函数域上双重酉除数函数的均值

The Average Value of Bi-Unitary Divisor Function in Function Fields

摘要: 设F_q为q元有限域，在函数域F_q(T)中，我们称首一多项式d为多项式f的酉因式，如果f=dδ且(d,δ)=1。若d同时为多项式f与g的酉因式，则称d是f与g的酉公因式。记(f,g)^∗∗为f与g的次数最大的首一酉公因式。我们称g是f的双重酉因式，如果f=gh且(g,h)^∗∗=1。令τ^∗∗(f)为f的双重酉因式的个数，本文研究了τ^∗∗(f)的均值，并给出了相应的渐近公式。

Abstract: Let F_q be the finite field with q elements. In the function field F_q(T), a monic divisor d of a polynomial f is called unitary, if f=dδ and (d,δ)=1. For polynomials f,g, if d is an unitary divisor of both f and g, it is called the common unitary divisor of them. Let (f,g)^∗∗ be the common unitary monic divisor of f and g, whose degree is the largest. We say a divisor g of f is bi-unitary, if f=gh and (g,h)^∗∗=1. Let τ∗∗(f) denote the number of bi-unitary divisor of f. We consider the average value of τ^∗∗(f) and give a corresponding asymptotic formula.

1. 引言

对于正整数n，除数函数 $\tau \left(n\right)$ 表示n的正除数的个数。1849年，Dirichlet (见文献 [1] )考虑了 $\tau \left(n\right)$ 的均值并给出了以下渐近公式：

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }\tau \left(n\right)}=x\left(\log x+2\gamma -1\right)+O\left(\sqrt{x}\right)$,

其中 $x\ge 2$， $\gamma$ 是欧拉常数。1874年，Mertens (见文献 [2] )考虑了酉除数函数的均值。如果正整数 $n=d\delta$ 且 $\text{gcd}\left(d,\delta \right)=1$，则称d是n的一个酉除数。记 ${\tau }^{\ast }\left(n\right)$ 为n的全部酉除数的个数，Mertens证明了

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{\tau }^{\ast }\left(n\right)}=\frac{x}{\zeta \left(2\right)}\left(\log x+2\gamma -1-\frac{2{\zeta }^{\prime }\left(2\right)}{\zeta \left(2\right)}\right)+O\left(\sqrt{x}\log x\right)$,

其中 $\zeta \left(s\right)$， ${\zeta }^{\prime }\left(s\right)$ 分别表示Riemann-zeta函数及其导函数。1972年，Suryanarayana [3] 进一步考虑了双重酉除数函数的均值。若d是最大的a与b的公共酉除数，则称d为a与b的最大酉公因子，记作 $d={\left(a,b\right)}^{\ast \ast }$。如果d满足 $n=d\delta$ 且 ${\left(d,\delta \right)}^{\ast \ast }=1$，则称d为n的双重酉除数。令 ${\tau }^{\ast \ast }\left(n\right)$ 为n的全部双重酉除数的个数，Suryanarayana得到

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(n\right)}=Ax\left(\log x+2\gamma -1+2{\displaystyle \underset{p}{\sum }\frac{{\left(p-1\right)}^2{p}^2\log p}{\left(p^2+1\right)\left(p^4+2p-1\right)}}+2B\right)+O\left(x^{1/2}\log x\right)$,

其中A与B是常数， ${\displaystyle \underset{p}{\sum }}$ 表示对所有素数求和。其他相关研究还可参见文献 [4] 与 [5]。

设 $F_q$ 为q元有限域，在函数域 $F_q\left(T\right)$ 中，类似的我们也可以考虑各类除数函数的均值。对于 $f\in F_q\left[T\right]$，令 $\tau \left(f\right)$ 表示f的全部首一因式的个数，我们有(见文献 [6] )

