1. 引言
近年来,椭圆型偏微分方程解的存在性问题得到人们的广泛的关注 [1] [2] [3]。Chen在文献 [4] 中运用Nehari流形和纤维映射的方法,研究了一类非线性边值问题
多解的存在性,其中
是具有光滑边界的有界区域,
,
,
,
,
,
和
是在
上符号会发生改变的Lebesgue可测函数。Brown和Wu在文献 [5] 中运用Nehari流形和纤维映射方法证明了一类半线性椭圆边值问题
至少有两个正解,其中
是一个具有光滑边界的有界区域,
,
, 函数
和
在
中可以改变符号。
受文献 [4] [5] 的启发,本文研究一类拟线性椭圆边值问题
(1)
正解的存在性,其中
,参数
满足
,
,这里
是Sobolev临界指数 [6]。本文运用Nehari流形和变分方法研究问题(1)多解的存在性。
为研究问题的方便,假设函数
和
满足以下条件:
(A1)
且
。
(A2)
且
。
设
是空间
关于范数
的完备化空间。
2. 基本定理
定义1设
,若对任意
,有
.
成立,则称u是问题(1)的弱解。
问题(1)所对应的能量泛函为
.
显然,问题(1)的解对应能量泛函
的临界点。
由于泛函
在空间X上无界,从而引入Nehari流形
,
其中
代表普通对偶,则
当且仅当
成立。从而,当
时,有
(2)
. (3)
构造纤维映射
,
,易见
当且仅当
。将集合
分成三部分,分别定义为
;
;
.
引理1假定(A1)-(A2)成立,函数
在集合
上强制且有界。
证明:由于
,
,由Hölder不等式可得到
, (4)
其中
。
类似地,有
, (5)
其中
,
。则由(2)~(5)可得
当
时,有
。则函数
在集合
上强制且有界。
引理2假定(A1)~(A2)成立。存在
使得对任意
有
。
证明:令
,假设结论不成立,则存在
使得
,从而
有
(6)
将(5)代入(6)中可得到,
,
.
经计算可得
,
从而
,矛盾!因此,存在
使得对任意
有
。证毕。
引理3假定(A1)~(A2)成立。若
是
在
上的局部极小值或局部极大值且
,则
是泛函
上的一个临界点。
证明:令
.
考虑最优化问题
.
由Lagrange乘子理论,存在
使得
,从而
. (7)
由于
,则
.
此外
.
因此,
,
。由(7)可得到
,
。从而,
是
的一个临界点。证毕。
接下来探究纤维映射
的性质。考虑函数
.
显然,对
,
当且仅当t是下面方程的解
. (8)
此外,若
,则有
. (9)
其中
。因此,当
时
是严格递增的。
若
,由
可以得到唯一临界点
.
由于
,当
时,有
,当
时,有
。经计算可得
,
.
这表明函数
在
上单调递增,在
上单调递减。若
,则
是唯一的极大值点。
假定
,由(9)可得
。若
,则
。若
,则
。
接下来,通过探究
和
的符号,研究纤维映射
的特征。
若
且
,则
是关于t的递增函数。
若
且
,则存在
使得
,
,从而有
.
因此
。从而,由于
,从而
先递减再递增。因此
在
处有唯一临界点且为局部极小值点。
若
且
,则函数
先递增再递减,有一个极大值点。则方程(8)有一个正解,从而有唯一的
使得
且
。因此
。由于
,则
先递增再递减,由此可得纤维映射
有唯一的一个临界点且为局部极大值点。
最后考虑情形
,
。若
足够大,则(8)无解,因此
无临界点,在此情形
是一个递减函数。若
充分小,则在(8)有两个解
且
,
。因此
,
。从而
在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减。
引理4假定(A1)~(A2)成立。存在
,使得对任意
和
有
。
证明:若
,则当t充分大时
。若
,记
,
则
。当
时,
。此外
.
经计算可得,
在
处有最大值
,其中
。
由引理1可知
其中
,
且
代表嵌入
的Sobolve常数。则
,
其中
独立于u。同理有
其中
独立于u,
。经计算可得
. (10)
则对任意
,由于
,对任意非零u有
,进而可以得到函数
。证毕。
引理5假定(A1)~(A2)成立。如果
,则存在
使得对任意
有
。
证明:若
,则
。函数
在
有一个正的局部极大值且
,由(10)可得
.
引理6假设(A1)~(A2)且
成立,则对任意
,
有
,
即
。
证明:假设结果不成立,则存在
有
. (11)
若
,则有
,
从而
。
若
。由(11)可得
.
进而有
. (12)
此外
.
从而
. (13)
由(12)和(13)可得
特别地,由假设条件可得到
.
由引理4可知这是一个矛盾。从而有
。证毕。
3. 正解的存在性
由引理6可知当
时
。
引理7假定(A1)~(A2)成立。如果
,则函数
在
上有一个极小值。
证明:由引理1可得泛函
在集合
上有下界,则泛函
在集合
上也有下界。因此存在一个极小值序列
,有
.
由于泛函
是强制的,序列
在空间X上有界。在不失一般性的条件下在空间X中有
弱收敛于u。对
,在
中有
。
选取
使得
,存在
使得
和
。则有
和
。
由(3)可得
.
进而可得到
.
令
,有
。
假设在空间X中
不收敛于u,而由纤维映射
则得到矛盾。由于
,则存在
使得
且
在
上单调递减,
。由于在空间X中
不收敛于u,从而可以得到
.
由于序列
,从而
.
且
.
则由
可得
由于在
中
,从而
.
这表明当k充分大时,有
。由于
,即
,易看出对
有
且对任意k有
。从而可以得到
。由于
和
,则
是一个局部极小值且
。因此有
.
矛盾!则在空间X中有
,从而
.
因此
是泛函
在集合
中的一个极小值点。
引理8假设(A1)~(A2)且
,则函数
在集合
上有一个极小值。
证明:由引理5可得存在
,对任意
有
,则有
。因此存在一个极小值序列
使得
.
由引理1可知泛函
是强制的且序列
在空间X上有界。则假设在空间X中有
弱收敛于
,对
,在
中有
。由(2)可得
.
由于
则有
。从而存在
使得
。若在X中
不弱收敛于
,则有
.
由于
且当
时,有
。从而
有唯一的临界点且是一个极大值点。则对任意
有
且
矛盾!则在空间X中
,由引理7可得
是泛函
在集合
中的极小值。证毕。
4. 主要结论及其证明
本文主要结论如下。
定理1假设(A1)~(A2)成立,存在
使得对任意的
问题(1)至少有两个正解。
证明:由引理7和8可知,存在
和
使得
和
。此外
且
。从而,假设
,由引理3可得
和
是泛函
在空间X中的临界点,则它们是方程(1)的弱解。证毕。
致谢
首先感谢伊犁师范大学对我的辛苦培育,让我在学校期间学到了很多东西,特别感谢数学与统计学院为我提供了良好的学习环境、感谢领导、老师们对我无微不至的关怀和指导,让我学到了很多有用的知识。其次我还要感谢在班里的同学和朋友,感谢你们在我遇到困难的时候帮助我,给我支持和鼓励,感谢你们。同时也要向我的导师陈林老师对我的悉心指导致以谢意!我还要向审稿人提出的宝贵意见和建议表示诚挚的感谢!最后感谢贵出版社录用我的论文,这是对我的成果最大的肯定!
基金项目
新疆高校科研计划重点项目(XJEDU2016I043)。
NOTES
*第一作者。
#通讯作者。