1. 引言
1945年,Carrier [1] 在机械问题的研究中,构造了如下模型:
其中
,
,
为无量纲量,
是静止位置的张力,E是弦材料的恒定特性,A是弦在静止位置的截面积,l是弦材料的长度,
表示单位体积的质量,
为一函数。由于此时该问题中的
,
利用了变量变换模式,而更一般的情形也随后得到了广泛的研究。同时在后面的研究者们将形如
的问题称为Carrier型问题。文献 [2] 中提出用Faedo-Galerkin方法和Tartar方法等方法解决Carrier型的非线性混合问题解的全局存在性;文献 [3] 考虑了Kirchhof-Carrier型非线性波动方程的Robin-Dirichlet问题,运用Faedo-Galerkin方法和非线性项线性化的方法,证明了弱解的存在性和唯一性;文献 [4] 利用不动点指标理论得到Carrier型问题的多个正解;文献 [5] 立足于Banach空间,利用Ascoli-Arzelà定理和Lyapunov约化泛函得到Cauchy型Carrier问题解的存在性和渐进性质;文献 [6] 考虑了一类非局部边值问题的正解的存在性,文献 [7] 考虑了一类退化非局部项的问题,利用不动点定理证明了正解的存在性;文献 [8] 考虑了一类非局部和非变分奇异摄动问题
解的存在性,其中
,
,
是两个连续函数,
,而
是一个小的参数;文献 [9] 在有界矩体上考虑纯指数型右端项的一类新Kirchhoff型问题
古典解的存在性,其中常数a,b不同时为零,
,
。文献 [10] 在光滑有界域
上,考虑了一类退化的非局部问题的正解的存在、不存在和多重性;这类问题是近几年的研究热点之一,同时关于其解的存在性也已经有很多学者研究,如文献 [11] 在无界域上研究了具有临界项的广义问题,利用函数构造方式获得无穷多解。文献 [12] 考虑一类非局部椭圆问题
的解的存在性,其中
,
,
,
是连续函数,
是
中的光滑有界域,
。更多关于正负模量的Kirchhoff型问题以及Carrier型问题解的存在性研究,参见文献 [13] - [18] 以及他们的引用文献,在文献 [14] [15] 中给出了Carrier型问题的进展,通过系统建模和分析方法,说明了为何描述Carrier型问题并描述其确定性非线性现象,文献 [16] 给出的是正模量Kirchhoff型问题的研究进展,文献 [17] [18] 则阐述负模量Kirchhoff型问题研究。更多耦合型问题可参见他们的引用和被引状况。
诸如文献 [12] - [18] 等,由于Carrier型和Kirchhoff型独立或耦合问题的研究越来越多,于是,受上述文献特别是文献 [9] [11] 方法的启发,本文考虑下述带线性项的负模量Carrier型问题
(1)
其中
为光滑有界域;
为任意实数,但至少有两个不同时为零。
2. 理论基础
设
是光滑有界域,在文献 [19] [20] 中提到关于下述方程
(2)
存在特征值序列
,满足
及其对应的特征函数序列
,同时有
,当
时问题(2)有解
,即
是问题(2)的解,而当
时问题(2)无解。
立足于上述事实,我们将对
满足不同情形时问题(1)解的存在性及解的形式作讨论。由于问题(1)中出现的实数
在符号上具有对称性,因此我们只给出
时
在不同符号下问题(1)的解及状态,而当
时问题(1)解的存在性问题类似可得,不再赘述。下面的理论都立足于实数范围。
3. 主要结论
定理1 如果
,则当
时问题(1)有无穷多解
;当
时存在正数列
,使得
时问题(1)至少有i个线性无关解
,而
时,只有零解。
证明 当
时,我们考虑关于t的代数方程
(3)
当
时,方程(3)具有实数或复数型的解
(4)
且当
时其解总为实数。需要注意的是,此时直接可以验证
,现让它与式(3)左右两边分别相乘,再联系到式(4),则可得到
(5)
也就是说,当
时有
,而当
时式(5)总成立,从而
是问题(1)的解。
(i)
时,对于任意的
,必存在
,
,使得
;若
,则
总成立。因此再根据式(4)和式(5)可得到问题(1)有解
(6)
由于
,取
对应k,
对应
,
,则它们可以构成解序列
。另一方面,若
,此时原问题的解必然在
或者
的函数集中取得。而满足
有界且
的函数u有无穷多,事实上对任意的
,可得所有的
都是问题(1)的解。
(ii)
,
时,因为有
,
,则
恒成立,故方程(3)总有非零解可以表述为(4),从而问题(1)至少有i对非平凡解
显然这些解至少有i个线性无关。当
时,只有平凡解
。事实上,如果此时
,则根据
,
,利用格林公式得出
这显然构成矛盾。综上所述,不仅证明了定理1解的存在性,而且还给出了一类解的抽象形式。
定理2 如果
,则当
时,问题(1)有无穷多解
,而
时只有平凡解。
证明 若
,则对
时的特征值
和它对应的特征函数
,方程(3)变为
关于t的方程总有实数解
则易知问题(1)有无穷多解,可以表示为
此外,若
时u是问题(1)的解,则根据格林公式有
特别取
时便得出
,因此
且
时问题(1)只有平凡解。
注记1 当
时,如果
,则问题(1)存在无穷多解。
4. 应用
例1 设
,此时问题(1)为
(7)
下面我们推导注记1和定理1的结论,即在
,
的条件假设下有如下的结论:如果
,则问题(7)有无穷多解
;如果
,则存在正数列
,使得
时问题(7)至少有i个线性无关解
;而
时,问题(7)只有零解。根据文献 [19] [20] 中关于谱理论的阐述,对任意的非零整数i,
的特征值
。因此通过直接验证,我们能够找到一个特征函数的无穷序列
,其中
,而此时有
当
时,只要取
,由于i的任意性,当
,即存在某个k使得
时直接验证可知问题(7)有无穷多解
,其中的无穷性由t的任意性决定;当
时,对于任意的
,必存在
,
,使得
,则对任意的正整数
,
总成立,因此我们直接可验证对任意的正整数
,函数
(8)
都满足方程(7),也就是说,对任意的正整数
,(8)都是问题(7)的解。易知问题(7)有无穷解。
如果
,则对正数列
,如果
,则对于
,总有
,因此问题(7)至少有i个线性无关解
,其表达式为(8);而果
且
时,很显然
,它的二次方根并不是一个实数,但零是其解并且能够利用格林公式得出问题(7)只有零解。
例2 设
,对任意非零整数
,当
,
,取
这里的
为任意整数,那么
显然
是有界函数;另外,注意到此时
,于是
也就是说
都是问题(7)的解。由于
的任意性,则可以得出问题(7)有无穷解。注意,当
时,除了
外,问题(7)的解还有很多,这里不再列举。
基金项目
贵州省研究生科研基金立项项目(黔教合YJSCXJH[2020]083),贵州民族大学科研项目(GZMUZK[2021]YB19)。
NOTES
*通讯作者。