一种传递群的构造举例

Construction of an Example of a Transitive Group

摘要: 对于传递置换群G在对应的对称群中的正规化子N，N依共轭作用在子群G上，得到一个同态Ψ:N→Aut(G)。Dixon在经典专著《Permutation Groups》中对此同态的同态像与G的自同构群的关系进行了研究，描述了位于ImΨ下G的全体自同构。在此基础上Dixon提出构造一个例子，使得对于传递群G，满足Ψ的像不是G的全体自同构。本文我们在四次对称群上提供这样一个例子。

Abstract: In this paper, we will consider the normalizer of the subgroup of the transitive permutation groups. The N of G acts naturally on the set G by conjugation, this gives a homomorphism Ψ:N→Aut(G). Dixon studied the relationship between the homomorphic image and the automorphisms of G in his monograph Permutation Groups. He described the automorphisms of G which lie in the image of Ψ. Based on this, he proposed to construct an example G for which the image of this homomorphism is not all of automorphisms of G. In this short note, we will provide such an example on the quartic symmetry group.

1. 前言

群的概念最先是由Galois在研究方程根式解问题时提出，Galois对置换群进行了研究，并通过置换群研究对一般群理论的发展作出了最重要的贡献。随后Burnside、Wielandt、Dixon和Praeger等人对置换群的研究工作得到许多优秀成果，详见 [1] [2] [3] [4] 。而在群论的研究中，子群的正规性的研究通常被学者作为出发点，子群的正规化子能很好地度量子群的正规性。另外子群的自同构群也是有限群中较为困难的问题之一，因此对子群正规化子和自同构群的研究是很有意义的工作。

本文考虑 $\Omega$ 上对称群 $Sym\left(\Omega \right)$ 的子群G在 $Sym\left(\Omega \right)$ 中的正规化子N，N依共轭作用在群G上，得到一个同态 $\Psi :N\to Aut\left(G\right)$， $\Psi \left(x\right):u\mapsto x^{-1}ux$。然后对同态的像和群G的自同构进行研究，Dixon在( [1] , 4.2节)中提出举例构造一个传递群G，满足 $\Psi$ 的像不是G的全体自同构。本文构造这样的例子如下：

构造1.1设 $\Omega =\left\{1,2,3,4\right\}$， $G=D_8$， $G\le Sym\left(\Omega \right)$ 传递， $N=N_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$，N在G上有共轭作用，可定义同态映射：

$\Psi :N\to Aut(\; G\; )$

$\Psi \left(x\right):u\mapsto x^{-1}ux$

$Ker\Psi =C_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$，则 $Im\Psi <Aut\left(G\right)$。

2. 预备知识

本文使用的符号和语言都是标准的，引用的一些有限群的基本概念和定理列举如下，参见 [1] 和 [5] 。

定义2.1设 $\Omega$ 是一个非空集合， $\Omega$ 中的元素称为点， $\Omega$ 到自身的一个双射称为 $\Omega$ 上的一个置换， $\Omega$ 上的全体置换构成的群称为 $\Omega$ 上的对称群，记为 $Sym\left(\Omega \right)$。

定义2.2设G是一个群，H是G的子群。若 $g\in G$， $H^g=H$，则称元素g正规化H，G中所有正规化H的元素构成的集合称为H在G中正规化子，记为：

$N_G\left(H\right)=\left\{g\in G|H^g=H\right\}$,

如果 $N_G\left(H\right)=G$，则称H是G的正规子群，记作 $H⊴G$。

定义2.3设G是一个群，H是G的子群，若元素g满足对所有 $h\in H$，恒有 $h^g=h$，则称元素g中心化H，而称G中所有中心化H的元素构成的集合称为H在G中中心化子，记为：

$C_G\left(H\right)=\left\{g\in G|h^g=h,\forall h\in H\right\}$.

