(3 + 1)维修正KdV-ZK方程和(3 + 1)维KP方程的精确行波解

Exact Traveling Wave Solutions of the (3 + 1)-Dimensional Modified KdV-ZK Equation and the (3 + 1)-Dimensional KP Equation

摘要: 本文讨论了(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的精确行波解，得到了(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程的扭状孤波解和(3 + 1)维Kadomtsev- Petviashvili方程的双曲函数奇异解，并且利用Maple软件给出了解的3D和2D图，分析了解在特殊参数值下的动力行为。

Abstract: In this paper, we discuss the exact traveling wave solutions of the (3 + 1)-dimensional modified KdV-Zakharov-Kuznetsov equation and the (3 + 1)-dimensional Kadomtsev-Petviashvili equation, the twisted solitary wave solutions of the (3 + 1)-dimensional modified KdV-Zakharov-Kuznetsov equation and the hyperbolic function singular solutions of the (3 + 1)-dimensional Kadomtsev- Petviashvili equation were obtained; the 3D and 2D plots of the solutions were given with Maple, analyzing the dynamic behavior of the solutions under the particular parameters value.

1. 引言

非线性发展方程在许多领域中有着广泛的应用，例如在流体力学、固体物理、生物和海洋工程、光纤、等离子体物理和化学物理等领域中，涌现出类似于薛定谔方程 [1] 、KdV方程 [2] 等许多重要的非线性发展方程。如今，人们提出了许多有效的方法去构造非线性发展方程的精确行波解，如 $\left(G^{\prime }/G,1/G\right)$ 扩展法 [3] [4] ，正弦–余弦方法 [5] ， ${\text{e}}^{\left(-\Phi \left(\xi \right)\right)}$ 函数法 [6] [7] ，Jacobi椭圆函数法 [8] [9] ，tanh函数法 [10] ，扩展的直接代数法及新的扩展的直接代数法 [11] [12] [13] ， $\left(G^{\prime }/G\right)$ 扩展法 [14] [15] ，F-扩展法 [16] [17] ，映射法和扩展映射法 [18] ， $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法 [19] [20] [21] [22] 等。

本文主要用 $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法构造(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程 [14] (简称mKdV-ZK方程)

$u_t+\alpha u^2{u}_x+u_{xxx}+u_{xyy}+u_{xzz}=0$ (1)

和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程 [3] (简称KP方程)的精确行波解。

${\left(u_t+6u{u}_x+u_{xxx}\right)}_x-3u_{yy}-3u_{zz}=0$ (2)

方程(1)中包含四项耗散效应 $u_t,u_{xxx},u_{xyy},u_{xzz}$ 和一个对流过程 $u^2{u}_x$。在均匀磁场存在的情况下，方程(1)控制弱非线性离子声波的行为，包括冷离子和热等温电子的等离子体。1970年，Kadomtsev和Petviashvili在研究散色和非线性介质中的非线性波动理论时提出了KP方程，该方程是描述浅水波和等离子声波的方程，且在很多领域都有重要的应用。Zhang Z Y [8] 利用Jacobi椭圆函数展开法得到了方程(1)精确的行波解；Uttam Ghosh [23] 利用修正分数阶子方程方法得到了方程(1)的精确解析解；Md. Nur Alam [24] 利用一种 $\left(G^{\prime }/G\right)$ 扩展法获得了方程(1)一些新的和更一般的行波解。Ma W X [25] 总结了方程(2)的行波解和有理解；Zayed E M E [26] 利用 $\left(G^{\prime }/G,1/G\right)$ 扩展法得到方程(2)的孤立波解和三角周期解；Lu D [27] 运用拟设法获得了方程(2)的孤立波解、冲击波解和奇异波解等。

本文结构为：在第二部分，给出 $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法的具体步骤；在第三部分，利用 $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法构造了(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的精确行波解；在第四部分，对行波解的图形性态进行分析；总结在第五部分。

2. $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法的步骤

考虑如下非线性偏微分方程

$F\left(u,\frac{\partial u}{\partial t},\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2},\cdots \right)=0$ (3)

令行波变换

$u=u\left(\xi \right)=u\left(x,y,z,t\right),\xi =x+y+z-ct,c\ne 0$ (4)

其中c是波速。在方程(3)中用行波变换(4)可得如下常微分方程

$P\left(U,U\prime ,U″,\cdots \right)=0$ (5)

$\prime =\frac{\partial U}{\partial \xi }$。假定方程(5)有如下形式的解

$U\left(\xi \right)=a_0+{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{a}_i}{\left(\frac{1}{G^{\prime }\left(\xi \right)}\right)}^i$ (6)

