1. 引言
假定本文中的图均是有限,连通,简单的无向图。
设
是一个图,将图
的顶点集,边集,弧集,全自同构群分别记作
,
,
,
。用
表示
的度数。
设
,令s为一个正整数。我们称图
为
-弧传递或者
-正则,若X传递或者正则地作用在图
的s-弧的集合上,其中s-弧是
个顶点的序列
,使得
且
,其中
。特别地,若
,则称
-弧传递图或者
-正则图为s-弧传递图或s-正则图。另外,也称1-正则图为弧正则图。一般情况下,点传递图即为0-弧传递图,弧传递图或对称图即为1-弧传递图。
设G是有限群,将其单位元记为1。取G中集合S使得
且
,定义有限群G关于子集S的Cayley无向图
,其中:
显然,
的度数为
。
连通
。我们可以将群G看作为
的正则子群。反之,图
同构于群G的Cayley图
中包含一个正则子群,且该子群同构于G (参见文献 [1],性质16.3)。称Cayley图
是正规的,若
;否则称Cayley图
是非正规的。
正规Cayley图的概念是由徐明曜教授在1998年第一次提出,可参见文献 [2]。对于决定Cayley图的全自同构群的问题,正规Cayley图的概念在其中占据着十分重要的地位。自然地,有限非交换单群上的Cayley图的正规性研究在学术界受到了广泛关注和重视,并且对于有限非交换单群上的小度数d度弧传递Cayley图的正规性分类研究,已经有较多突出性的结论,可参见文献 [3] - [9]。而在具有较高对称性的图中,1-正则图是一类特殊的对称图,它一直是一个有意义的研究对象。值得一提的是,小度数d度1-正则图的点稳定子群的阶就是d,那么其结构自然而然就被确定了。
本文主要目的是通过考虑有限非交换单群上的10度1-正则Cayley图的正规性,对该类图进行完全分类,得出了如下结论:
定理1.1. 设G为一个有限非交换单群,
为G上的10度1-正则Cayley图,则
。
2. 预备知识
设G是有限群,
是至少包含两个点的集合,G作用在
上传递。下列引理是证明传递群G为本原置换群的一个充分必要条件,可参见文献 [10]。
引理2.1.
上传递群G是本原的
点稳定子
是G的极大子群,其中
。 ■
下面是关于传递置换群的一个经典结论,我们称之为Frattini论断,可参见文献 [10]。
引理2.2. 设G为
上的传递置换群,H为G的子群。则H作用在
上传递
,其中点
,
是点v在G中的点稳定子。 ■
设X是一个有限群,H为X的一个无核子群。定义G关于H的陪集图
如下:
其中
满足
。接下来的引理是关于陪集图的一些基本结论,其证明过程可由上述定义以及文献 [11] 得出。
引理2.3. 设
,易知
是X-弧传递图,并且有如下结论:
1)
;
2)
为无向图
存在一个2-元素
使得
;
3)
为连通图
;
4) 若X中包含一个作用在
上正则的子群G,于是有
,其中
。
另一方面,每一个X-弧传递图
均同构于一个陪集图
,其中
是一个满足
的2-元素,
,
。 ■
设
是X-点传递图,其中
。又设X中含有正规子群N,且N作用在
上是不传递的。记
为N-轨道的集合(即
)。由N诱导的
的正规商图
定义为:
;
。由文献 [12] [13] 可得下列结论:
引理2.4. 设
是G-点传递的局部本原图,其中
。若
作用在
上至少有3个轨道,则以下结论成立:
1) N在
上是半正则的,
,此时
为商图
的正则覆盖;
2)
,其中
,
;
3)
是一个
-传递图
是一个
-传递图,其中
或
。 ■
对于级数不超过10的本原置换群,由文献 [14] 中本原置换群的分类结果,易得出下列结论:
引理2.5. 设T是
上的本原置换群,K为某点
的点稳定子群。若T是非交换单群,K非可解并且
,则
。 ■
3. 定理1.1.的证明
设G为有限非交换单群,
为G上的10度1-正则Cayley图。记
为图
的全自同构群,
为点
在A中的点稳定子。因为
是10度1-正则Cayley图,于是该图的点稳定子
的阶必为10,即
。接下来,我们分别考虑A中存在非平凡的可解正规子群和不存在非平凡的可解正规子群,以此来完成定理1.1.的证明。
引理3.1. 若A中不存在非平凡的可解正规子群,则
。
证明:假设结论不成立。
令N是A的极小正规子群,于是N非可解,
,T是非交换单群。由
和群G的单性,可知
或G。若
。由引理2.2.可知
,又
,可知
,意味着正规子群N可解,矛盾于引理的条件“A中不存在非平凡的可解正规子群”。于是
,即
。若此时有
,
,矛盾。因此
。但若有
,
,
是非交换单群。则由
和群G的单性,可知
或G。若
,可推出
,
可解,这与引理中的“A中不存在非平凡的可解正规子群”矛盾了。又若
,
,意味着
,同样可以推出矛盾。因而
,
是非交换单群。设K为T的极大真子群,满足
。又设
,记
。由引理2.2.可知
,
且
,则
。又因为
,则
。现考虑T依右乘作用在
上。由于T为非交换单群,可知该作用是忠实的且传递的。一方面,易知K为
中某点的点稳定子,又K为T的极大子群,则由引理2.1.可知T为作用在
上的本原置换群。另一方面,T为非交换单群,且
,K必定非可解。那么T,K,
满足引理2.5.中的条件,即
。注意到交错群
中不存在指数小于
的真子群,也就是说,
,则
,从而有
。由引理2.3.和MAGMA (见文献 [15] )可知此时并不存在图。于是假设不成立,此时有
。 ■
接下来,考虑全自同构群A中存在非平凡的可解正规子群。
引理3.2. 若A中存在非平凡的可解正规子群,则
。
假设结论不成立。令M是A中最大的可解正规子群,推出
,并且
。由
和G的非交换单性可知
,
。注意到
中至少包含3种素因子,则由轨道的相关定义和公式可知M作用在
上的轨道个数多于2个。再由引理2.4. (1),此时M在
上是半正则的。
令自然同态
,设
,
。由引理2.4. (3)可知,商图
是
-弧传递的。又设
是
的一个极小正规子群,N是
在
下的原像。由M的定义可知
必定非可解,
,T是非交换单群。
设
,由同构定理可知
,
也是非交换单群。由于
,可知
或
。若
,则
,
可解,矛盾。因此
,
。由于
是非交换单群,
必定整除
中某合成因子的阶,即知
。但若有
,则
,而
是
-群(其中
),可知此时
可解,矛盾。因而
,
是非交换单群。另一方面,由于
的任意性,以上推理叙述也说明了
是
唯一的非可解的极小正规子群,进而有
,
。
如果
。显然有
。若G中心化M,则
,所以
,矛盾于G在A不正规。因此G不中心化M。推出
是非可解的。又
,
或10,这意味着
可解,矛盾。因此,
。从而
。设
是
中包含
的极大真子群。令
。由引理2.5.可知,
。由于
,
,则
,矛盾。 ■
综合引理3.1.和引理3.2.的证明可知,无论A中是否存在非平凡的可解正规子群,都有
,即定理1.1.得证。
基金项目
国家自然科学基金项目(12061089,11701503);云南省科技厅面上项目(2018FB003)。
NOTES
*通讯作者。