1. 引言
考虑分数阶不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程
(1.1)
的周期解。其中,向量函数
表示流体在点
的未知速度,标量函数
是流体在
的未知压力。
是围绕垂直单位向量
的旋转速度。
表示给定具有时间周期
的外力,
是关于空间变量x的Laplacian微分算子。设
,分数阶Laplacian微分算子
通过Fourier变换定义为:
.
不可压缩Navier-Stokes方程在气象学、海洋学和地球物理学等众多领域中有着广泛的应用。由于地球自转对空气流及海洋流产生着旋转效应与周期效应,因此研究带有旋转效应的不可压缩Navier-Stokes方程周期解的适定性问题具有一定的理论意义。
当
时,(1.1)式为经典的不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程。Hieber, M.和Shibata, Y.在文献 [1]
中证明了初值为
的
空间范数充分小时,不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程初值问题存在唯一的整
体mild解。Zhao, H.和Wang, Y. X.在文献 [2] 中证明了对于一类特殊大初值
,不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程初值问题整体解的存在性,其中
而
满足其它更多条件。Wang, W. H.和Wu, G.在文献 [3] 中证明了空间
中三维不可压缩广义Navier-Stokes-Coriolis方程解的
整体适定性,其中
。Iwabuchi, T.和Takada, R.在文献 [4] 中证明了当
足够大时,具有时间周期
外力Navier-Stokes-Coriolis方程的周期解。
当
时,(1.1)式为分数阶不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程。Ding, Y.和Sun, X. C.在文献 [5] 中证明了分数阶不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程的色散效应和解的局部适定性。Kiahimoto, N.和Yoneda, T.在文献 [6] 中研究了Ω足够大时在周期坐标系内三维旋转流体方程整体解的存在性。Wang, W. H.和Wu, G. [7] 证明了在空间
中分数阶随机不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程解的全局存在性,
其中
,
,
。
根据Duhamel定理,(1.1)式等价于下列积分方程:
, (IP)
其中,
为散度自由向量域上的Helmholtz投影,(IP)中的
为(1.1)式的线性方程的解半群:
,
其中
,
。I表示单位矩阵,
为Riesz变换:
。
本文考虑了分数阶不可压缩Navier-Stokes-Coriolis方程的周期性解。主要结论为:
定理1.1设
,
,
,
,
,并且
,且
,
. (1.2)
存在正常数
,
及
,使得
,对
,
且
,
(1.1)式存在唯一的周期mild解
,并且
,其中
,
.
注记1.2 Kozono, H.和Nakao, M.在文献 [8] 中证明了三维不可压缩Navier-Stokes方程在条件
,
,
,
及
,
下存在唯一的周期解。Iwabuchi, T.和Takada, R.在文献 [4] 中证明了外力满足与参数
相关的尺寸条件下不可压缩Navier-Stoke-Coriolis方程周期解的存在性。受以上两篇文献启发,本文定理1.1将结论推广至分数阶不可压缩Navier-Stoke-Coriolis方程,其中
。
2. 预备知识
首先给出符号说明及相关函数空间的定义。
表示具有紧支集的所有实值
向量函数
的集合,且
。
为
关于范数
的闭包,其中
。
表示
上r次Lebesgue可积函数空间,
表示齐次Sobolev空间。
表示为
的对偶空间,
,
。
其次介绍Littlewood-Paley分解.设
为Schwartz函数空间,
为缓增广义函数空间.设
为径向函数,且
满足下列性质
;
,
.
令
,定义频率局部化算子
为
,
,
.
