1. 引言
传染病是危及人类身体健康的重要因素之一,长期以来一直受到世界各国的关注 [1]。2003年,SARS的暴发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响,我们从中得到了许多重要的经验和教训,认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性 [2]。为此许多学者提出了很多预防和控制SARS传播的模型和方法。石耀霖建立了SARS传播的系统动力学随机模型,结果表明:感染率及其随时间的变化是影响SARS传播的最重要因素 [3]。针对降低感染率,切断传播途径。通常采取的有效措施主要有两种:第一种措施是隔离,例如YICANG ZHOU等建立了描述SARS传播与控制的离散的SEQIJR模型,结果表明:尽早隔离是控制SARS传播的重要手段 [4];邹宇庭等建立了SARS传播的负反馈差分方程模型,结果表明:实施隔离政策是控制SARS传播的有效途径 [5];王议锋等将疫情分为三个阶段:控制前、过渡期、控制后等,分别建立了三组微分方程模型。结果表明:隔离措施有效地阻止了疫情的传播 [6];肖红江等建立了微分差分方程组合模型、基于低通滤波理论的系统控制模型、基于神经网络系统模型以及基于分支过程的Monte Carlo仿真模型等四种模型,结果表明:通过隔离控制传染源,使接触率降低,能够很好地控制疾病的传播 [7]。另外,媒体报道可以促进人们对疾病的防护意识,进而降低传染率 [8]。第二种措施是接种疫苗,例如李贝等考虑了自愈的微分方程模型和Small-World Network模拟模型,结果表明:自愈现象在SARS传播中是普遍存在的,并且接种疫苗能够从根本上杜绝SARS的大范围传播 [9];在缺乏特效治疗药物的背景下,开发疫苗、治疗性抗体等生物治疗手段对疾病的预防及治疗具有重要的价值 [10]。此外,孙刚 [11] 等讨论了病毒的生态特性以及施药救治最佳时机。
2. 集对模型
集对分析是我国学者赵克勤创立的一种系统理论分析方法 [12]。同异反联系度
表达式。
(1)
式中N为集对特性总数;S为两集合共有的特性个数;P为两个集合相互对立的特性个数;
为差异特性个数。令
分别为同一度、差异度、对立度,则(1)式可表示为:
(2)
确定不确定系统是一个动态系统,不仅在某个时刻具有不确定性(由i来承载),且在不同时刻其确定不确定程度也不一样(
的变化来刻画)。当系统的确定不确定程度主要由i变化引起时,可根据
的变化求i的值,但当i的取值超出区间
时,说明
的变化并不完全是i在起作用,还有“cj”这部分所起的转化作用 [10],即此时联系数中
值的变化是由
共同作用的结果。基于这种思想本文考虑用集对分析的方法处理传染病问题,将人群分为三类:未感染者比例为a,疑似感染者比例为b,感染者比例为c。此时可建立如(2)式的模型,三类人群的变化正是由于
的变化引起的。
3. 模型的应用
数据来源于2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题,下表1列出了部分数据。
![](Images/Table_Tmp.jpg)
Table 1. Data of epidemic situation in Beijing
表1. 北京市疫情的数据
据:http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/0e34562479b6d6d47af380e96fb188f9.html。
假设2003年北京市人口为1400万。如前所述,人群分为三类:未感染者,疑似感染者,感染者。其中未感染者是除确诊病例、疑似病例、死亡病例、治愈病例之外的人;感染者包括确诊病例、死亡病例和治愈病例等。设a为未感染者在人群中所占的比例,b为疑似感染者在人群中所占的比例,c为感染者在人群中所占的比例。则由表1可得
的计算公式如下:
由此建立如下的联系数模型
(3)
为考虑
的变化趋势,首先考虑
取值的变化。设模型(3)中在
时刻联系数
,在
时刻联系数
,现需要根据
求出
中
的取值。由文献 [12] 中的计算取值法,建立如下方程组
(4)
由方程组中的第一式解出
,然后带入第二式中即可解得
,即
由此依次逐项计算
的取值,可得如图1所示
取值的变化趋势。由于第55天以后i的取值与前面的取值差异较大,认为是奇异值予以舍弃,且为了得到更好的拟合效果,将4月20日的数据也剔除,用4月21日后的数据进行计算,所以下面的拟合函数中时间变量的取值为
。
根据i值和j值的变化特点,对于i值选用三次曲线拟合,拟合函数为
对于j值选择用指数函数拟合,拟合函数为
拟合结果如图1所示,从图形上看拟合效果较好,特别是j的值从20天后基本稳定在1附近,没有太大变化。由上述的两个拟合函数结合方程(4)可以计算出54天的疑似病例和确诊病例的变化情况如图2所示。
![](//html.hanspub.org/file/14-2570469x47_hanspub.png?20220316084908919)
Figure 1. Calculation and fitted values of i and j
图1. i、j的计算取值及拟合值
![](//html.hanspub.org/file/14-2570469x49_hanspub.png?20220316084908919)
Figure 2. Original and fitted values of suspected and confirmed cases
图2. 疑似病例和确诊病例的原始数值与拟合数值
从预测的结果来看效果较好,特别是确诊病例预测较准确,只是在疑似病例中第30到50天这段时间的预测值和真实值比较有点偏高,因此,模型构造、参数拟合等方面仍需改进。
4. 结束语
本文利用集对分析方法讨论了SARS传染病模型,为定量分析传染病的传播规律提供了一个有效的研究途径和方法。该模型较好地反映了SARS的传播过程,与实际情况基本保持一致。病人数在4月24日至5月3日左右增长最快,即疫情达到高峰期。5月3日至5月30日增长趋势放缓,疫情进入平台期。5月30日后,病人数下降最快,疫情最终得到有效控制。
2003年爆发的“非典”疫情与2020年新冠肺炎疫情,均给我国带来了不同程度的经济损失 [13],同时也显示出公共卫生领域财政支出的重要性 [14]。SARS疫情经历显著增强了人们的危机意识,提高了人们抗疫的紧迫感、主动性和配合度,也有助于人们对此次疫情进行科学的属性认知和危害评估 [15]。有作者建议重新审视我们的科学防疫教育,总结抗击疫情的过程中吸取的经验教训,重视“非典”内容的教学,将其写入教科书 [16]。
基金项目
广东石油化工学院科研基金人才引进项目,项目编号:2019rc101。