Gauss-Weierstrass算子在Ba空间中的逼近阶

The Approximation Order of Gauss-Weierstrass Operator in Ba Spaces

摘要: 借助Hardy-Littlewood极大函数、连续模为工具，在Ba空间中研究了Gauss-Weierstrass算子逼近问题，得到了有关二阶连续模的逼近阶。

Abstract: With the help of Hardy-Littlewood maximal function and continuous modulus as tools, the Gauss-Weierstrass operator approximation problem in Ba space is studied, and two approximation orders of the second order continuous moduli are obtained.

1. 引言和主要结果

$L_n\left(f,x\right)$ 算子是指：

$L_n\left(f;x\right)=\sqrt{\frac{n}{2\pi }}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\text{e}}^{\frac{-n{\left(u-x\right)}^2}{2}}}f\left(u\right)\text{d}u.$

其中 $f\left(u\right)\in L_p\left(R\right)$ 且有界。

关于该 $L_n\left(f,x\right)$ 在 $L_p\left(R\right)$，Besov以及Orlicz空间的研究已经有了很多的研究成果 [1] [2] [3] [4]。本文在 $\text{Ba}\left[0,1\right]$ 空间中研究了该算子的逼近问题。 $\text{Ba}\left[0,1\right]$ 空间是我国数学家，科学院院士丁夏畦引进的一类比较重要的函数空间 [5]。

定义 设 $B=\left\{L_{p_1},L_{p_2},\cdots ,L_{p_m},\cdots \right\}$ 是一列Lebesgue空间， $p_m>1\left(m=1,2,3,\cdots \right)$， $\alpha =\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m,\cdots \right\}$ 是一个非负实数列。如果对于 $f\left(x\right)\in {\displaystyle \underset{m}{\cap }{L}_{p_m}}$，存在实数 $\alpha >0$，使得

$I\left(f,\alpha \right)={\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}{a}_m{\alpha }^m}{\Vert f\Vert }_{p_m}^m<+\infty ,$

则称 $f\left(x\right)\in \text{Ba}$ 且定义

${\Vert f\Vert }_{Ba}=\inf \left\{\alpha >0:I\left(f,\frac{1}{\alpha }\right)\le 1\right\}$

为函数 $f\left(x\right)$ 在Ba空间中的范数，Ba空间中所定义的上述范数是完备的。

对于 $f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$ 和 $t>0$，令 $f\left(x\right)$ 的二阶连续模为

${\omega }_2{\left(f,t\right)}_{Ba}=\underset{0\le h\le t}{\sup }{\Vert f\left(x+h\right)+f\left(x-h\right)-2f\left(x\right)\Vert }_{Ba}$

在本文献中规定 $\alpha >0$， $C\left(s,q,\cdots \right)$ 表示仅与括号的字母有关的常数，C在不同地方代表不同的值。本文所得到的结果如下：

定理1 设 $B=\left\{L_{p_1},L_{p_2},\cdots ,L_{p_m},\cdots \right\}$ 是一列Lebesgue空间， $p_m>1\left(m=1,2,3,\cdots \right)$， $\alpha =\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m,\cdots \right\}$

是一个非负实数列。如果 $\left\{a_m^{\frac{1}{m}}\right\}\in l^{\infty }$， $\left\{a_m^{-\frac{1}{m}}\right\}\in l^{\infty }$， $p_0=\underset{m}{\inf }\left\{p_m\right\}>1$，则对 $f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$ 和充分大的n，有

${\Vert L_n\left(f\right)-f\Vert }_{Ba}\le C\left(\frac{1}{n}{\Vert f\Vert }_{Ba}+{\omega }_2{\left(f,\frac{1}{n}\right)}_{Ba}\right).$

其中 $s=\underset{m}{\inf }\left\{a_m^{\frac{1}{m}}\right\}$， $q=\underset{m}{\sup }\left\{a_m^{\frac{1}{m}}\right\}$。

2. 若干引理

引理1若 $f\in L_p\left[0,1\right]$，则

${\Vert L_n\left(f,x\right)\Vert }_{L_p}\le {\Vert f\Vert }_{L_p}.$

证明：根据文献 [1] 中引理3.3，类似可证之。

引理2 $L_n\left(f;x\right)$ 是 $\text{Ba}\left[0,1\right]\to \text{Ba}\left[0,1\right]$ 的正有界线性算子，并且 $\Vert L_n\Vert \le \frac{2q}{s}\left(n=1,2,\cdots \right)$。