${\displaystyle \underset{f}{\sum }\tau \left(f\right)}=\left(n+1\right)q^n$,

其中 ${\displaystyle \underset{f}{\sum }}$ 表示对所有 $n\ge 1$ 次首一多项式求和。最近，牛威 [7] 考虑了函数域上酉除数函数的均值。令 ${\tau }^{\ast }\left(f\right)$ 表示f的全部首一酉因式的个数，他证明了对于任意 $\epsilon >0$，有

${\displaystyle \underset{f}{\sum }{\tau }^{\ast }\left(f\right)}=\left(n+1\right)q^n+O_{\epsilon }\left(n{q}^{n-1/2+\epsilon }\right)$,

其中 ${\displaystyle \underset{f}{\sum }}$ 表示对所有 $n\ge 1$ 次首一多项式求和。

本文将讨论函数域上双重酉除数函数的均值，并给出相应的渐近公式。为简单起见，令 ${\rm A}=F_q\left[T\right]$ 表示有限域 $F_q$ 上的一元多项式环，令M表示A中所有首一多项式构成的集合， ${{\rm M}}_n$ 表示A中所有n次首一多项式构成的集合。

对于任意 $f,d,\delta \in {\rm A}$，若 $f=d\delta$ 且 $\left(d,\delta \right)=1$，则称d是f的酉因式，记作 $d\left|\right|f$。设 $f,g\in {\rm A}$ 且不全为0，如果多项式 $d\in {\rm M}$ 满足：

1) $d\left|\right|f,d\left|\right|g$，

2) 若有任意的多项式h满足 $h\left|\right|f,h\left|\right|g$，则一定有 $h|d$。

那么称d是 $f,g$ 的最大酉公因式，记作 $d={\left(f,g\right)}^{\ast \ast }$。容易证明，任意 $f,g\in {\rm A}$ 的最大酉公因式存在且唯一。若 $f=gh$ 且 ${\left(g,h\right)}^{\ast \ast }=1$，则称g是f的双重酉因式。令 ${\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 表示多项式f的所有双重酉因式的个数，我们有以下结果。

定理1.1 对于任意整数 $n\ge 1$ 以及 $0<\epsilon <1/2$，我们有

${\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_n}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)}=\left(n+1\right)q^n+O_{\epsilon }\left(n{q}^{n-1/2+\epsilon }\right)$.

符号说明：

2. 预备知识与引理

2.1. 函数域上的Zeta函数

为证明定理1.1，我们首先介绍函数域上zeta函数的定义与性质。函数域 $F_q\left(T\right)$ 中多项式f的范数定义为 $\Vert f\Vert :=q^{\mathrm{deg}f}$，其中 $\mathrm{deg}f$ 表示f的次数。函数域 $F_q\left(T\right)$ 上的zeta函数为(见文献 [6] )

${\zeta }_{{\rm A}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in {\rm M}}{\sum }\frac{1}{{\Vert f\Vert }^s}}$, $\Re \left(s\right)>1$, (2.1)

其欧拉乘积为

${\zeta }_{{\rm A}}\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}\text{.}P\in {\rm M}}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^s}\right)}^{-1}}$, $\Re \left(s\right)>1$, (2.2)

其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。根据(2.1)式，我们可以得到

${\zeta }_{{\rm A}}\left(s\right)=\frac{1}{1-q^{1-s}}$, $\Re \left(s\right)>1$. (2.3)

根据(2.3)式可知，函数 ${\zeta }_{{\rm A}}\left(s\right)$ 可以解析延拓到整个复平面并且在 $s=1$ 处为简单极点。为简单起见，令 $u=q^{-s}$，则(2.3)式可写为

${\hat{\zeta }}_{{\rm A}}\left(u\right):=\frac{1}{1-qu}$, $\left|u\right|<q^{-1}$. (2.4)

2.2. 双重酉除数函数的性质

我们首先证明双重酉除数函数 ${\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 是可乘的。

引理2.2.1. 对任意 $f,g\in {\rm M}-\left\{0\right\}$ 且 $\left(f,g\right)=1$，有

${\tau }^{\ast \ast }\left(fg\right)={\tau }^{\ast \ast }\left(f\right){\tau }^{\ast \ast }\left(g\right)$.

