1. 引言
设
和
是整数,其中
,
。令X是一个v-集合,
是X的一组k-子集,若X的任意给定的t-子集都恰好出现在
的
个成员之中,则称有序对
是一个
设计,其中X的元素称为点,
中的成员称为区组。若
中的任意两个区组都不相同,则称这个设计为单纯的。在本文中,我们只考虑单纯t-设计。
设
,对于任意
,
,令
。
和
分别称为S的轨道和稳定子群,且
[1] 。长度为
的轨道
称为正则轨道,即
,其它的轨道称为非正则轨道。对于任意的
,若存在
使
,则称G在X上的作用是传递的。若G在集合
上的作用是传递的,其中
是X的所有k-子集
的集合,则称G是k-齐次的。
在本文中,设
,其中
且p为素数,
为射影直线。对于任意的
,定义映射f:
其中
是
中的一个非零平方元。所有形如f的映射的集合构成一个群,称为射影特殊线性群
。以下总是用G表示
。
当
时,群G是3-齐次的,即G作用在集合
上是传递的。因此,G在
上作用的轨道可以构造出单纯3-设计。文献 [2] [3] 给出了以G为自同构群,区组长度为4,5和6的单纯3-设计的完整结果。目前,这种设计的最好结果在文献 [4] 中,给出了所有以G为自同构群,区组长度为k的所有单纯3-设计,其中
。然而,当
时,G不是3-齐次的。因此,G在
上作用的轨道不一定能构造出单纯3-设计。但在文献 [5] 中提供了一种方法,可以利用G在
上作用的轨道的并来构造单纯3-设计。通过这种方法,文献 [6] [7] 找到了一些单纯3-设计存在的例子。
本文在文献 [6] [7] 的基础上,借助上述方法给出了其它单纯3-设计的一些例子。
2. 预备知识
下面的引理给出了G的所有子群。
引理1 [8] G的一个子群必为下列之一:
1)
阶初等Abel群,其中
;
2) 循环群
,
;
3) 2d阶二面体群,
;
4)
;
5)
,当
时;
6)
阶初等Abel群和d阶循环群的半直积,其中
且
;
7)
,当
时;
8)
,其中
;
9)
,其中
。
以下总假设K是群G的一个子群,
表示K在X上作用的长度为 的轨道的条数。在文献 [7] [9] [10] 中都介绍了下面引理所列举的结果。
引理2设K是一个d阶循环群,则
1) 若
,则
;
2) 若
,则
,
;
3) 若
,则
,
。
引理3设K是一个
阶初等Abel群和一个d阶循环群的半直积,其中
且
,则
,
且其他轨道是正则的。
引理4设
,其中
,则
1) 若n/m是奇数,则
且其他轨道是正则的;
2) 若n/m是偶数,则
,
且其他轨道是正则的。
3. 主要结果
以下总假设
是
的一个本原元。下面的引理指出,我们可以通过G在
上作用轨道的并来构造一个3-设计。设
是X的k-子集的一个集合,Δ是X的一个t-子集,其中
。令
表示
中包含Δ的k-子集的个数,即
。
引理5 [6] 设Γ是G在X的k-子集上作用的一个轨道,则
若
,则
。因此,
是一个3-
设计,其中
。
以下我们总假设
,
,
,其中
,则
,易见
。因
,
,
,故
,易见
。
定理1设
,
且
,则存在一个单纯3-
设计。
证明取
,令
,其中
,由引理5知,
是一个3-
设计,其中
因
,故
,可得
。又
,故
,从而
为奇数,可得
为奇数。所以
是一个单纯3-设计。
因
,由引理1知,
不为循环群或初等Abel群。又
,故
中含有阶数大于5的元素,从而
不为
,
或
。又
,故
。若
是阶数为
的半直积,则
。又p是奇素数,故
,所以
,可得
。由引理2知,这是不可能的。
若
,其中
,则B是由
在X上作用的轨道的并构成。由引理4知,
。又
且
,故
中元素的最大阶为k。而
中元素的最大阶为
,故
,即
,与
矛盾。
若
,其中
,则
中元素的最大阶为
。因此
,即
可得
。所以
,
,故
,与
矛盾。
综上所述,
是阶数为2d的二面体群,其中
。因
,故
,从而
,所以
。
定理2设
,
且
,则存在一个单纯3-
设计。
证明取
,易知
且
。令
,其中
,由引理5知,
是一个3-
设计,其中
因
,故
,从而
。又
,故
,从而
为奇数,可得 为奇数。所以,
是一个单纯3-设计。
因
,由引理1知,
不为循环群或初等Abel群。又
,则
,从而
中含有阶数大于5的元素,所以
不为
,
或
。又
,故
。若
是阶数为
的半直积,则
。又p是奇素数,故
,从而
,所以
,可得
。由引理2知,这是不可能的。
若
,其中
,则
中元素的最大阶为
,而
中含有阶数为
的元素,故
,即
。所以
,即
,从而
中含有
阶元
,而
无不动点,与
矛盾。
若
,其中
,设
是
中阶数为
的元素,则
,而
无不动点,故
可得
。所以
,从而
,与
矛盾。
综上所述,
是阶数为2d的二面体群,其中
。因
,故
,从而
,所以
。
定理3设
,
且
,则存在一个单纯3-
设计。
证明取
,易知
,从而
。令
,其中
,由引理5知,
是一个3-
设计,其中
因
,故
,从而
。又
,故k为奇数,从而
为奇数,可得
为奇数。所以,
是一个单纯3-设计。
因
,由引理1知,
不为初等Abel群。又
,则
,从而
中含有阶数大于5的元素,所以
不为
,
或
。若
,则
,即
,从而
,而
,故
,与
为奇数矛盾。所以
不为二面体群。又
,故
,从而
。若
是阶数为
的半直积,则
,即
,从而
,可得
。因
,故
,所以
,即
。因B是由
在X上作用的轨道的并构成,由引理3知,
,而
,与
矛盾。
若
,其中
,则B是由
在X上作用的轨道的并构成。由引理4知,
。又
,故
中含有阶数为
的元素。而
中元素的最大阶为
,故
,即
,因此
。所以
,即
,可得
,从而
,与
矛盾。
若
,其中
,设h是
中阶数为
的元素,则
,而h无不
动点,故
可得
。所以
,从而
,与
矛盾。
综上所述,
是d阶循环群,其中
。因
,故
。所以
,故
。
致谢
衷心感谢导师李伟霞在本文写作过程中的悉心指导。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(11501315)。
NOTES
*通讯作者。