\\ \le C_3+\left(2C_2+o\left(1\right)\Vert u_k\Vert \right)\log \left(2C_2+o\left(1\right)\Vert u_k\Vert \right)\\ \le C_3+C_4\left({\left(2C_2+o\left(1\right)\Vert u_k\Vert \right)}^{1+\delta }+1\right),\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\delta \in \left(\mathrm{0,1}\right)\\ \le C_5+C_6{\Vert u_k\Vert }^{1+\delta }\mathrm{.}\end{array}$

则 $\left\{u_k\right\}$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上有界，故若 $\left\{u_k\right\}$ 是 $\mathcal{J}$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上的(PS)_c序列，则存在 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$，使得

$u_k\rightharpoonup u在H_0^1\left(\Omega \right)上,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}{u}_k\to u在L^p\left(\Omega \right)上\left(2<p<2^{*}\right)\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}{u}_k\to u\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\text{a}\text{.e}\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}x\in \Omega \mathrm{.}$

定义光滑截断函数 ${\theta }_R\left(x\right)$ ： $ℝ\to \left[\mathrm{0,1}\right]$ 满足： ${\theta }_R\left(x\right)=1,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\left|x\right|\le R$ ； ${\theta }_R\left(x\right)=0,\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}\left|x\right|\ge 2R$ ； $\left|{{\theta }^{\prime }}_R\left(x\right)\right|\le \frac{C_7}{R}$。

考虑测试函数 ${\theta }_R\left(u_k\right)u_k$，则有

$\begin{array}{l}|{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right){\theta }_R\left(u_k\right)\nabla u_k\nabla u_k\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}{u}_k\right){\left|\nabla u_k\right|}^2{\theta }_R\left(u_k\right)u_k\text{d}x\\ \stackrel{}{}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\theta }_R\left(u_k\right)u_k^2\log u_k^2\text{d}x-\langle {\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_k\right)\mathrm{,}{\theta }_R\left(u_k\right)u_k\rangle |<\frac{C_7}{R}\mathrm{.}\end{array}$

当 $k\to \infty$ 时，根据(A₁)、注记1.1，利用Lebesgue控制收敛定理和 ${\mathcal{J}}^{\prime }\left(u_k\right)\to 0$ 可得

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\theta }_R\left(u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2{\theta }_R\left(u\right)u\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\theta }_R\left(u\right)u^2\log u^2\text{d}x\right|<\frac{C_7}{R}\mathrm{,}$

故当 $R\to +\infty$ 时，有

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\log u^2\text{d}x\right|=\mathrm{0,}$

即

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x={\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\log u^2\text{d}x\mathrm{.}$

由引理3.1，有 $\underset{k\to \infty }{\bar{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}_k^2\log u_k^2\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\log u^2\text{d}x$，故成立

$\begin{array}{l}\underset{k\to \infty }{\bar{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}{u}_k\right)u_k{\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\mathrm{.}\end{array}$

根据(A₄)，由Fatou引理又可得

$\begin{array}{l}\underset{k\to \infty }{\underset{\_}{\lim }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">\; (\; </mo>}x\mathrm{,}{u}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">\; )\; </mo>}{u}_k{\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\mathrm{,}\end{array}$

故

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">\; (\; </mo>}x\mathrm{,}{u}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">\; )\; </mo>}{u}_k{\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x\\ -{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x\to \mathrm{0,}\end{array}$

即

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right)-A\left(x\mathrm{,}u\right)\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right)\left({\left|\nabla u_k\right|}^2-{\left|\nabla u\right|}^2\right)\text{d}x\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(A_s\left(x\mathrm{,}{u}_k\right)u_k-A_s\left(x\mathrm{,}u\right)u\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u\left({\left|\nabla u_k\right|}^2-{\left|\nabla u\right|}^2\right)\text{d}x\to 0.\end{array}$

由(A₁)和注记1.1，利用Lebesgue控制收敛定理可得

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(A\left(x\mathrm{,}{u}_k\right)-A\left(x\mathrm{,}u\right)\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x\to \mathrm{0,}$

$\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(A_s\left(x\mathrm{,}{u}_k\right)u_k-A_s\left(x\mathrm{,}u\right)u\right){\left|\nabla u_k\right|}^2\text{d}x\to 0.$