定义2.4我们称映射 $\alpha :G\to G_1$ 为群G到 $G_1$ 的一个同态映射，如果

${\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha },\forall a,b\in G$

如果 $\alpha$ 是单射，则称为单同态， $\alpha$ 是满射，则称为满同态；而如果 $\alpha$ 是双射，则称 $\alpha$ 为G到 $G_1$ 的同构映射。这时称群G和 $G_1$ 同构，记作 $G\cong G_1$。

群到自身的同构称为群的自同构，以 $Aut\left(G\right)$ 表示G的全体自同构组成的集合，叫做G的自同构群。

定义2.5平面上正n边形( $n\ge 3$ )的全体对称的集合 $D_{2n}$。它包含n个旋转和n个反射(沿n条不同的对称轴)，对于变换的乘法组成一个群，叫做二面体群 $D_{2n}$，它包含2n个元素。

定理2.6设 $\alpha :G\to H$ 是同态映射，则 $Ker\alpha ⊴G$，且 $G^{\alpha }\cong G/Ker\alpha$。

定理2.7 (N/C定理)设H是G的子群，则 $N_G\left(H\right)/C_G\left(H\right)$ 同构于 $Aut\left(H\right)$ 的一个子群。

定理2.8 ( [1] , Theorem 4.2B)设 $G\le Sym\left(\Omega \right)$ 传递， $\alpha \in \Omega$， $N=N_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$，N在G上有共轭作用，可定义同态映射：

$\Psi :N\to Aut(\; G\; )$

$\Psi \left(x\right):u\mapsto x^{-1}ux$

$Ker\Psi =C_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$， $\sigma \in Aut\left(G\right)$，则 $\sigma \in Im\Psi$ 当且仅当 ${\left(G_{\alpha }\right)}^{\sigma }$ 是G的点稳定子。

3. 主要定理及结果证明

本节利用置换群和有限群的基础知识，对主要定理进行证明，并构造所需要的例子，结果的正确性证明如下：

定理2.6 设 $\alpha :G\to H$ 是同态映射，则 $Ker\alpha ⊴G$，且 $G^{\alpha }\cong G/Ker\alpha$。

证明：对 $\forall a,b\in Ker\alpha$，有 $a^{\alpha }=b^{\alpha }=1$， ${\left(a{b}^{-1}\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }{\left(b^{-1}\right)}^{\alpha }={\left(b^{\alpha }\right)}^{-1}=1$，

所以 $a{b}^{-1}\in Ker\alpha$，故 $Ker\alpha \le G$ ； $\forall g\in G$， $\forall a\in Ker\alpha$，有 ${\left(a^g\right)}^{\alpha }={\left(g^{-1}ag\right)}^{\alpha }={\left(g^{-1}\right)}^{\alpha }{a}^{\alpha }{g}^{\alpha }=1$，所以 ${\left(a^g\right)}^{\alpha }\in Ker\alpha$，故 ${\left(Ker\alpha \right)}^g\subseteq Ker\alpha$，所以 $Ker\alpha ⊴G$。

下面证明 $G^{\alpha }\cong G/Ker\alpha$。

令 $K=Ker\alpha$， $\rho :G/K\mapsto G^{\alpha },Kg\mapsto g^{\alpha }$，首先 $\rho$ 定义合理，显然 $\rho$ 是单射，且是满射，又因为 $\rho \left(K{g}_{1}K{g}_2\right)=\rho \left(K{g}_1{g}_2\right)={\left(g_1{g}_2\right)}^{\alpha }=g_1^{\alpha }{g}_2^{\alpha }=\rho \left(K{g}_1\right)\rho \left(K{g}_2\right)$，所以 $\rho$ 是同态映射，因此 $\rho$ 是同构映射，综上所述 $G^{\alpha }\cong G/Ker\alpha$。证毕。

定理2.7 (N/C定理)设H是G的子群，则 $N_G\left(H\right)/C_G\left(H\right)$ 同构于 $Aut\left(H\right)$ 的一个子群。

