带一个自相容源的(3 + 1)-维KP-I方程的广义Dromion结构

Generalized Dromion Structures of the (3 + 1)-Dimensional Kadomtsev-Petviashvili I Equation with a Self-Consistent Source

摘要: 本文利用Hirota双线性方法构造了具有一个自相容源的(3 + 1)-维KP-I方程(KPIESCS)的指数局部化解。我们得到了该方程广义dromion型解和多dromion解。

Abstract: Exponentially localized solutions to the (3 + 1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili I equation with a self-consistent source (KPIESCS) are constructed by the Hirota bilinear method. The generalized dromion type solutions and multi-dromion solutions are obtained.

1. 引言

自从Zabusky和Kruskal在非线性波的数值研究中首次提出“孤子”一词后，孤子理论引起了人们的广泛关注 [1]。孤子理论作为非线性科学的一个分支，在数学和物理中有着广泛的应用 [2] [3]。此外，具有自相容源的方程在物理学中具有重要的实际意义，因为它们可以反映不同波之间的相互作用 [4] [5] [6] [7]。目前，求解这些方程的方法主要有两种。一种是基于Lax对的分析方法，如达布变换方法 [8] [9]，贝克隆变换方法 [10] [11] 和逆散射方法 [12] [13] [14]。另一种广泛使用的方法是Hirota双线性方法，它是一种代数方法而不是解析方法 [15] [16]。

对于高维可积模型，最重要的特性之一是发现了称为dromion的指数局部化结构 [17]。通常，dromion由两个或多个非平行线ghost孤子驱动 [18] [19]。在具有奇偶时间对称势的(2 + 1)维KdV方程、(3 + 1)维条件可积系统和(2 + 1)维非线性薛定谔方程中，得到了dromion结构 [20] [21] [22]。此外，在Mel’nikov方程的情况下，得到了更一般的具有空间变化振幅的dromion型解以及包含的多dromion解 [23]。

在本文中，我们将重点讨论如下形式的带一个自相容源的(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程(KPIESCS)广义形式的dromion结构

$\{\begin{array}{l}{\left(u_t+6u{u}_x+u_{xxx}+8\kappa {\left|\varphi \right|}_x^2\right)}_x-u_{yy}+u_{zz}=0,\hfill \\ i{\varphi }_y=2{\varphi }_{xx}+2u\varphi ,\hfill \\ i{\varphi }_z={\varphi }_{xx}+u\varphi .\hfill \end{array}$ (1)

其中，u是长波振幅， $\varphi$ 是复的短波包， $\kappa$ 满足条件 ${\kappa }^2=1$。文献 [24] 讨论了该方程一般有理解的显式表示。

2. 方程(1)的局部解

通过因变量转换 $u=2{\left(\ln f\right)}_{xx},\varphi =g/f$，方程(1)被转换成双线性方程

$\{\begin{array}{l}\left(D_x{D}_t+D_x^4-D_y^2+D_z^2\right)f\cdot f+8\kappa g\cdot \bar{g}=0,\\ \left(i{D}_y-2D_x^2\right)g\cdot f=0,\\ \left(i{D}_z-D_x^2\right)g\cdot f=0.\end{array}$ (2)

以 $\epsilon$ 幂级数的形式展开 $f,g$，如下所示

$g=\epsilon g^{\left(1\right)}+{\epsilon }^3{g}^{\left(3\right)}+\cdots ,f=1+{\epsilon }^2{f}^{\left(2\right)}+{\epsilon }^4{f}^{\left(4\right)}+\cdots ,$ (3)

将(3)代入(2)可以得到一组线性方程

$\{\begin{array}{l}O\left(\epsilon \right):i{g}_z^{\left(1\right)}=g_{xx}^{\left(1\right)},i{g}_y^{\left(1\right)}=2g_{xx}^{\left(1\right)},\\ O\left({\epsilon }^2\right):f_{xxxx}^{\left(2\right)}+f_{xt}^{\left(2\right)}-f_{yy}^{\left(2\right)}+f_{zz}^{\left(2\right)}=4\kappa {\left|g^{\left(1\right)}\right|}^2,\\ ⋮\end{array}$ (4)

为了得到孤立子解，令

$g^{\left(1\right)}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}\exp }\left({\psi }_j\right),{\psi }_j=l_{j}x+m_{j}y+n_{j}z+{\omega }_{j}t+{\psi }_j^{\left(0\right)},i{n}_j=l_j^2,m_j=2n_j,$ (5)

其中 $l_j,m_j,{\omega }_j,{\psi }_j^{\left(0\right)}$ 是复的待定系数。当 $N=1$ 时我们得到

$f^{\left(2\right)}=\exp \left({\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }+2A\right),\exp \left(2A\right)=\frac{\kappa }{4l_{1R}^4+l_{1R}{\omega }_{1R}-3n_{1R}^2},$ (6)

