1. 引言
许多数学、物理、化学和工程技术上的问题是用非线性偏微分方程来描述的。而它们的解能解释各种非线性现象。各种求解非线性偏微分方程的方法被提岀,如Hirota法 [1] [2]、Darboux变换法 [3] [4] 等。有一类方法,如扩展的tanh-函数法 [5]、改良的扩展tanh-函数法 [6]、Riccati方程有理数展开法 [7]、改进的tanh-函数法 [8] [9]、Riccati映射法 [10] [11] [12]、进一步扩展的tanh-函数法 [13]、多Riccati方程有理数展开法 [14] [15]、进一步扩展的Riccati方程有理数展开法 [16]、有理函数法 [17] [18] 和多Riccati方程有理指数函数法 [19] [20] 等都是基于Riccati方程及其解来构造非线性偏微分方程的解,如果Riccati方程的解丰富,得到的非线性偏微分方程的解也越丰富。
Riccati方程被写成
(1)
文献 [5] - [16] 中,根据方程(1)中的p、q值的不同,给出了17种不同的双曲函数、三角函数和q变形函数解。文献 [17] [18] [19] [20] 中,给出了方程(1)的一个有理指数函数解,发现从这个有理指数函数解出发,通过一定的变换法则,可以导出文献 [5] - [16] 给出的17种不同的双曲函数、三角函数和q变形函数解,揭示出方程(1)的各种双曲函数、三角函数和q变形函数解有可能用有理指数函数解的形式统一起来。由于其中有些双曲函数解、三角函数解和q变形函数解,无法从文献 [17] [18] [19] [20] 给出有理指数函数解中直接得出,需要遵循一定的变换规则才能得到,因而,文献 [17] [18] [19] [20] 给出有理指数函数解还不完善。
本论文对文献 [17] [18] [19] [20] 给出的方程(1)的有理指数函数解进行推广,得到一个带多参数的更加一般的有理指数函数解,通过设定不同的参数值,直接能导出17种不同的双曲函数、三角函数和q变形函数解,而且还包含了不能用双曲函数、三角函数和q变形函数表示,无限多个有理指数函数解。将方程(1)的各种形式解用统一的有理指数函数解表达出来。
2. Riccati方程统一的有理指数函数解
文献 [17] 给出了方程(1)的有理指数函数解:
当
,
(2)
其中
为任意常数。
方程(2)中的仅限于
的指数函数,若对方程(2)中
的作
变换,得到的有理指数函数表达式并非方程(1)的解。为了能得到方程(1)的关于
的有理指数函数解。令
,方程(1)变成:
(3)
其中
。
化简方程(3)可得
(4)
比较方程(1)和方程(4)可知,方程(4)是对方程(1)作
变换得到。显然,对方程(1)的解方程(2)作
变换可得方程(4)的解,它是
(5)
其中
,
是不为零的任意常数。
化简方程(5),得
(6)
其中
为任意常数。
方程(6)是方程(4)的有理指数函数解,而方程(4)能改成
(7)
方程(7)正是对方程(1)作
变换得到的方程。所以方程(6)正是方程(1)的关于
的有理指数函数解。
3. Riccati方程有理指数函数解与已知的双曲函数、三角函数解之间的关系
由于方程(6)中参数
可以是任意常数,取不同数值可以得到不同有理指数函数解,即Riccati方程(1)有无穷多的有理指数函数解。对
取一些特殊的数值,可以得到文献 [5] - [20] 给出的各类双曲函数、三角函数、q变形函数解和有理指数函数解。
1) 令
,方程(6)变成
(8)
(9)
2) 令
,方程(6)变成
(10)
(11)
3) 令
,方程(6)变成
(12)
方程(6)~(12)正是文献 [13] 给出的Riccati方程(1)的q变形三角函数和q变形双曲函数解。
4) 令
,方程(6)变成
(13)
(14)
方程(13)与方程(14)是等价的。
5) 令
,方程(6)变成
(15)
6) 令
,方程(6)变成
(16)
7) 令
,方程(6)变成
(17)
(18)
8) 令
,方程(6)变成
(19)
9) 令
,方程(6)变成
(20)
方程(13)~(20)正是文献 [7] 给出的Riccati方程(6)各类双曲函数和三角函数解。
10) 令
,方程(6)变成
(21)
(22)
11) 令
,方程(6)变成
(23)
(24)
方程(21)~(24)正是文献 [5] 给出的Riccati方程(1)的各类双曲函数、三角函数解。
12) 令
,方程(6)变成方程(2),正是文献 [17] 的结果。
4. 结论
从上述分析可得,文献 [5] - [20] 各类双曲函数解、三角函数解、q变形三角函数解和q变形双曲函数解都是方程(6)的特解,同时方程(6)中参数
还可取其它的任意值,得到Riccati方程(1)无限多的不同有理指数函数解。所以方程(6)是Riccati方程(1)统一的广义解析解。
借助Riccati方程(1)统一的广义解析解方程(6),结合文献 [5] - [20] 的方法,可以非常容易获得非线性系统大量有理指数函数解,通过对这些新的解析解的研究,有助我们解决工程中碰到的一些技术问题,帮助我们解决科学上的一些新问题。
致谢
这项工作获得丽水市重点研发计划项目(项目号:2019ZDYF5)资助。