1. 引言
柯西不等式是一类著名不等式 [1] [2],在实数域或复数域上的内积空间
,
,
为Cauchy-Schwarz不等式最基本形式。此不等式在数学领域中有着广泛的应用,是区别于均值不等式的另一类重要不等式。通过变形可以推广出很多形式,从而应用在不同领域中。本文主要介绍了Cauchy-Schwarz不等式的离散形式与积分形式,并给出了几种具有代表性的证明方法,以便于对柯西不等式更好的理解。
2. Cauchy不等式的定理证明
2.1. 柯西不等式的离散形式
定理1 [3]:对
,有
。等号成立的充要是,
,
,即当
时等号成立。
引理1 [2] [4] 设矩阵
,
,令
,
,则
等于
中所需要的
阶子式与
中对应同阶子式乘积和。
证法1 令矩阵
,
,则
。
故
,由引理
。
故
。
证法2 [5] 构造二次函数
令
其中
。
又
恒成立
即
,当且仅当
时等号成立。
引理2 在规定的欧式空间中,对
两个向量,回顾两个性质:
1) 令
,
,有
。
2) 在一个欧式空间里,对
向量
有不等式
,等号成立当且仅当
线性相关。
证法3 通过欧式空间,取
,
则
,
,
,根据引理
可得
等号成立当且仅当
线性相关。
2.2. 柯西不等式的积分形式
定理2 [6] [7] (Cauchy-Schwarz不等式)设在
上的实可积函数,则
(当且仅当
线性相关时等号成立)。
证法1
都在
上可积,利用积分定义将
区间
等分
令
,由定积分的性质
,
,在
上均可积
由Cauchy-Schwarz不等式离散形式
得
并由极限的保号性证明成立即
。
证法2(判别式法)
对
,有
即
即
证明成立。
证法3 利用定积分的性质
令
,即
即
其中
取积分
化简得
因此
由
,
代入得
因此
。
3. Cauchy-Schwarz不等式其他推广及应用
定理3 [8] 将不等式
改写成行列式的形式
,再设另一函数
,
在
上可积,那么
。
证明 对
,有
可以看到
的二次型为半正定二次型,从而系数矩阵行列式为
。
引理3 [9] [10]
。
。有
,
,且
。
定理4
1) 在欧式空间
,若
,
,则
,当且仅当线性相关时等号成立。
2) 设概率空间
中,
随机变量
,
。有
,当且仅当
时,等号成立,
为任意常数。
证明 1) 设
。令
是一个实数,作向量
,不论
取何值一定有
即
取
代入(1)式得
证明成立。
2) 当
时,
,故
不等式成立;当
时,令
,其中
大于等于0,于是
,即
,证明成立。
定理5 [11] 对
,
,有
,
。
证明 当
时,结论成立。设
不全为0,
也不全为零,由引理3,得
因此结论成立。