这里 $l_1=l_{1R}+i{l}_{1I},m_1=m_{1R}+i{m}_{1I},n_1=n_{1R}+i{n}_{1I},{\omega }_1={\omega }_{1R}+i{\omega }_{1I}$， $g^{\left(2j-1\right)}=f^{\left(2j\right)}=0\left(j\ge 2\right)$。此时我们得到

孤立子解

$\{\begin{array}{l}u=2l_{1R}^2{\text{sech}}^2\left({\psi }_{1R}+A\right),\\ \varphi =\sqrt{\frac{4l_{1R}^4+l_{1R}{\omega }_{1R}-12l_{1R}^2{l}_{1I}^2}{4\kappa }}\text{sech}\left({\psi }_{1R}+A\right){\text{e}}^{i{\psi }_{1I}},\end{array}$ (7)

其中 ${\psi }_{1R}=l_{1R}x+m_{1R}y+2l_{1R}{l}_{1I}z+{\omega }_{1R}t+{\psi }_{1R}^{\left(0\right)},{\psi }_{1I}=l_{1I}x+m_{1I}y-\left(l_{1R}^2-l_{1I}^2\right)z+{\omega }_{1I}t+{\psi }_{1I}^{\left(0\right)}$。

特别地，为了得到类似文献 [19] 中的(1,1)-dromion解，我们取

$f=1+{\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{*}}+{\text{e}}^{{\psi }_2+{\psi }_2^{*}}+K{\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{*}+{\psi }_2+{\psi }_2^{*}},g=\rho {\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_2},$ (8)

其中

${\psi }_1=px+my+nz,{\psi }_2=qt,$ (9)

并且 $K>0$ 是一个待定实数， $p,m,n,q$ 是待定复系数。将(8)式代入(2)式中的第一个方程可以得到当 $3n_R^2=4p_R^4$ 时满足

$\kappa {\left|\rho \right|}^2=p_R{q}_R\left(K-1\right),$ (10)

然后再将(8)和(10)代入(2)式中的第二个方程得到 $m=2n,n=-i{p}^2,p_R^2=3p_I^2$。

因此，我们得到如下形式的指数衰减解

$\{\begin{array}{l}u=\frac{8p_R^2\left(1+{\text{e}}^{{\psi }_2+{\psi }_2^{\ast }}\right)\left({\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }}+K{\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }+{\psi }_2+{\psi }_2^{\ast }}\right)}{{\left(1+{\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }}+{\text{e}}^{{\psi }_2+{\psi }_2^{\ast }}+K{\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }+{\psi }_2+{\psi }_2^{\ast }}\right)}^2},\\ \varphi =\frac{\rho {\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_2}}{1+{\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }}+{\text{e}}^{{\psi }_2+{\psi }_2^{\ast }}+K{\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }+{\psi }_2+{\psi }_2^{\ast }}},\end{array}$ (11)

此外，可以看到(4)式中的第一个方程只和自变量 $x,y,z$ 有关，因此可以引入一些关于自变量t的任意函数来寻找更一般形式的解。例如，选择

$g^{\left(1\right)}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}\exp }\left({\psi }_j\right),{\psi }_j=l_{j}x+m_{j}y+n_{j}z+a_j\left(t\right)+{\psi }_j^{\left(0\right)},i{n}_j=l_j^2,m_j=2n_j,$ (12)

或者

$g^{\left(1\right)}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{a}_j}\left(t\right)\exp \left({\psi }_j\right),{\psi }_j=l_{j}x+m_{j}y+n_{j}z+{\psi }_j^{\left(0\right)},i{n}_j=l_j^2,m_j=2n_j.$ (13)

为了说明此种情况，不妨假设

$g^{\left(1\right)}=a\left(t\right){\text{e}}^{{\psi }_1},{\psi }_1=l_{1}x+m_{1}y+n_{1}z,$ (14)

这里 $a\left(t\right)$ 是一个复函数，复系数 $l_1,n_1,m_1$ 满足色散关系 $l_1^2=i{n}_1,m_1=2n_1$。将(14)代入(4)式第二个方程，我们得到

$f^{\left(2\right)}=b\left(t\right){\text{e}}^{{\psi }_1+{\psi }_1^{\ast }},$ (15)

其中 $b\left(t\right)$ 是一个满足如下关系的实函数

$8l_{1R}^{4}b\left(t\right)+l_{1R}{b}^{\prime }\left(t\right)-6n_{1R}^{2}b\left(t\right)=2\kappa {\left|a\left(t\right)\right|}^2.$ (16)

于是我们得到方程(1)如下形式的解

$\{\begin{array}{l}u=2l_{1R}^2{\text{sech}}^2\left[{\psi }_{1R}+\frac{1}{2}\ln b\left(t\right)\right],\\ \varphi =\frac{a\left(t\right)}{2\sqrt{b\left(t\right)}}{\text{e}}^{i{\psi }_{1I}}\text{sech}\left[{\psi }_{1I}+\frac{1}{2}\ln b\left(t\right)\right],\end{array}$ (17)

