点态化完备代数正规类中的小理想

The Small Ideals in Normal Classes of Pointwise Complete Alagebra

摘要: 本文定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根，讨论了小理想及根R和R-半单类S_R与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质，进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件。

Abstract: The small ideals and small ideals hereditary radicals in normal classes of pointwise complete algebras are defined, some properties of small ideals and two conditions (*) and (**) related to small ideals for radicals R and R-semisimple classes S_R are discussed, and further two conditions that radical R is a small ideals hereditary radical are given.

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15]，为了进一步统一的研究一般代数正规类中根性质，文献 [16] - [23] 分别引入了可积代数正规类、完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] [25] [26] [27] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类确定的上根——反单根、遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零根、λ-根、正则根、κ-根和β-根的结构性质，文献 [28] 使用预根概念给出了根类的一个映射刻画，文献 [29] 定义了点态化完备代数正规类中的低幂等根，证明了Boolean根 $\beta$ 、正则根 $\nu$ 、遗传幂等根 $\chi$ 、λ-根 $\lambda$ 、幂等代数根 $\iota$ 都是低幂等根，并且这5个低幂等根满足 $\beta \le \nu \le \chi \le \lambda \le \iota$。

本文在文献 [24] - [29] 建立的点态化完备代数正规类基础上，定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根，讨论了小理想及根R和S_R与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质，进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] - [29]，为了建立每个代数的子代数乘积与S_a中点乘积之间的联系，本文使用文献 [26] [27] 中强化了的点乘积公理。

首先引入一些基本概念及引理。

引理2.1 [15]： $A$ 是一个完备代数正规类， $\forall a\in A$， $i⊲a$， $k⊲i$， $\bar{k}$ 是a的包含k的最小理想。则 $\bar{k}=k\vee ak\vee ka\vee aka$，且 ${\bar{k}}^3\le k$。

定义2.2 [25]： $a\in A$，如果 $\forall i⊲a$，都有 $i^2=i$，则称代数a是遗传幂等的。

引理2.3： $A$ 是一个完备代数正规类，a是 $A$ 中遗传幂等代数，则：

(1) $j⊲i⊲a$，则 $j⊲a$ ；

(2) $i⊲a$，则i是遗传幂等代数。

证明：(1) $j⊲i⊲a$，设 $\bar{j}$ 是a的包含j的最小理想，则由引理2.1有 ${\bar{j}}^3\le j$。a是遗传幂等代数， $\bar{j}⊲a$，从而 ${\bar{j}}^2=\bar{j}$， ${\bar{j}}^3={\bar{j}}^2\bar{j}=\bar{j}\bar{j}=\bar{j}$，故 $j=\bar{j}⊲a$，则i是遗传幂等代数；

(2) $i⊲a$， $\forall j⊲i$，由(1)都有 $j⊲a$，从而 $j^2=j$，即i是遗传幂等代数。证毕。

3. 点态化完备代数正规类中的小理想

本节引入点态化完备代数正规类中的小理想概念，讨论点态化完备代数正规类中的小理想一些相关性质。

定义3.1： $A$ 是一个代数类。

(1) $a\in A$， $i⊲a$，如果 $\forall j⊲a$，由 $i\vee j=a$，则必有 $j=a$，则称i是代数a的小理想，记为 $i{⊲}_{s}a$ ；

(2) $a\in A$，存在 $b\in A$，使得 $a{⊲}_{s}b$，则称a是一个小代数；

(3) R是一个根， $a\in A$ 是R-根代数， $\forall i{⊲}_{s}a$，都有i是R-根代数，则称R是一个小理想遗传根。

例3.2：(1) $A$ 是一个代数类，a是任意代数，则0都是a的小理想，称0是a的平凡小理想；

(2) $A$ 是一个代数类，a是非0代数，则a是a的理想，但a不是a的小理想，从而小理想与理想是不同的概念；

(3) $A$ 是一个代数类， $a\ne \text{0}$ 是有心h的亚直既约代数， $h\ne a$，则h是a的小理想。

小理想有下面的性质：

引理3.3： $A$ 是一个代数类，a是任意代数， $i{⊲}_{s}a$，则 $\forall j⊲a$，都有 $\left(i\vee j\right)/j{⊲}_{s}a/j$。