证明：对于 $f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$，由文献 [6] 中定理1的证明知： ${\Vert f\Vert }_{p_m}\le \frac{1}{s}{\Vert f\Vert }_{Ba}$，有

$\begin{array}{c}{\Vert L_n\left(f;•\right)\Vert }_{Ba}=\inf \left\{\alpha :{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_m{\Vert L_n\left(f;•\right)\Vert }_{p_m}^m}{{\alpha }^m}}\le 1\right\}\le \inf \left\{\alpha :{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_m{\Vert f\Vert }_{p_m}^m}{{\alpha }^m}}\le 1\right\}\\ \le \inf \left\{\alpha :{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{a_m}{{\alpha }^m}}\frac{1}{s^m}{\Vert f\Vert }_{Ba}^m\le 1\right\}\le \inf \left\{\alpha :{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(\frac{q{\Vert f\Vert }_{Ba}}{\alpha s}\right)}^m}\le 1\right\}.\end{array}$

令 $\alpha =\frac{2q}{s}{\Vert f\Vert }_{Ba}$，则 ${\displaystyle \underset{m=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(\frac{q{\Vert f\Vert }_{Ba}}{\alpha s}\right)}^m}=1$，根据Ba空间范数的定义可知

${\Vert L_n\left(f;•\right)\Vert }_{Ba}\le \frac{2q}{s}{\Vert f\Vert }_{Ba}.$

则有 $\Vert L_n\Vert \le \frac{2q}{s}\left(n=1,2,\cdots \right)$，引理3证毕。

引理3 [1] 设 $A_m\left(n,x\right)=n^m{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }W\left(n,x,u\right)}{\left(u-x\right)}^m\text{d}u$，则

$A_{m+1}\left(n,x\right)=nm{A}_{m-1}\left(n,x\right)+\frac{\text{d}}{\text{d}x}{A}_m\left(n,x\right).$

$A_0\left(n,x\right)=1,A_1\left(n,x\right)=0,$

$A_{2r+1}\left(n,x\right)=0,A_{2r}\left(n,x\right)=\left(2r-1\right)!!n^r.$

引理4 [7] 在定理1的条件下，对于 $f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$，作 $f\left(x\right)$ 的Hardy-Littlewood控制函数

${\theta }_f\left(x\right)=\underset{\begin{array}{c}t\ne x\\ 0\le t\le 1\end{array}}{\sup }\frac{1}{t-x}{\displaystyle {\int }_x^t\left|f\left(u\right)\right|\text{d}u},$

则 ${\theta }_f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$ 并满足

${\Vert {\theta }_f(•)\Vert }_{p_m}\le \frac{2q}{s}\left(\frac{p_0}{p_0-1}\right){\Vert f\Vert }_{Ba}.$

引理5 [8] 在定理1的条件下，对于 $f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$，把有 $f\left(x\right)$ 延拓到区间 $\left[0,1\right]$ 外，使得当 $x\notin \left[0,1\right]$ 时， $f\left(x\right)=0$。引进 $f\left(x\right)$ 的Steklov平均数

$f_r\left(x\right)=\frac{1}{2r^2}{\displaystyle {\int }_{-\frac{r}{2}}^{\frac{r}{2}}{\displaystyle {\int }_{-\frac{r}{2}}^{-\frac{r}{2}}\left[f\left(x+u+v\right)+f\left(x-u-v\right)\right]\text{d}u\text{d}v}}$

有

${\Vert f_r(•)-f(•)\Vert }_{Ba}\le \frac{q}{s}{\omega }_2{\left(f,r\right)}_{Ba},$

${\Vert {f^{″}}_r\Vert }_{Ba}\le \frac{q}{r^{2}s}{\omega }_2{\left(f,r\right)}_{Ba}.$

引理6 在定理1的条件下，对于 $f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$，有

${\Vert L_n\left(f_r\right)-f_r\Vert }_{Ba}\le \frac{C\left(s,q,p_0\right)}{n}{\Vert {f^{″}}_r\Vert }_{Ba}.$