证明：设 $\rho :N_G\left(H\right)\to Aut\left(H\right)$， $g\mapsto \rho \left(g\right):x\to g^{-1}xg$，首先 $\rho$ 定义合理， $\forall x\in H$， $\forall g,h\in N_G\left(H\right)$，有：

$x^{\rho \left(gh\right)}={\left(gh\right)}^{-1}xgh=h^{-1}{g}^{-1}xgh=h^{-1}{x}^{\rho \left(g\right)}h=x^{\rho \left(g\right)\rho \left(h\right)}$,

因此 $\rho$ 是同态映射，则由定理2.6有 $N_G\left(H\right)/Ker\rho \cong {\left(N_G\left(H\right)\right)}^{\rho }\le Aut\left(H\right)$，又因为 $Ker\rho =\left\{g\in N_G\left(H\right)|\forall x\in H,x=g^{-1}xg\Rightarrow gx=xg\right\}=C_G\left(H\right)$，所以 $N_G\left(H\right)/C_G\left(H\right)\cong {\left(N_G\left(H\right)\right)}^{\rho }\le Aut\left(H\right)$，即 $N_G\left(H\right)/C_G\left(H\right)$ 同构于 $Aut\left(H\right)$ 的一个子群。证毕。

定理2.8 ( [1] , Theorem 4.2B)设 $G\le Sym\left(\Omega \right)$ 传递， $\alpha \in \Omega$， $N=N_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$，N在G上有共轭作用，可定义同态映射：

$\Psi :N\to Aut(\; G\; )$

$\Psi \left(x\right):u\mapsto x^{-1}ux$

$Ker\Psi =C_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$， $\sigma \in Aut\left(G\right)$，则 $\sigma \in Im\Psi$ 当且仅当 ${\left(G_{\alpha }\right)}^{\sigma }$ 是G的点稳定子。

证明：充分性：设 $\sigma \in Im\Psi$， $N=N_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$，则 $\exists x\in N$，使得 $\sigma =Im\Psi$，对 $\alpha ,\beta \in \Omega$，有： $\beta ={\alpha }^x$， ${\left(G_{\alpha }\right)}^{\sigma }=x^{-1}{G}_{\alpha }x=G_{\beta }$。即 ${\left(G_{\alpha }\right)}^{\sigma }$ 是G的点稳定子。

必要性：若 $\sigma \in Aut\left(G\right)$，且 ${\left(G_{\alpha }\right)}^{\sigma }=G_{\beta }$， $\beta \in \Omega$， $G\le Sym\left(\Omega \right)$ 的两个传递置换表示： $x\mapsto x$， $x\mapsto x^{\sigma }$ 是等价的，因为 $G_{\beta }$ 是他们的点稳定子。因此 $\exists t\in Sym\left(\Omega \right)$，对 $\forall x\in G$，使得 $xt=t{x}^{\sigma }$，所以 $t\in N=N_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$。因此 $\sigma =\Psi \left(t\right)\in Im\Psi$。证毕。

构造1.1设 $\Omega =\left\{1,2,3,4\right\}$， $G=D_8$， $G\le Sym\left(\Omega \right)$ 传递， $N=N_{Sym\left(\Omega \right)}\left(G\right)$，N在G上有共轭作用，可定义同态映射：

$\Psi :N\to Aut(\; G\; )$

$\Psi \left(x\right):u\mapsto x^{-1}ux$

则 $Im\Psi <Aut\left(G\right)$。

证明：设 $\Omega =\left\{1,2,3,4\right\}$， $G=D_8=\langle a,b|a^4=b^2=1,b^{-1}ab=a^{-1}\rangle$，定义同态映射：