其中 $a_i\left(i=0,1,\cdots ,n\right)$ 为待定常数，n由齐次平衡原则确定， $G=G\left(\xi \right)$ 满足二阶常微分方程

$G″+\kappa G\prime +\mu =0$ (7)

其中 $\kappa ,\mu$ 是参数，方程(7)有如下形式的解 [19]

$\frac{1}{G^{\prime }\left(\xi \right)}=\frac{1}{-\frac{\mu }{\kappa }+A\cosh \left(\xi \kappa \right)-A\sinh \left(\xi \kappa \right)}$ (8)

将 $U\left(\xi \right)$ 以及 $U\left(\xi \right)$ 的各阶导数与方程(7)代入方程(5)中，合并 ${\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^i$ $\left(i=0,1,\cdots ,n\right)$ 的次数，得到一个关于 $a_0,a_1,\cdots ,a_n$ 的代数方程组，再借助解(8)可得出方程(3)的精确行波解。

3. 精确行波解

在本部分利用 $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法构造(3 + 1)维修正KdV-Zakharov-Kuznetsov方程和(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的精确行波解。

3.1. mKdV-ZK方程的精确行波解

将行波变换(4)代入方程(1)可得

$-cu\prime +\alpha u^{2}u\prime +3u^{‴}=0$ (9)

其中c是波速。对方程(9)积分一次，并令积分常数为零，则

$-cu+\frac{1}{3}\alpha u^3+3u″=0$ (10)

根据最高阶导数项 $u^{″}$ 与非线性项 $\alpha u^3$ 的平衡原则，可得 $n=1$。再由方程(6)可设方程(10)有如下形式的解

$u\left(\xi \right)=a_0+a_1\left(\frac{1}{G\prime }\right)$ (11)

其中 $a_0,a_1$ 是待定常数，将方程(11)以及 $u\left(\xi \right)$ 的相关导数与方程(7)代入方程(10)，合并同类项令 ${\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^i$ $\left(i=0,1,2,3\right)$ 的系数为0，得到关于 $a_0,a_1$ 与c的代数方程组为：

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^0:-a_{0}c+\frac{1}{3}\alpha a_0^3=0\\ {\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^1:-a_{1}c+\alpha a_0^2{a}_1+3a_1{\kappa }^2=0\\ {\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^2:\alpha a_0{a}_1^2+9a_1\kappa \mu =0\\ {\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^3:\frac{1}{3}\alpha a_1^3+6a_1{\mu }^2=0\end{array}$ (12)

求解上述方程组可得：

$a_0=\pm \sqrt{\frac{3c}{\alpha }},a_1=-\frac{9\kappa \mu }{\alpha a_0},c=-\frac{3{\kappa }^2}{2}$ (13)

将方程(13)和方程(8)代入方程(11)，得出方程(1)有如下形式的双曲函数解：

$u_1\left(\xi \right)=\pm \frac{3\sqrt{2\alpha }}{\alpha }i\left[\frac{\kappa }{2}+\frac{\mu }{-\frac{\mu }{\kappa }+A\cosh \left(\xi \kappa \right)-A\sinh \left(\xi \kappa \right)}\right]$ (14)

由 $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法得到的双曲函数解(14)的3D、2D图如图1所示，其中 $\xi =x+y+z+\frac{3{\kappa }^2}{2}t$， $\kappa ,\mu$ 为参数，i为虚数单位。

Figure 1. The 3D and 2D plots of solution (14)

图1. 解(14)的3D与2D图

3.2. KP方程的精确行波解

将行波变换(4)代入方程(2)可得

${\left(-cu\prime +6uu\prime +u^{‴}\right)}^{\prime }-6u″=0$ (15)

其中c表示波速。对方程(15)积分两次，令积分常数为零，可得

$-cu-6u+3u^2+u″=0$ (16)

考虑 $\xi \to \pm \infty$ 时， $\left|u\right|\to 0$，根据最高阶导数项 $u″$ 与非线性项 $u^2$ 的平衡原则，可得 $n=2$，再由方程(6)可设方程(16)有如下形式的解

$u\left(\xi \right)=a_0+a_1\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)+a_2{\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^2$ (17)

其中 $a_0,a_1,a_2$ 是待定常数，将方程(17)以及 $u\left(\xi \right)$ 的相关导数与方程(7)代入方程(16)，合并同类项令 ${\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^i$ $\left(i=0,1,2,3,4\right)$ 的系数为0，得到关于 $a_0,a_1,a_2$ 与c的代数方程组为：