证明：由 ${\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 定义，有

${\tau }^{\ast \ast }\left(fg\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}d|fg\\ {\left(d,fg/d\right)}^{\ast \ast }=1\end{array}}{\sum }1}$.

因为 $\left(f,g\right)=1$ 且 $d|fg$，所以存在 $d_1,d_2\in {\rm M}-\left\{0\right\}$，使 $d=d_1{d}_2$， $\left(d_1,d_2\right)=1$， $d_1|f,d_2|g$。从而有

${\tau }^{\ast \ast }\left(fg\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}{d}_1{d}_2|fg\\ {\left(d_1{d}_2,fg/\left(d_1{d}_2\right)\right)}^{\ast \ast }=1\end{array}}{\sum }1}$.

由此可见，若能证明当 $\left(f,g\right)=1$ 且 $\left(d_1,d_2\right)=1$ 时，

${\left(d_1{d}_2,fg/\left(d_1{d}_2\right)\right)}^{\ast \ast }={\left(d_1,f/d_1\right)}^{\ast \ast }{\left(d_2,g/d_2\right)}^{\ast \ast }$ (2.5)

成立，则有

${\tau }^{\ast \ast }\left(fg\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}{d}_1{d}_2|fg\\ {\left(d_1,f/d_1\right)}^{\ast \ast }{\left(d_2,g/d_2\right)}^{\ast \ast }=1\end{array}}{\sum }1}={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}{d}_1|f\\ {\left(d_1,f/d_1\right)}^{\ast \ast }=1\end{array}}{\sum }1}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}{d}_2|g\\ {\left(d_2,g/d_2\right)}^{\ast \ast }=1\end{array}}{\sum }1}={\tau }^{\ast \ast }\left(f\right){\tau }^{\ast \ast }\left(g\right)$,

即引理结论成立。

下证当 $\left(f,g\right)=1$ 且 $\left(d_1,d_2\right)=1$ 时，公式(2.5)成立。记

$t={\left(d_1{d}_2,fg/\left(d_1{d}_2\right)\right)}^{\ast \ast }$, $r={\left(d_1,f/d_1\right)}^{\ast \ast }$, $s={\left(d_2,g/d_2\right)}^{\ast \ast }$.

由最大酉公因式定义可知 $r\left|\right|d_1,r\left|\right|\left(f/d_1\right)$ 且 $s\left|\right|d_2,s\left|\right|\left(g/d_2\right)$。因为 $\left(d_1,d_2\right)=1$，所以 $rs\left|\right|d_1{d}_2$。同理，由 $\left(f,g\right)=1$ 可得 $\left(f/d_{1}g/d_2\right)=1$，因此 $rs\left|\right|fg/\left(d_1{d}_2\right)$。由此可得 $rs$ 是 $d_1{d}_2$ 和 $fg/\left(d_1{d}_2\right)$ 的酉公因式。由最大酉公因式定义可得 $rs|t$。

下证 $t|rs$。由t的定义可得 $t\left|\right|d_1{d}_2,t\left|\right|fg/\left(d_1{d}_2\right)$。因为 $\left(d_1,d_2\right)=1$，所以存在 $t_1,t_2$ 满足 $t=t_1{t}_2$，并且 $t_1\left|\right|d_1$， $t_2\left|\right|d_2$。由 $\left(f/d_1,g/d_2\right)=1$， $t\left|\right|fg/\left(d_1{d}_2\right)$ 并根据函数域上的算术基本定理和最大酉公因式定义可得，对上述 $t_1,t_2$，仍有 $t_1\left|\right|\left(f/d_1\right)$， $t_2\left|\right|\left(g/d_2\right)$。从而 $t_1|{\left(d_1,f/d_1\right)}^{\ast \ast }$， $t_2|{\left(d_2,g/d_2\right)}^{\ast \ast }$。由此可得 $t_1{t}_2|{\left(d_1,f/d_1\right)}^{\ast \ast }{\left(d_2,g/d_2\right)}^{\ast \ast }$，即 $t|rs$。