$\Psi :N\to Aut(\; G\; )$

$\Psi \left(x\right):u\mapsto x^{-1}ux$

若 $\alpha \in Aut\left(G\right)$，当且仅当 $a^{\alpha }$， $b^{\alpha }$ 必须满足同一定义关系下，从而 $a^{\alpha }$ 为4阶元， $b^{\alpha }$ 为2阶元，因为在 $D_8$ 中 $b^{-1}=b$，所以有：

${\left(a^{i}b\right)}^2=a^{i}b{a}^{i}b=a^i{b}^{-1}{a}^{i}b=a^i{a}^{-i}=1$

故 $a^{i}b$ 均为2阶元，故 $a^{\alpha }$ 只可能为 $a^{\pm 1}$， $b^{\alpha }$ 只可能为 $b,ab,a^{2}b,a^{3}b$。

从而 $\left|Aut\left(G\right)\right|=8$。

令 $\sigma :a\mapsto a,b\mapsto ab$， $\tau :a\mapsto a^{-1},b\mapsto b$，

由于 ${\left(a^{\sigma }\right)}^4=a^4=1$， ${\left(b^{\sigma }\right)}^2={\left(ab\right)}^2=1$， ${\left(b^{\sigma }\right)}^{-1}{a}^{\sigma }{b}^{\sigma }={\left(a^{\sigma }\right)}^{-1}$， ${\left(a^{\tau }\right)}^4={\left(a^{-1}\right)}^4=1$， ${\left(b^{\tau }\right)}^2={\left(b\right)}^2=1$， ${\left(b^{\tau }\right)}^{-1}{a}^{\tau }{b}^{\tau }={\left(a^{\tau }\right)}^{-1}$，

故 $\sigma ,\tau \in Aut\left(G\right)$。

因为 ${\sigma }^2:a\mapsto a,b\mapsto a^{2}b$， ${\sigma }^3:a\mapsto a,b\mapsto a^{3}b$， ${\sigma }^4:a\mapsto a,b\mapsto a^{4}b=b$，

所以 $o\left(\sigma \right)=4$。

因为 ${\tau }^2:a\mapsto a,b\mapsto b$，所以 $o\left(\tau \right)=2$。

又因为 ${\tau }^{-1}\sigma \tau :a\mapsto a,b\mapsto a^{-1}b$， ${\sigma }^{-1}={\sigma }^3:a\mapsto a,b\mapsto a^{3}b$，且 $a^{-1}=a^3$，

所以 ${\tau }^{-1}\sigma \tau ={\sigma }^{-1}$。

综上 $\left|Aut\left(G\right)\right|=8$，且 $Aut\left(G\right)=\langle \sigma ,\tau |{\sigma }^4={\tau }^2=1,{\tau }^{-1}\sigma \tau ={\sigma }^{-1}\rangle \cong D_8$。

接下来考虑 $N_{S_4}\left(G\right)$。

因为 $D_8⊴N_{S_4}\left(G\right)\le S_4$，所以 $8=\left|D_8\right||\left|N_{S_4}\left(G\right)\right|$， $\left|N_{S_4}\left(G\right)\right||\left|S_4\right|=24$，

因此 $\left|N_{S_4}\left(G\right)\right|=8,16,24$。

因为 $S_4$ 中没有16阶子群，所以 $\left|N_{S_4}\left(G\right)\right|\ne 16$ ；

因为 $S_4$ 中24阶子群是 $S_4$，但 $D_8$ 不是 $S_4$ 的正规子群，所以 $\left|N_{S_4}\left(G\right)\right|\ne 24$ ；

故 $\left|N_{S_4}\left(G\right)\right|=8$，因为 $D_8⊴N_{S_4}\left(G\right)$，所以 $N_{S_4}\left(G\right)=D_8$。又因为 $Ker\Psi =C_{S_4}\left(G\right)=Z_2$，

所以由定理2.6，定理2.7有：

$Im\Psi \cong G/Ker\Psi =N_{S_4}\left(G\right)/C_{S_4}\left(G\right)=D_8/Z_2<Aut\left(G\right)$,

证毕。