$\begin{array}{l}{\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^0:-a_{0}c-6a_0+3a_0^2=0\\ {\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^1:-a_{1}c-6a_1+6a_0{a}_1+a_1{\kappa }^2=0\\ {\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^2:-a_{2}c-6a_2+3a_1^2+6a_0{a}_2+3a_1\kappa \mu +4a_2{\kappa }^2=0\\ {\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^3:3a_1{a}_2+a_1{\mu }^2+5a_2\kappa \mu =0\\ {\left(\frac{1}{G^{\prime }}\right)}^4:a_2^2+2a_2{\mu }^2=0\end{array}$ (18)

求解上述方程组，得出如下解的情况：

情况1. $a_0=0,a_1=-2\kappa \mu ,a_2=-2{\mu }^2,c={\kappa }^2-6$ (19)

将方程(19)和方程(8)代入方程(17)，得出方程(2)有如下形式的双曲函数解：

$u_2\left(\xi \right)=-\frac{2\kappa \mu }{-\frac{\mu }{\kappa }+A\cosh \left(\xi \kappa \right)-A\sinh \left(\xi \kappa \right)}-\frac{2{\mu }^2}{{\left(-\frac{\mu }{\kappa }+A\cosh \left(\xi \kappa \right)-A\sinh \left(\xi \kappa \right)\right)}^2}$ (20)

其中 $\xi =x+y+z-\left({\kappa }^2-6\right)t$。

情况2. $a_0=\frac{1}{3}\left(c+6\right),a_1=-2\kappa \mu ,a_2=-2{\mu }^2,c=-\left({\kappa }^2+6\right)$ (21)

将方程(21)和方程(8)代入方程(17)，得出方程(2)有如下形式的双曲函数解：

$u_3\left(\xi \right)=\frac{1}{3}\left(c+6\right)-\frac{2\kappa \mu }{-\frac{\mu }{\kappa }+A\cosh \left(\xi \kappa \right)-A\sinh \left(\xi \kappa \right)}-\frac{2{\mu }^2}{{\left(-\frac{\mu }{\kappa }+A\cosh \left(\xi \kappa \right)-A\sinh \left(\xi \kappa \right)\right)}^2}$ (22)

其中 $\xi =x+y+z+\left({\kappa }^2+6\right)t$。

Figure 2. The 3D and 2D plots of solution (20)

图2. 解(20)的3D与2D图

Figure 3. The 3D and 2D plots of solution (22)

图3. 解(22)的3D与2D图

4. 图像分析

图1是方程(1)的解 $u_1$ 在 $-10\le x,t\le 10$ 区间内，当参数 $\mu =-1,\alpha =\kappa =y=z=1,A=0.4$ 时的3D性态，以及 $t=1$ 时的2D性态。根据波向右传播，有一个波峰，且波的形状和速度保持不变，可知解 $u_1$ 为方程(1)的扭状孤波解。图2是方程(2)的解 $u_2$ 在 $-10\le x,t\le 10$ 区间内，当参数 $\mu =\kappa =y=z=1,A=0.4,c=-5$ 时的3D和 $t=-1$ 时的2D性态。可以看出解 $u_2$ 有一个波谷，并且出现尖点，因此 $u_2$ 为方程(2)的非光滑奇异解。图3是方程(2)的解 $u_3$ 在 $-10\le x,t\le 10$ 区间内，当参数 $\mu =\kappa =y=z=1,A=0.4,c=-7$ 时的3D和 $t=-1$ 时的2D性态。可以观察到解 $u_3$ 有一个波谷和尖点，因此 $u_3$ 为方程(2)的非光滑奇异解。

5. 总结

本文主要用 $\left(1/G^{\prime }\right)$ 扩展法构造了方程(1)和方程(2)的精确行波解，得到方程(1)的解为扭状孤波解，方程(2)的解为非光滑奇异解。做出了这些解在特殊参数值下的3D和2D图，并对这些解的性态进行了分析。

通过将解(14)与文献 [19] 中解(23)比较发现，若解(14)中令 $\alpha =-18$ 时，可得出解的形式为 $u_1\left(\xi \right)=-\frac{\kappa }{2}-\frac{\mu }{-\frac{\mu }{\kappa }+A\cosh \left(\xi \kappa \right)-A\sinh \left(\xi \kappa \right)}$，而解(23)中令 $a_1=-\mu$，可得出相同形式的解。由此可见，

解(14)比解(23)更具有一般性。

致谢

我对本文进行审阅的各位老师表示由衷的感谢。

基金项目

贵州省科学技术厅基金[2019] (1162)。

NOTES

^*通讯作者。