证明：(1) 设 $j<k⊲a$， $k/j⊲a/j$，则 $\left(\left(i\vee j\right)/j\right)\vee \left(k/j\right)=\left(i\vee j\vee k\right)/j=a/j$，从而 $i\vee j\vee k=a$。由 $i{⊲}_{s}a$ 得 $j\vee k=a$，所以 $k=j\vee k=a$，因此 $k/j=a/j$，即 $\left(i\vee j\right)/j{⊲}_{s}a/j$。证毕。

引理3.4： $A$ 是一个代数类，a是任意代数， $i{⊲}_{s}a$，m是a的极大理想，则 $i\le m$。

证明：如果 $i\cancel{\le }m$，则 $m\le i\vee m⊲a$，且 $m\ne i\vee m$，由于m是a的极大理想，因此 $i\vee m=a$。由 $i{⊲}_{s}a$ 得 $m=a$，与m是a的极大理想矛盾，所以 $i\le m$。证毕。

定理3.5： $A$ 是一个代数类，a是一个代数， $\forall i⊲a$， $i\ne a$，都存在a的极大理想m，使得 $i\le m$。则 $\forall i⊲a$， $i{⊲}_{s}a\iff i\le \wedge \left\{m|m是a的极大理想\right\}$。

证明：“ $\Rightarrow$ ” $\forall i{⊲}_{s}a$， $\forall a$ 的极大理想m，由引理3.4知 $i\le m$，从而 $i\le \wedge \left\{m|m是a的极大理想\right\}$。

“ $\Leftarrow$ ” $i⊲a$， $i\le \wedge \left\{m|m是a的极大理想\right\}$。如果i不是a的小理想，则存在 $j⊲a$， $j\ne a$，使得 $i\vee j=a$。由定理3.5条件知存在a的极大理想m，使得 $j\le m$，从而 $i\vee m=a$。又因为 $i\le m$，因此 $i\vee m=m$，故 $m=a$，与m是a的极大理想矛盾，所以i是a的小理想。证毕。

定理3.6： $A$ 是一个代数类，X为 $A$ 中的同态闭代数类， $a\in A$，a的所有非0同态像都不在X中。如果 $i⊲a$， $i\in X$，则 $i{⊲}_{s}a$。

证明：设 $j⊲a$， $i\vee j=a$，由X同态闭及 $i\in X$ 有 $a/j=\left(i\vee j\right)/j\cong i/\left(i\wedge j\right)\in X$，又由a的所有非0同态像都不在X中，则得 $a/j=0$，从而 $j=a$，故 $i{⊲}_{s}a$。证毕。

推论3.7： $A$ 是一个代数类， $a\in A$ 是幂等代数。如果 $i⊲a$ 是幂0理想，则 $i{⊲}_{s}a$。

证明：取X为幂0代数类，则X为 $A$ 中的同态闭的代数类；a是幂等代数，则a的所有非0同态像都是幂等代数，都不在X中，由定理3.6即得 $i{⊲}_{s}a$。证毕。

$A$ 是一个代数类，R为 $A$ 中的一个根类，S_R是R-半单类。下面是根R与S_R与小理想相关的2个条件：

(*) $\forall a\in {\text{S}}_{\text{R}}$， $i{⊲}_{s}a$，都有 $a/i\in {\text{S}}_{\text{R}}$ ；

(**) $\forall a\in A$， $i{⊲}_{s}a$ 且 $a/i\in \text{R}\Rightarrow a\in \text{R}$。

下面首先讨论根R的条件(*)与(**)的性质。

引理3.8： $A$ 是一个代数类，R为 $A$ 中的一个根类，S_R是R-半单类。则S_R满足条件(*) $\iff$ $\forall a\in A$， $i{⊲}_{s}a$ 有 $\text{R}\left(a/i\right)=\left(\text{R}\left(a\right)\vee i\right)/i$。