令
,其中
为定义在
上的全体多项式所构成的线性空间。
设
,
,
,则齐次Besov空间
定义为
,
其中
3. 非线性估计
对(IP)中的非线性项进行估计。设
. (3.1)
Hieber, M.和Shibata, Y.在文献 [1] 中给出了热半群
的
估计。在此基础上,Liu, J.和Sun, X. C. [9] 及Miao, C. X.,Yuan, B. Q.,Zhang, B.在文献 [10] 中给出了分数阶热半群
的
估计。
引理3.1 [9] 设
,且
,则存在正常数
,使得
,
及
,有
. (3.2)
引理3.2 [10] 设
,且
,则存在正常数
,使得
,
及
,有
. (3.3)
引理3.3设
,
,
,并且
。对
,
,使得
,且
, (3.4)
. (3.5)
证明:将
分为两个部分
,
其中
,
.
首先证明(3.4)式。
的估计:由于
,
,
,
与
,r与
分别为共轭关系,
。由引理3.1及Hölder不等式可得
由对偶性可得
. (3.6)
的估计:对
,
,
, (3.7)
(3.8)
故由(3.6)式和(3.8)式可得
.
其次,证明(3.5)式。
的估计:由(3.7)式,引理3.1及Hölder不等式可得
(3.9)
的估计:引入参数
和l,
,
,
,
。
根据嵌入关系
↪
和引理3.1可得
(3.10)
故由(3.9)式和(3.10)式可得
.
4. 线性估计
对(IP)中的线性项进行估计。设
.
Kozono, H.,Ogawa, T.和Taniuchi, Y. [11] 在齐次Besov空间中对热半群
做估计。Miao, C. X.,Yuan, B. Q.和Zhang, B. [10] 对分数阶的热半群
做了
的估计。Sun, X. C.和Ding, Y. [12] 推广到齐次Besov空间。
引理4.1 [12] 设
,
,则存在正常数
,使得对
,
及
,有
.
引理4.2设
,
,
,则存在正常数
,使得
,
及
,有
.
证明:设
,记
。
令
,则
。
下证
,
,存在正常数
,
,
。
有
,
。
其中
,
,
。
再根据引理3.1可得
,
可得
.
引理4.3设
,
,
,并且
。指标s, p, l满足
,
,
,
. (4.1)
对
,使得
,并存在正常数
有
, (4.2)
. (4.3)
证明:将
分为两个部分
,
其中
,
.
首先估计(4.2)式。
的估计:
,
。由引理4.3,Plancherel定理及参考文献 [13] 连续嵌入关系
↪
和
↪
。
(4.4)
的估计:
,
。由引理3.1可得
(4.5)
故由(4.4)式和(4.5)式可证得
.
其次,证明(4.3)式。
的估计:
,
。由引理3.1,引理4.2,Plancherel定理和(4.1)式可得
(4.6)
的估计:
,
。由引理3.1可得
(4.7)
故由(4.6)式和(4.7)式可得
.
5. 证明定理1.1
设
,
,
,并且
。定义Banach空间
如下:
,
.
由迭代逼近方法构造时间周期mild解
,
,
, (5.1)
其中,
。
指标s、p、l、
满足(1.2)式,根据引理4.3,
,
,存在正常数
使得
(5.2)
又因f是给定周期为
的外力,则
的周期也为
。根据归纳理论及引理3.3可得,
,
属于Banach空间
,且周期也为
.
由(3.4)式和(3.5)式,存在正常数
使得
(5.3)
假设
. (5.4)
那么由(5.2)式和(5.4)式可得
.
根据(5.3)式和归纳理论可得
, (5.5)
注意到
.设
,
,并且
由引理3.3和(5.5)式可得
(5.6)
设
,
。(5.6)式为柯西列,
为完备的赋范空间,故极限v属于空间
可表示为
. (5.7)
从而极限v的周期与f的周期相同为
。
(5.8)
由(5.7)式和(5.8)式可证得极限v是满足方程(1.1)式的周期mild解,且
。
下证解的唯一性。
设
属于Banach空间
,
是满足方程(1.1)式的另一个周期mild解,且
。
由引理3.3和(5.5)式可得
,
则
,
,故
。即定理1.1证毕。
NOTES
*通讯作者。