综上所述，我们有 $t=rs$，因此引理得证。¨

接下来我们计算 ${\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 在不可约多项式幂次处的值。

引理2.2.2. 设 ${\alpha }_i$ 为正整数，P为A中首一的不可约多项式，则有

${\tau }^{\ast \ast }\left(P^{{\alpha }_i}\right)=\{\begin{array}{cc}{\alpha }_i& {\alpha }_i是偶数,\\ {\alpha }_i+1& {\alpha }_i是奇数.\end{array}$

证明：对于正整数 ${\alpha }_i$，易知 $P^{{\alpha }_i}$ 共有 $\left({\alpha }_i+1\right)$ 个因式，其中 $P\in {\rm M}$ 且不可约。当 ${\alpha }_i$ 是奇数时，因为对于所有 $m,n\in {\rm N}$， $m+n={\alpha }_i$，都有 ${\left(P^m,P^n\right)}^{\ast \ast }=1$，所以 ${\tau }^{\ast \ast }\left(P^{{\alpha }_i}\right)={\alpha }_i+1$。当 ${\alpha }_i$ 是偶数时，因为有 ${\left(P^{{\alpha }_i/2},P^{{\alpha }_i/2}\right)}^{\ast \ast }=P^{{\alpha }_i/2}\ne 1$，所以 ${\tau }^{\ast \ast }\left(P^{{\alpha }_i}\right)={\alpha }_i+1-1={\alpha }_i$。引理得证。¨

2.3. 其他所需引理

设 $s\in C$，我们定义

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}\text{.}P\in {\rm M}}{\prod }\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{3s-1}\left(\Vert P\Vert -1\right)}\right)}$,(2.6)

其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。下面我们将考虑 $G\left(s\right)$ 的有界性。

引理2.3.1. 对于任意 $\epsilon >0$，当 $\Re \left(s\right)\ge \frac{1+\epsilon }{2}$ 时，我们有 $G\left(s\right)=O\left(1\right)$。

证明：由 $G\left(s\right)$ 的定义，我们有

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\displaystyle \underset{\text{irr}\text{.}P\in {{\rm M}}_n}{\prod }\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{3s-1}\left(\Vert P\Vert -1\right)}\right)}}$.

由范数定义可得

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in {{\rm M}}_n}{\prod }\left(1-\frac{1}{q^{2ns}}+\frac{1}{q^{n\left(3s-1\right)}\left(q^n-1\right)}\right)}}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\left(1-\frac{1}{q^{2ns}}+\frac{1}{q^{n\left(3s-1\right)}\left(q^n-1\right)}\right)}^{a_n}}$,

其中 $a_n$ 表示 ${{\rm M}}_n$ 中首一的不可约多项式的个数。又因为

$\frac{1}{q^{n\left(3\Re \left(s\right)-1\right)}\left(q^n-1\right)}<\frac{2}{q^{3n\Re \left(s\right)}}<\frac{2}{q^{2n\Re \left(s\right)}}$,

且存在常数 $C_1>0$，使得 $a_n\le \frac{C_1{q}^n}{n}$ (见文献 [6] )，所以

$\left|G\left(s\right)\right|\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\prod }}{\left(1+\frac{1}{q^{2n\Re \left(s\right)}}\right)}^{\left(C_1{q}^n\right)/n}}$.(2.7)

利用换底公式及 $\log \left(1+x\right)$ 的泰勒展开式可得

$\left|G\left(s\right)\right|\le \exp \left\{O\left({\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{n{q}^{n\left(2\Re \left(s\right)-1\right)}}}\right)\right\}$.