证明：“ $\Rightarrow$ ”S_R满足条件(*)， $\forall a\in A$， $i{⊲}_{s}a$ 且 $a/i\in \text{R}$，则 $\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/\text{R}\left(a\right){⊲}_{s}a/\text{R}\left(a\right)$， $a/\text{R}\left(a\right)\in {\text{S}}_{\text{R}}$，有 $\frac{a/i}{\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/i}\cong \frac{a}{i\vee \text{R}\left(a\right)}\cong \frac{a/\text{R}\left(a\right)}{\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/\text{R}\left(a\right)}\in {\text{S}}_{\text{R}}$，所以 $\text{R}\left(a/i\right)\le \left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/i$。又 $\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/i\cong \text{R}\left(a\right)/\left(\text{R}\left(a\right)\wedge i\right)\in \text{R}$，从而 $\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/i\le \text{R}\left(a/i\right)$，故 $\text{R}\left(a/i\right)=\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/i$ ；

“ $\Leftarrow$ ” $\forall a\in {\text{S}}_{\text{R}}$， $i{⊲}_{s}a$，都有 $\text{R}\left(a/i\right)=\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/i\cong \text{R}\left(a\right)/\left(i\wedge \text{R}\left(a\right)\right)=\text{0}$，即 $a/i\in {\text{S}}_{\text{R}}$。证毕。

引理3.9： $A$ 是一个代数类，R为 $A$ 中的一个根类，S_R是R-半单类。S_R满足条件(*)，则R满足条件(**)。

证明： $\forall a\in A$， $i{⊲}_{s}a$ 且 $a/i\in \text{R}$，则 $a/i=\left(i\vee \text{R}\left(a\right)\right)/i$，所以 $i\vee \text{R}\left(a\right)=a$，从而 $\text{R}\left(a\right)=a$，即 $a\in \text{R}$，R满足条件(**)。证毕。

定理3.10： $A$ 是一个代数类，R为 $A$ 中的一个满足条件(**)的根类， $a\in A$ 是心为h(a)的R-半单亚直既约代数。则 $a/h\left(a\right)\in {\text{S}}_{\text{R}}$。

证明：设 $\text{R}\left(a/h\left(a\right)\right)=b/h\left(a\right)$， $b⊲a$，如果 $\text{R}\left(a/h\left(a\right)\right)\ne \text{0}$，则b也是心为h(a)的亚直既约代数，故 $h\left(a\right){⊲}_{s}b$， $b/h\left(a\right)=\text{R}\left(a/h\left(a\right)\right)\in \text{R}$，由条件(**)有 $b\in \text{R}$，与a是R-半单代数矛盾，所以 $\text{R}\left(a/h\left(a\right)\right)=\text{0}$。证毕。

定理3.11： $A$ 是一个代数类，R为 $A$ 中的一个满足条件(**)的根类， $a\in A$ 是遗传幂等的R-半单代数。则 $\forall i⊲a$， $a/i\in {\text{S}}_{\text{R}}$。

证明：对 $i⊲a$，设 $\text{R}\left(a/i\right)=b/i$， $b⊲a$，令 $M_i=\left\{j⊲b|i\vee j=b\right\}$。设 $\left\{j_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \right\}$ 是 $M_i$ 中一个降链， $c=\wedge \left\{j_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \right\}$，则 $i\vee c=i\vee \left(\underset{\lambda \in \Lambda }{\wedge }{j}_{\lambda }\right)=\underset{\lambda \in \Lambda }{\wedge }\left\{i\vee j_{\lambda }\right\}=\underset{\lambda \in \Lambda }{\wedge }b=b$，由Zorn引理知 $M_i$ 中有极小元k，从而 $b/i=\left(i\vee k\right)/i\cong k/\left(k\wedge i\right)$。设 $l⊲k$ 且 $k=\left(k\wedge i\right)\vee l$，则 $b=i\vee k=i\vee \left(\left(k\wedge i\right)\vee l\right)=i\vee l$。由 $l⊲k⊲b⊲a$ 及引理2.3知 $l⊲a$ ；由k在 $M_i$ 中的极小性得 $l=k$，故 $k\wedge i{⊲}_{s}k$ 且 $k/\left(k\wedge i\right)\cong b/i\in \text{R}$，由R满足条件(**)有 $k\in \text{R}$。又 $k⊲a$， $a\in {\text{S}}_{\text{R}}$，因此 $k=0$，从而 $b/i\cong k/\left(k\wedge i\right)=0$，即 $a/i\in {\text{S}}_{\text{R}}$。证毕。