结合(A₄)可得

$0\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}\left(A\left(x\mathrm{,}u\right)+\frac{1}{2}{A}_s\left(x\mathrm{,}u\right)u\right)\left({\left|\nabla u_k\right|}^2-{\left|\nabla u\right|}^2\right)\text{d}x\to 0.$

故 $\underset{k\to \infty }{\lim }\Vert u_k\Vert =\Vert u\Vert$，即 $u_k\to u$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上。

引理3.4 假设(A₀)~(A₅)成立，则泛函 ${\mathcal{J}}_1$ 满足(epi)_c条件，且对于 $\lambda >{\mathcal{J}}_1\left(0\right)$， $\left|d_{{\mathbb{Z}}_2}{\mathcal{G}}_{{\mathcal{J}}_1}\right|\left(\mathrm{0,}\lambda \right)\ne 0$。

证 对由(3.1)定义的函数 $T_m\left(s\right)$，取 $\left(u\mathrm{,}\lambda \right)\in \text{epi}\left({\mathcal{J}}_1\right)$， $\rho >0$，则存在 $\delta \left(\rho \right)\in \left(\mathrm{0,1}\right]$，使得

$\Vert T_m\left(v\right)-u\Vert \le \frac{\rho }{2}\mathrm{,\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}v\in B_{\delta }\left(u\right)\mathrm{,}$ (3.6)

且成立

${\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla T_m\left(v\right)\right|}^2\text{d}x\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla T_m\left(u\right)\right|}^2\text{d}x+\frac{\rho }{2}\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{\rho }{2}\mathrm{.}$ (3.7)

定义

$\mathcal{H}\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\left\{v\in B_{\delta }\left(u\right)\mathrm{<mo>\; :\; </mo>}\mathcal{J}\left(v\right)<\lambda +\delta \right\}\times \left[\mathrm{0,}\delta \right]\to H_0^1\left(\Omega \right)\mathrm{,}$

$\mathcal{H}\left(v\mathrm{,}t\right)=\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\mathrm{.}$

下面证明成立不等式

${\mathcal{J}}_1\left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\le \left(1-t\right){\mathcal{J}}_1\left(v\right)+t\left({\mathcal{J}}_1\left(u\right)+\rho \right)\mathrm{.}$ (3.8)

由(A₀)，存在 $\theta \in \left[\mathrm{0,1}\right]$，

$\begin{array}{l}A\left(x\mathrm{,}\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right){\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2-A\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla v\right|}^2\\ =A\left(x\mathrm{,}\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right){\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2-A\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2\\ \mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}+A\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2-A\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla v\right|}^2\\ \le A_s\left(x\mathrm{,}v+\theta \left(T_m\left(v\right)-v\right)t\right)\left(T_m\left(v\right)-v\right)t{\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2+tA\left(x\mathrm{,}v\right)\left({\left|\nabla T_m\left(v\right)\right|}^2-{\left|\nabla v\right|}^2\right)\\ =A_s\left(x\mathrm{,}v+\theta \left(T_m\left(v\right)-v\right)t\right)\left(\left(T_m\left(v\right)-v\right)t+\frac{v}{\theta }\right){\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2\\ \mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}-A_s\left(x\mathrm{,}v+\theta \left(T_m\left(v\right)-v\right)t\right)\frac{v}{\theta }{\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2+tA\left(x\mathrm{,}v\right)\left({\left|\nabla T_m\left(v\right)\right|}^2-{\left|\nabla v\right|}^2\right).\end{array}$

利用(A₃)，有

$A_s\left(x\mathrm{,}v+\theta \left(T_m\left(v\right)-v\right)t\right)\left(\left(T_m\left(v\right)-v\right)t+\frac{v}{\theta }\right){\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2\le \mathrm{0,}$

结合(3.7)可得

$\begin{array}{l}A\left(x\mathrm{,}\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right){\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2\\ \le tA\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla T_m\left(v\right)\right|}^2+\left(1-t\right)A\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla v\right|}^2\\ \mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}-A_s\left(x\mathrm{,}v+\theta \left(T_m\left(v\right)-v\right)t\right)\frac{v}{\theta }{\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2\\ \le t{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\left(1-t\right)A\left(x\mathrm{,}v\right){\left|\nabla v\right|}^2\\ \mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>}+\frac{\rho t}{2}-A_s\left(x\mathrm{,}v+\theta \left(T_m\left(v\right)-v\right)t\right)\frac{v}{\theta }{\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2\mathrm{.}\end{array}$