因为当 $\Re \left(s\right)\ge \frac{1+\epsilon }{2}$ 时，级数 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{n{q}^{n\left(2\Re \left(s\right)-1\right)}}}$ 收敛，所以存在 $C\left(\epsilon \right)>0$，使得

$\left|G\left(s\right)\right|\le C\left(\epsilon \right)$, (2.8)

从而引理得证。¨

下面我们将用 $G\left(s\right)$ 与 ${\zeta }_{{\rm A}}$ 表示 ${\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 的Dirichlet级数。

引理2.3.2. 对于 $\Re \left(s\right)\ge \frac{1+\epsilon }{2}$，我们有

${\displaystyle \underset{f\in {\rm M}}{\sum }\frac{{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\zeta }_{{\rm A}}^2\left(s\right)G\left(s\right)$,(2.9)

其中 ${\zeta }_{{\rm A}}$ 是函数域上的zeta函数， $G\left(s\right)$ 由(2.6)式给出。

证明：记

$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in {\rm M}}{\sum }\frac{{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}$,(2.10)

由引理2.2.1 ${\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)$ 是可乘函数可得 $F\left(s\right)$ 的欧拉乘积为

$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in {\rm M}}{\prod }\left(1+\frac{{\tau }^{\ast \ast }\left(P\right)}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{{\tau }^{\ast \ast }\left(P^2\right)}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\cdots \right)}$,

其中无穷乘积历遍所有首一不可约多项式。由引理2.2.2可得

$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{\text{irr}.P\in {\rm M}}{\prod }\left(1+\frac{2}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{2}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\cdots +\frac{2k}{{\Vert P\Vert }^{\left(2k-1\right)s}}+\frac{2k}{{\Vert P\Vert }^{2ks}}+\cdots \right)}$.

根据上式并利用 ${\zeta }_{{\rm A}}$ 的欧拉乘积(2.2)式以及 $G\left(s\right)$ 的定义(2.6)式，可以得到

$F\left(s\right)={\zeta }_{{\rm A}}^2\left(s\right)G\left(s\right)$.

引理得证。¨

当 $\Re \left(s\right)\ge \frac{1+\epsilon }{2}$ 时，我们可以将 $G\left(s\right)$ 写成如下Dirichlet级数的形式

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in {\rm M}}{\sum }\frac{h\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}$, (2.11)

其中 $h\left(f\right)$ 是 $G\left(s\right)$ 的欧拉乘积(2.6)式确定的可乘函数。更进一步，我们有

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_l}{\sum }h\left(f\right)q^{-ls}}}$.

令 $u=q^{-s}$，上式可以写成

$\hat{G}\left(u\right):={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{h}_l{u}^l}$, $\left|u\right|\le q^{-1/2-\epsilon }$,(2.12)

其中

$h_l:={\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_l}{\sum }h\left(f\right)}$.(2.13)

为证明定理1.1，我们还需要 $h_l$ 的上界。

引理2.3.3. 对于任意 $\epsilon >0$，存在常数 $C\left(\epsilon \right)>0$ 使得

$\left|h_l\right|\le C\left(\epsilon \right)q^{\left(l+l\epsilon \right)/2}$.

证明：由 $h_l$ 的定义(2.13)式， $\hat{G}\left(u\right)$ 的定义(2.12)式并且利用洛朗定理(见文献 [8] )可得

$h_l=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\frac{\hat{G}\left(u\right)}{u^{l+1}}\text{d}u}$,(2.14)

其中围道 $\Gamma$ 由 $\left|u\right|=q^{-\left(1+\epsilon \right)/2}$ 给出。对(2.14)式两边取模，由引理2.3.1以及围道 $\Gamma$ 取法可得

$\left|h_l\right|\le \frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\frac{\left|\hat{G}\left(u\right)\right|}{\left|u^{l+1}\right|}\left|\text{d}u\right|}\le \frac{1}{2\pi }C\left(\epsilon \right)q^{\left(1+\epsilon \right)\left(l+1\right)/2}{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\left|\text{d}u\right|}$.

从而有

$\left|h_l\right|\le \frac{1}{2\pi }C\left(\epsilon \right)q^{\left(1+\epsilon \right)\left(l+1\right)/2}2\pi q^{-\left(1+\epsilon \right)/2}=C\left(\epsilon \right)q^{\left(l+l\epsilon \right)/2}$.