证明：记 ${f^{″}}_r\left(x\right)$ 的Hardy-Littlewood控制函数为

${\theta }_{{f^{″}}_r}\left(x\right)=\underset{\begin{array}{l}u\ne x\\ 0\le t\le 1\end{array}}{\sup }\frac{1}{u-x}{\displaystyle {\int }_x^u\left|{f^{″}}_r\left(v\right)\right|\text{d}v},$

根据Taylor展开式，对于 $x\in \left[0,1\right]$ 有

$f_r\left(u\right)=f_r\left(x\right)+{f^{\prime }}_r\left(x\right)\left(u-x\right)+{\displaystyle {\int }_x^u{f^{″}}_r}\left(v\right)\left(u-v\right)\text{d}v,\left(x<v<u\right).$

则

$f_r\left(u\right)-f_r\left(x\right)={f^{\prime }}_r\left(x\right)\left(u-x\right)+{\displaystyle {\int }_x^u{f^{″}}_r}\left(v\right)\left(u-v\right)\text{d}v,\left(x<v<u\right).$

$\begin{array}{c}{L}_n\left(f_r;x\right)-f_r\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }W\left(n,x,u\right)\left({f^{\prime }}_r\left(x\right)\left(u-x\right)+{\displaystyle {\int }_x^u{f^{″}}_r}\left(v\right)\left(u-v\right)\text{d}v\right)\text{d}u}\\ =\frac{1}{n}\times {f^{\prime }}_r\left(x\right)\times {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }nW\left(n,x,u\right)\left(u-x\right)\text{d}u}+{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }W\left(n,x,u\right)\text{d}u}{\displaystyle {\int }_x^u{f^{″}}_r}\left(v\right)\left(u-v\right)\text{d}v\end{array}$

根据引理3得

$\begin{array}{c}\left|L_n\left(f_r;x\right)-f_r\left(x\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }W\left(n,x,u\right)\text{d}u}{\displaystyle {\int }_x^u{f^{″}}_r}\left(v\right)\left(u-v\right)\text{d}v\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }W\left(n,x,u\right)\text{d}u}{\displaystyle {\int }_x^u\left|{f^{″}}_r\left(v\right)\right|\left(u-v\right)\text{d}v}\\ \le {\theta }_{{f^{″}}_r}\left(x\right){\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }W\left(n,x,u\right){\left(u-x\right)}^2\text{d}u}\end{array}$

结合引理4得

${\Vert L_n\left(f_r\right)-f_r\Vert }_{Ba}\le \frac{C\left(s,q,p_0\right)}{n}{\Vert {f^{″}}_r\Vert }_{Ba}.$

引理5证毕。

3. 定理的证明

定理1之证明 对于 $f\left(x\right)\in \text{Ba}\left[0,1\right]$，由引理2、5、6得

$\begin{array}{c}{\Vert L_n\left(f;x\right)-f\Vert }_{Ba}={\Vert L_n\left(f-f_r;x\right)-\left(f-f_r\right)+L_n\left(f_r;x\right)-f_r\Vert }_{Ba}\\ \le {\Vert L_n\left(f-f_r;x\right)\Vert }_{Ba}+{\Vert f-f_r\Vert }_{Ba}+{\Vert L_n\left(f_r;x\right)-f_r\Vert }_{Ba}\\ \le \left(\frac{2q}{s}+\text{1}\right){\Vert f-f_r\Vert }_{Ba}+\frac{C\left(s,q,p_0\right)}{n}{\Vert {f^{″}}_r\Vert }_{Ba}\\ \le \left(\frac{2q}{s}+\text{1}\right){\Vert f-f_r\Vert }_{Ba}+\frac{C\left(s,q,p_0\right)}{n}\left({\Vert f\Vert }_{Ba}+{\Vert {f^{″}}_r\Vert }_{Ba}\right)\\ \le C\left[{\omega }_2{\left(f,r\right)}_{Ba}+\frac{C\left(s,q,p_0\right)}{n}\left({\Vert f\Vert }_{Ba}+\frac{4q{\omega }_2{\left(f,r\right)}_{Ba}}{r^{2}s}\right)\right]\end{array}$

令 $r=\frac{1}{\sqrt{n}}$ 得

${\Vert L_n\left(f;x\right)-f\Vert }_{Ba}\le C\left(\frac{1}{n}{\Vert f\Vert }_{Ba}+{\omega }_2{\left(f,\frac{1}{n}\right)}_{Ba}\right).$

定理1证毕。