进一步减小 $\delta$，使得成立

$\frac{\rho t}{2}-A_s\left(x\mathrm{,}v+\theta \left(T_m\left(v\right)-v\right)t\right)\frac{v}{\theta }{\left|\nabla \left(\left(1-t\right)v+t{T}_m\left(v\right)\right)\right|}^2\le \rho \mathrm{,}$

即(3.8)成立。根据定理2.1， ${\mathcal{J}}_1$ 满足(epi)_c条件，且 $\left|d_{{\mathbb{Z}}_2}{\mathcal{G}}_{{\mathcal{J}}_1}\right|\left(\mathrm{0,}\lambda \right)=1$。

引理3.5 假设(A₀)~(A₄)成立，则存在 $\eta >0$， $r>0$，对 $\forall u\in H_0^1\left(\Omega \right)$，当 $\Vert u\Vert =r$ 时， $\mathcal{J}\left(u\right)>\eta$。

证 由式(1.4)和(A₁)，当 $\Vert u\Vert$ 充分小时，选择合适的 $a>0$，可得

$\begin{array}{c}\mathcal{J}\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\text{d}x-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\log u^2\text{d}x\\ \ge \left(\frac{{\alpha }_0}{2}-\frac{a^2}{2\pi }\right){\left|\nabla u\right|}_2^2+\frac{1}{2}\left(1+N\left(1+\log a\right)-\log {\left|u\right|}_2^2\right){\left|u\right|}_2^2\\ \ge C_8{\Vert u\Vert }^2\mathrm{.}\end{array}$

由上式可知，存在正常数 $\eta$ 、 $r_0$，当 $u\in H_0^1\left(\Omega \right)$， $\Vert u\Vert =r_0$ 时， $\mathcal{J}\left(u\right)\ge \eta$。

引理3.6 假设(A₀)~(A₄)成立，则存在 $e\in H_0^1\left(\Omega \right)$，且 $\Vert e\Vert >r_0$，使得 $\mathcal{J}\left(e\right)<\eta$。

证 记 $D\left(\mathcal{J}\right)=\left\{u\in H_0^1\left(\Omega \right)\mathrm{<mtext>\; \hspace{0.17em}\; </mtext>\; <mo>\; |\; </mo>\; <mi>\; </mi>}\mathcal{J}\left(u\right)<+\infty \right\}$，对 $u\in D\left(\mathcal{J}\right)$。则有

$\mathcal{J}\left(su\right)=\frac{s^2}{2}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}su\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\text{d}x-\log s^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{u}^2\log u^2\text{d}x\right)\mathrm{.}$

根据(A₁)，当 $s\to +\infty$ 时，有 $\mathcal{J}\left(su\right)\to -\infty$。故存在 $e\in H_0^1\left(\Omega \right)$，当 $\Vert e\Vert >r_0$ 时， $\mathcal{J}\left(w\right)<\eta$。

综合引理3.1、引理3.3、引理3.4、引理3.5、引理3.6，可知 $\mathcal{J}$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 上满足定理2.2的全部条件。故定理1.1得证。

4. 解的多重性

设( $-\Delta$， $H_0^1\left(\Omega \right)$ )的无穷多个特征值为 $0<{\lambda }_1<{\lambda }_2\le {\lambda }_3\le \cdots \le {\lambda }_m\le \cdots$， ${\lambda }_m$ 对应的特征函数记为 ${\varphi }_m$，可证 ${\varphi }_m\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$， $m=1,2,3,\cdots$。记 $V_m=\text{span}\left\{{\varphi }_1\mathrm{,}{\varphi }_2\mathrm{,}{\varphi }_3\mathrm{,}\cdots \mathrm{,}{\varphi }_m\right\}$， $H_m=\left\{w\in H_0^1\left(\Omega \right)\mathrm{<mo>\; |\; </mo>}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}w{\varphi }_i\text{d}x=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2,3,}\cdots \mathrm{,}m\right\}$，则 $H_0^1\left(\Omega \right)=V_m\oplus H_m$，见 [1]。