引理得证。¨

3. 定理1.1的证明

由 $F\left(s\right)$ 定义(2.10)式可得

$F(s)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_n}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)q^{-ns}}}$.

令 $u=q^{-s}$，上式可写为

$\hat{F}\left(u\right):={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_n}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)u^n}}$,(3.1)

同时(2.9)式可写为

$\hat{F}\left(u\right)={\hat{\zeta }}_{{\rm A}}^2\left(u\right)\hat{G}\left(u\right)$.

根据(2.4)式 ${\hat{\zeta }}_{{\rm A}}\left(u\right)$ 的泰勒展开式以及(2.12)式可得

$\hat{F}\left(u\right)={\left({\displaystyle \underset{r=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^r{u}^r}\right)}^2{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{h}_l{u}^l}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{r+m+l=n}{\sum }{q}^{r+m}{h}_l{u}^{r+m+l}}}$.(3.2)

由比较(3.1)式和(3.2)式右边幂级数的系数可得

${\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_n}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)}={\displaystyle \underset{r+m+l=n}{\sum }{q}^{r+m}{h}_l}$.

从而有

${\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_n}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)}={\displaystyle \underset{r=0}{\overset{n}{\sum }}{q}^r}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-r}{\sum }}{q}^m{h}_{n-r-m}}={\displaystyle \underset{r=0}{\overset{n}{\sum }}{q}^r}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-r}{\sum }}{q}^{n-r-m}{h}_m}$.

由此可得

${\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_n}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)}=q^n{\displaystyle \underset{r=0}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-r}{\sum }}{q}^{-m}{h}_m}}$.(3.3)

由 $h_0=1$ 我们有

${\displaystyle \underset{r=0}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-r}{\sum }}{q}^{-m}{h}_m}}=n+1+O\left({\displaystyle \underset{r=0}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{n-r}{\sum }}{q}^{-m}{h}_m}}\right)=n+1+O\left(n{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{n}{\sum }}{q}^{-m}{h}_m}\right)$.(3.4)

下面估计(3.4)式最右边的O项。由 $h_m$ 的定义(2.13)式以及引理2.3.3可得

$\left|n{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{n}{\sum }}{q}^{-m}{h}_m}\right|\le n{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{n}{\sum }}{q}^{-m}\left(C\left(\epsilon \right)q^{m\left(1+\epsilon \right)/2}\right)}\le C\left(\epsilon \right)n{q}^{\left(\epsilon -1\right)/2}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-1}{\sum }}{q}^{m\left(\epsilon -1\right)/2}}$. (3.5)

对于(3.5)式中 ${\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-1}{\sum }}{q}^{m\left(\epsilon -1\right)/2}}$，当 $0<\epsilon <1/2$ 时，我们有

${\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-1}{\sum }}{q}^{m\left(\epsilon -1\right)/2}}\le {\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{q}^{-m/4}}\le {\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-m/4}}$,

从而

${\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-1}{\sum }}{q}^{m\left(\epsilon -1\right)/2}}=O\left(1\right)$. (3.6)

将(3.6)式代入(3.5)式我们有

$n{\displaystyle \underset{m=1}{\overset{n}{\sum }}{q}^{-m}{h}_m}=O_{\epsilon }\left(n{q}^{\left(\epsilon -1\right)/2}\right)$. (3.7)

将(3.7)式代入(3.4)式右边的O项我们有

${\displaystyle \underset{r=0}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=0}{\overset{n-r}{\sum }}{q}^{-m}{h}_m}}=n+1+O_{\epsilon }\left(n{q}^{\left(\epsilon -1\right)/2}\right)$. (3.8)

将(3.8)式代入(3.3)式，可得当 $0<\epsilon <1/2$ 时，

${\displaystyle \underset{f\in {{\rm M}}_n}{\sum }{\tau }^{\ast \ast }\left(f\right)}=\left(n+1\right)q^n+O_{\epsilon }\left(n{q}^{n+\left(\epsilon -1\right)/2}\right)$.

定理得证。