1. 引言
给定两个简单图G和F,如果图G不包含图F作为子图,那么称图G是F禁止的。令
表示n个顶点的F禁止图G含有的最大边数。1941年,Turάn [1] 证明了n个顶点Kr+1禁止的图的最大边数为Turάn图的边数,Turάn图是每个部集大小为
或
的平衡r部完全图,记为
,
。这一重要结论即为极值图论中著名的Turάn定理。在Turάn定理的基础上,Erdős [2] 和Simonovits [3] 进一步证明了如果图G是Kr+1禁止的,且满足
,那么图G可以通过添加或删除
条边后变为r部Turάn图。1981年,Brouwer [4] 证明了任意一个Kr+1禁止的图G,
,那么图G为一个r部图。这一类有趣的问题被称为Turάn定理的稳定性问题,目前已经得到了广泛的研究和应用,相关文献可查阅 [5] - [12]。
1966年,Erdős [2] 证明了下面的Erdős-Stone-Simonovits定理。
定理1.1对于任意给定的一个图H,
令
表示为使得满足对于任意一个含有
条边的Kr+1禁止的图G通过删掉至多
条边后成为r部图的最小值。2013年,Füredi [13] 首先证明了
。当
时,Roberts和Scott [14] 证明了
。后来,Balogh,Clemen,Lavrov,Lidický和Pfender [15] 确定了
的一个渐进的界,并提出了下面的一个关于精确界的猜想。
猜想1.1令
,n是一个充分大的正整数。对于任意一个含n个顶点Kr+1禁止的图G,存在一个不平衡的
的blow-up图H,满足
。
令G为k个顶点的图,图G的blow-up图
,
,其中
,
是两两不相交的。如果
与
在图H中是相邻的当且仅当
和
在图G中是相邻的。我们用
表示图G成为r部图需要删掉的最少边数。令
为一个完全
部图的
个部集,其中Z由一个C5的blow-up图构成
。如果
,并且
每个部集大小为
或
,那么我们称这个图为星Turάn图。2020年,Korάndi,Roberts和Scott [16] 证明了Balogh [15] 他们提出的猜想1.1,证明了下面的定理1.2。
定理1.2令
,
,如果图G是含n个顶点Kr+1禁止的,
,那么存在一个含n个顶点的星Turάn图
,满足
。
另外,他们在论文中还提出了一个关于奇圈Turάn问题稳定性的猜想。
猜想1.2令
,图G是含n个顶点不包含C2k−1禁止的,
,那么一定存在一个C2k+1的blow-up图
,满足
。
在本文中,我们证明了下面的定理。
定理1.3令
,
,
,图G为含n个顶点的C2k−1禁止的图,
,那么
。
下面我们给出本文中的一些相关定义。在简单图G中,我们用
表示图G中顶点v的度数,为了方便起见,我们用
代替
,
表示图G的最小度数,
表示图G的色数,对于G的顶点子集
,用
表示由顶点子集合X生成的导出子图,令
表示由
生成的导出子图。
表示G中与X的某个顶点相邻的所有顶点集。设
且
,令
表示G的一个特定子图,其顶点集合为
,边集合为所有一个端点在X中另一个端点在Y中的所有G中边构成的集合。令
与
为两个顶点不相交的图,
为顶点集为
,边集为
的图。
表示在图
中,把
与
的每个顶点连接起来所得到的图。
2. 证明定理1.3
图G是含n个顶点C2k−1禁止的图,
,我们的目标是确定
的一个上界。如果直接在图G中确定
的一个上界是比较困难的,所以我们考虑首先在图G中寻找一个足够大的
禁止的子图
,确定
的一个上界,然后进一步确定
的一个上界。在证明过程中我们需要下面的一些相关结论。
定理2.1 [Fox, Himwich, Mani [17] ] G为含n个顶点的C2k−1禁止的图,
,那么图G可以通过删掉
条边后变成一个
禁止的图。
引理2.1 [Andrάsfai, Erdős, Sós [18] ] G是含n个顶点图,
,如果图G中的最短奇圈圈长为
,那么
。
如果G是含n个顶点的
禁止的图,那么图G的最短奇圈圈长至少为
,根据引理2.1知,当图G的最小度满足
时,那么图G为一个二部图。
引理2.2 G为含n个顶点的
禁止的图,
,那么存在顶点子集
,
,使得
为一个二部图,并且
证明:令
,每次删掉一个顶点,依次形成图
,
。如果
中存在一个顶点v,满足
,那么我们令
,继续上述删点过程。否则,如果
中任意一点
,满足
,那么停止删点过程。
令S表示上述删点过程图G中删掉的所有顶点集合,
,
。
是含
个顶点的
禁止的图,那么图
的最小奇圈圈长至少为
,再由删点过程知
。根据引理2.1我们得到图
为二部图。
因为
是
禁止的图,所以
。那么
(2.1)
如果
,那么
得到矛盾,因此
,令
由拉格朗日中值定理得,存在某个整数
,使得
由于
,
(2.2)
根据(2.1) (2.2)式得,
,由此推出
,因为
,那么
,并且
引理2.2即证。
定理1.3的证明:根据定理2.1知,存在一个子图
,使得图
是
禁止的,且
,令
,因为
,那么
再根据引理2.2知,图
中存在一个顶点子集
,
,使得
为一个二部图,并且
令A,B为二部图
的两个部集。因为
所以
,又因为
,所以得到
。
断言2.1任意一个顶点
,
或
。
证明断言2.1若不然,我们假设
且
,那么一定存在两个顶点,不妨设为
,使得满足
。根据引理2.2知
利用贪婪算法我们一定可以在图
中找到一条长为
起点为
终点为
的路
,因为
为二部图,
为偶长路,所以
,由于
那么
我们断言
。若不然,如果
,那么
(2.3)
又因为
,所以
(2.4)
根据(2.3) (2.4)得
,由此推出
,这与定理条件
矛盾,所以我们的假设不成立,即
。
不妨设存在一条边
,
,
。在这种情况下,我们得到
为一个
长的圈,这与图
是不包含C2k−1的条件矛盾,所以对于任意一个顶点
,断言2.1即证。
根据断言2.1知,顶点子集T中的所有顶点与A或B中至少一个部集之间不连边。下面我们考虑将顶点子集合T中的所有顶点重新放入
任意一点
,如果
,那么我们将顶点u放入A中。反之,如果
,那么我们将顶点u放入B中。顶点子集T中所有顶点放入A,B之后,我们最终得到了图
的一个二部划分,令其为
,
,
。即
令
,
,
,根据T中顶点的放入原则,我们知道图
的二部划分中每个部集的内部的边只与
相关联,所以
。
因为
是C2k−1禁止的,所以
和
也是C2k−1禁止的,所以
所以
由于
,
,所以
这一结果表明含n个顶点的
禁止的图
,
,
。又因为n是充分大的,
,
,
,所以有
定理1.3即证。
3. 结语
本文主要对奇圈Turάn问题的稳定性进行了研究。对于任意一个C2k−1禁止的图G,
,我们确定了
的一个上界,但是这一上界还是可以改进的,我们需要确定图G的一个更加合适的二部划分,进而得到更精确的
的一个上界。具体证明思路及过程需要我们后续进一步的研究。