其中 ${\psi }_{1R},{\psi }_{1I}$ 分别是 ${\psi }_1$ 的实部和虚部。显然，此时u是一个曲线孤子，自相容源项 $\varphi$ 拥有丰富的结构。例如，如果选择

$\frac{a\left(t\right)}{\sqrt{b\left(t\right)}}=2\text{sech}\left(c_0+c_{1}t\right),$ (18)

我们可以从(16)式中求得

$b\left(t\right)=\exp \left(\frac{8\kappa \text{tanh}\left(c_0+c_{1}t\right)+\left(6n_{1R}^2-8l_{1R}^4\right)t}{l_{1R}}\right),$ (19)

于是可以得到

$\varphi ={\text{e}}^{i{\psi }_{1I}}\text{sech}\left(c_0+c_{1}t\right)\text{sech}\left[l_{1R}\left(x+4l_{1I}y+2l_{1I}z\right)+\frac{1}{2l_{1R}}\left(8\kappa \text{tanh}\left(c_0+c_{1}t\right)+\left(6n_{1R}^2-8l_{1R}^4\right)t\right)\right].$ (20)

这就是一个dromion型解。

如果选择

$\frac{a\left(t\right)}{\sqrt{b\left(t\right)}}=\frac{2}{{\left(t+t_0\right)}^2+1},$ (21)

我们就得到一个代数衰减的局部解

$\varphi =\frac{{\text{e}}^{i{\psi }_{1I}}}{{\left(t+t_0\right)}^2+1}\text{sech}\left\{l_{1R}\left(x+4l_{1I}y+2l_{1I}z\right)+\frac{1}{2l_{1R}}\left[\left(6n_{1R}^2-8l_{1R}^4\right)t+8\kappa {\displaystyle \int \frac{\text{d}t}{{\left[{\left(t+t_0\right)}^2+1\right]}^2}}\right]\right\},$ (22)

这个解沿着t方向衰减的速度要比解(20)慢很多。

通过扩展上述步骤，我们可以构造广义形式的局部解。实际上，可以得到如下形式的多dromion解

${\varphi }_N=\left[\frac{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{M}{\sum }}{a}_j}\left(t\right)}{2\sqrt{b\left(t\right)}}\right]{\text{e}}^{i{\psi }_{1I}}\text{sech}\left[{\psi }_{1R}+\frac{1}{2}\ln b\left(t\right)\right].$ (23)

这里 $a_j\left(t\right),j=1,2,\cdots ,N$ 是关于自变量t的任意函数且满足

$8l_{1R}^{4}b\left(t\right)+l_{1R}{b}^{\prime }\left(t\right)-6n_{1R}^{2}b\left(t\right)=2\kappa {\displaystyle \underset{p=1}{\overset{M}{\sum }}{\displaystyle \underset{q=1}{\overset{M}{\sum }}{a}_p}}\left(t\right)a_q^{\ast }\left(t\right),$ (24)

为了说明这种解，我们取 $M=2$ 为例。令

$\frac{a_1\left(t\right)}{\sqrt{b\left(t\right)}}=2\text{sech}\left(t+{\eta }_1\right),\frac{a_2\left(t\right)}{\sqrt{b\left(t\right)}}=2\text{sech}\left(t+{\eta }_2\right),$ (25)

求解式(24)得到

$b\left(t\right)=\exp \left[\frac{\left(6n_{1R}^2-8l_{1R}^4\right)t+8\kappa \left(\text{tanh}\left(t+{\eta }_1\right)+\text{tanh}\left(t+{\eta }_2\right)+2{\displaystyle \int \text{sech}}\left(t+{\eta }_1\right)\text{sech}\left(t+{\eta }_2\right)\text{d}t\right)}{l_{1R}}\right],$ (26)

此时就可以到一个高阶dromion解

$\begin{array}{l}{\varphi }_2={\text{e}}^{i{\psi }_{1I}}\left[\text{sech}\left(t+{\eta }_1\right)+\text{sech}\left(t+{\eta }_2\right)\right]\text{sech}[l_{1R}\left(x+4l_{1I}y+2l_{1I}z\right)+\frac{1}{2l_{1R}}(\left(6n_{1R}^2-8l_{1R}^4\right)t\\ \stackrel{}{}+8\kappa \left(\text{tanh}\left(t+{\eta }_1\right)+\text{tanh}\left(t+{\eta }_2\right)+2{\displaystyle \int \text{sech}}\left(t+{\eta }_1\right)\text{sech}\left(t+{\eta }_2\right)\text{d}t\right))].\end{array}$ (27)

3. 总结

本文中，我们基于Hirota双线性方法找到了(3 + 1)维KPIESCS的指数局部化解。我们特别构造了局域dromion解和诱导dromion解。

基金项目

湛江市非资助科技攻关计划项目(2021B01506)。

参考文献