引理3.12： $A$ 是一个代数类，R是一个根，则：R是一个小理想遗传根 $\iff$ $\forall$代数a， $\forall i{⊲}_{s}a$，都有 $\text{R}\left(i\right)=i\wedge \text{R}\left(a\right)$。

证明：“ $\Rightarrow$ ”R是一个小理想遗传根， $\forall$ 代数a， $\forall i{⊲}_{s}a$，有 $\text{R}\left(i\right)⊲a$，从而 $\text{R}\left(i\right)\le \text{R}\left(a\right)$，故 $\text{R}\left(i\right)\le i\wedge \text{R}\left(a\right)$ ；又因为 $i\wedge \text{R}\left(a\right)⊲\text{R}\left(a\right)$，故 $\text{R}\left(i\wedge \text{R}\left(a\right)\right)=i\wedge \text{R}\left(a\right)⊲i$，因此 $i\wedge \text{R}\left(a\right)\le \text{R}\left(i\right)$。所以 $\text{R}\left(i\right)=i\wedge \text{R}\left(a\right)$。

“ $\Leftarrow$ ” $\forall$ 代数a， $\text{R}\left(a\right)=a$， $\forall i{⊲}_{s}a$，则 $\text{R}\left(i\right)=i\wedge \text{R}\left(a\right)=i\wedge a=i$，即i是a的R代数，从而R是一个小理想遗传根。证毕。

定理3.13： $A$ 是一个代数类，R为 $A$ 中的一个根类，S_R是R-半单类。如果S_R满足：

(***) $\forall a\in A$，存在 $i{⊲}_{s}a$ 且 $\text{0}\ne i\in {\text{S}}_{\text{R}}$，则有 $a\in {\text{S}}_{\text{R}}$。

则R是一个小理想遗传根。

证明： $\forall a\in \text{R}$， $i{⊲}_{s}a$，如果 $\text{R}\left(i\right)\ne i$ (从而 $i\ne a$ )，则 $\text{R}\left(i\right)⊲a$，考虑 $a/\text{R}\left(i\right)$，由引理3.3有 $i/\text{R}\left(i\right)=\left(i\vee \text{R}\left(i\right)\right)/\text{R}\left(i\right){⊲}_{s}a/\text{R}\left(i\right)$， $\text{0}\ne i/\text{R}\left(i\right)\in \text{S}{}_{\text{R}}$，由条件(***)知 $a/\text{R}\left(i\right)\in {\text{S}}_{\text{R}}$，故 $\text{R}\left(a\right)\le \text{R}\left(i\right)$，所以 $\text{R}\left(i\right)=\text{R}\left(a\right)=a$，因此 $i=a$，与 $i\ne a$ 矛盾，所以 $\text{R}\left(i\right)=i$，即 $i\in \text{R}$。因此R是一个小理想遗传根。证毕。

4. 小结

本文定义了点态化完备代数正规类中的小理想及小理想遗传根，讨论了小理想及根R和R-半单类S_R与小理想相关的2个条件(*)与(**)的一些性质，进一步讨论了根R是一个小理想遗传根的2个条件。

基金项目

国家自然科学基金(11861076)；云南省自然科学基金(2019FB139)。