引理4.1 假设(A₀)~(A₅)成立，则对于任意给定 $\beta >0$，则存在 $m\in \mathbb{N}$ 和 $r_m>0$，当 $u\in H_m$，且 $\Vert u\Vert =r_m$ 时，有 $\mathcal{J}\left(u\right)\ge \beta$。

证

$\begin{array}{c}\mathcal{J}\left(u\right)=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}u\right){\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|u\right|}^2\text{d}x-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|u\right|}^2\log u^2\text{d}x\\ \ge \frac{{\alpha }_0}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|\nabla u\right|}^2\text{d}x-C_9{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{\left|u\right|}^{\delta +1}\text{d}x-C_{10}\mathrm{,\; <mi>\; </mi>}\delta \in \left({\mathrm{1,2}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}-1\right)\mathrm{.}\end{array}$

记 $\delta +1=p$，选择 $r\in \left(\mathrm{0,}p\right)$ 满足 $\frac{r}{2}+\frac{p-r}{2^{*}}=1$，由插值不等式和 $H_0^1\left(\Omega \right)\rightarrowtail L^q\left(\Omega \right)\mathrm{,\; <mi>\; </mi>}q\in \left[{\mathrm{2,2}}^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}\right]$，则有

${\left|u\right|}_p^p\le {\left|u\right|}_{2^{\mathrm{<mo>\; *\; </mo>}}}^{p-r}{\left|u\right|}_2^r\le C_{11}{\Vert u\Vert }^{p-r}{\left|u\right|}_2^r\mathrm{.}$

又因 $u\in H_m$，故

$\left|u\right|\le C_{12}{\lambda }_{m+1}^{-\frac{r}{2}}{\Vert u\Vert }^p\mathrm{,}$

从而

$\mathcal{J}\left(u\right)\ge \frac{{\alpha }_0}{2}{\Vert u\Vert }^2-C_{12}{\lambda }_{m+1}^{-\frac{r}{2}}{\Vert u\Vert }^p-C_{10}\mathrm{.}$

取 $r_m={\left(\frac{{\alpha }_0}{C_{12}p}{\lambda }_{m+1}^{\frac{r}{2}}\right)}^{\frac{1}{p-2}}$，则当 $m\to \infty$ 时，有 $r_m\to +\infty$。进一步，如果 $\Vert u\Vert =r_m$，那么

$\mathcal{J}\left(u\right)\ge \frac{{\alpha }_0}{2}{r}_m^2-C_{12}{\lambda }_{m+1}^{-\frac{r}{2}}{r}_m^p-C_{10}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\alpha }_0{r}_m^2-C_{10}\mathrm{.}$

因此对给定 $\beta >0$，当m足够大时，有 $\mathcal{J}\left(u\right)\ge \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{p}\right){\alpha }_0{r}_m^2-C_{10}\ge \beta$。

引理4.2 假设(A₀)~(A₅)成立，对于 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 的每个有限维子空间V，都存在 $R>0$，使得当 $u\in V$，且 $\Vert u\Vert \ge R$ 时， $\mathcal{J}\left(u\right)\le 0$。

证 对于任意 $u\in V$，都存在 $s\in ℝ$ 和 $v\in V$， ${\left|v\right|}_2=1$，使得 $u=sv$。则

$\mathcal{J}\left(u\right)=\frac{s^2}{2}\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }}A\left(x\mathrm{,}sv\right){\left|\nabla v\right|}^2\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{v}^2\text{d}x-\log s^2{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{v}^2\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{\Omega }}{v}^2\log v^2\right)\mathrm{.}$

V是有限维空间，故以上积分关于v均有界。则当 $s\to +\infty$ 时(即 $\Vert u\Vert \to +\infty$ )，有 $\mathcal{J}\left(u\right)\to -\infty$。即存在 $R>0$，当 $u\in V$ 且 $\Vert u\Vert >R$ 时， $\mathcal{J}\left(u\right)\le 0$。

至此，结合引理3.1、引理3.3、引理3.4、引理4.1和引理4.2，泛函 $\mathcal{J}$ 在 $H_0^1\left(\Omega \right)$ 满足定理2.3的全部条件。故其存在临界点列 $\left\{u_k\right\}$，使得当 $k\to \infty$ 时， $\mathcal{J}\left\{u_k\right\}\to +\infty$。从而问题(1.1)存在无穷多个解。定理1.2得证。