1. 引言
在CAD中,等距线在工业领域应用十分广泛,如机器人行走路线、数控机器加工等工业领域。Bézier曲线计算高效,但是它在求单位法向量时会涉及到求根公式,这会使其等距线不是有理多项式,并不兼容于CAD系统。Farouki提出了PH (Pythagorean hodograph)曲线 [1] ,其弧长函数和等距线为多项式或有理多项式,兼容于CAD系统。
到目前为止,关于PH曲线已经有了比较深入的研究,众所周知,对于给定Bézier曲线的控制多边形,其相关边长和内角不依赖于坐标选则的固有内在几何参量,具体数据可由实际测量获得,因此,从控制多边形的长度和角度来讨论曲线的几何性质无论在理论时,还是实际应用中都具有重要意义。Farouki [1] 和Sakalis给出具有不同控制顶点
的3次Bézier曲线为PH曲线分离形式的边长的约束条件。文献 [1] 根据PH曲线的定义,构造了Bézier曲线形式的四次PH曲线。文献 [2] 给出了C-Bézier曲线成为了PH曲线条件的方法并证明。
在几何造型中,曲面曲线的形状调整是一个非常活跃的研究课题。近年来,为了满足几何造型工业中对曲线曲面调整的要求,国内外学者提出了许多不同的方法。其中带参数的曲线曲面逐渐成为一个研究热点,这些方法的主要目的是在曲线模型中引入参数,并通过修改参数的取值实现对曲线形状的调整。例如,文献 [3] 和文献 [4] 中的带形状参数的Bézier曲线、文献 [5] 和文献 [6] 中的带形状参数的B样条曲线,文献 [7] 和文献 [8] 中的带形状参数的三角曲线等。
另外,在CAGD中,由于几何拼接的需要,经常会涉及到平面上两条曲线之间的光滑拼接,例如,道路轨迹、机器人的行走路线、数控加工中机床的刀具中心轨迹的设计等等,一般都是通过构造过渡曲线来实现的。很多文献从不同角度围绕过渡曲线的设计展开研究,文献 [9] 以铁路中的过渡曲线为例,从反射值角度对多项式过渡曲线的形状进行了分化;文献 [10] 对两圆间一条三次Bézier曲线的过渡曲线进行了研究;文献 [11] [12] 对两圆之间应用了五次PH过渡曲线进行了研究。
本文得到带参数Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件,构造了一类带参数的三次PH曲线。并应用该曲线,构造了过渡曲线,这个曲线是G2连续的C型过渡曲线,并且当控制顶点不变时,通过参数的取值的改变可以调整过渡曲线的形状。
2. 带形状参数的m-Bézier曲线
定义1 带形状参数的m-Bézier曲线为
(1)
其中
,
,
,
为m-Bézier曲线的基函数,m为参数,
为三次PH曲线的控制顶点,
。
3. m-Bézier曲线成为PH曲线的几何特征条件
定理2.1 [2] 若平面参数曲线
分量导数表达式为:
其中
为实系数多项式,并且多项式
互质,则
曲线为PH曲线。
令
为一次多项式,
(2)
由m-Bézier曲线的基函数,并根据定理2.1得到
则
得到满足PH曲线的控制顶点,
(3)
其中
任意选取,本文中取
,取
,故
(4)
将(3)式代入(2)式,计算得
。由(3)式和(4)式经计算得
(5)
定理2.2如果m-Bézier曲线的控制多边形的边长及其两个顶角满足以下条件:
(6)
其中
为控制多边形的边长,此时m-Bézier曲线为PH曲线。其控制多边形如图所示:
![](//html.hanspub.org/file/25-2621747x40_hanspub.png?20211014082540948)
证明:根据公式(3)中的坐标以及两点间距离公式我们可以得出控制多边形各边长为(6)式。
由余弦定理可得
,
其中
由定理2.1得
当m = 0时,
,此时
显然成立。
根据(6)式控制多边形的边长长度满足的关系,由余弦定理可得
则可得
或
为进一步确定多边形两个夹角之间的关系,计算
,即
(7)
其中z是单位向量,并与平面B(t)正交,则可得,
,即
结合(7)式可知
。
4. 构造三次带形状参数的PH过渡曲线
给定平面参数曲线方程
,该参数曲线的切向量为
,曲线
的曲率为
其中
;
。
由(2)~(4),可得:
(8)
(9)
由(8)式可以得出
和
符号相同,所以在两圆不互相包含的情况下,过渡曲线是一个C型过渡曲线。
给定始末控制定点
、
,且
的曲率圆心为
,其曲率的半径为
,由
连续可得:
假设
,若令:
(10)
可得
。设控制多边形中
与
的夹角依次为
、
,其中
,
,则
将(8)式和(9)式带入(6)式可得:
引理1 [3] (Kneser定理) Spiral上任何一点的曲率圆一定包含较小的曲率圆,并且一定被较大的曲率圆所包含。
由引理1可知,在两圆不相互包含的前提下,曲率内部必有极值点。为了使曲线尽可能光滑,要求曲线内部的极值点尽可能的少,本文假设所要构造的C型过渡曲线曲率有且仅有一个极值点。
下面讨论PH过渡曲线的存在性。
定理3.1 当两圆互不包含时,即当
,若
此时过渡曲线是一个C型过渡曲线。
证明 三次PH曲线导数为:
,其中
当
时,
,
,这时曲线有尽可能少的曲率极值点。所以
构造的过渡曲线是C型G2连续。
定理2 令端点曲率
,
对应的曲率半径为
,
,
。如果
(11)
且
其中
。
满足上述条件的三次PH过渡曲线是唯一的。
证明 给定曲线的两个端点
、
,三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆圆心和半径如图1所示。若圆心距为r,则有
。
![](//html.hanspub.org/file/25-2621747x101_hanspub.png?20211014082540948)
Figure 1. Coordinate system setting and end point curvature circle of cubic PH curve
图1. 三次PH曲线的坐标系设定与端点曲率圆
由图1得:
,
,则两圆之间的圆心距向量为
。
构造关于
的函数
。令
,则
。将
带入
得到一个四次方程,它的变量是q,方程如下:
由(10)式可得出结论,
。考虑方程
在开区间
内根的情况,根据函
数的零点存在性定理,方程
在区间
内可以有根的条件为
。
,
。
由
得:
。因为
,所以
。由此得
。
由
得:
当
时,上面所述的不等式成立。故当
时,有
,此时方程
在
内一定有根。
上面已经讨论了方程
的根一定存在,下面讨论根的唯一性的。
由(11)式得:
,
且
。
因为
,
是一个二次函数其变量为q,并且该曲线的开口是向下的,
所以
是一个单调递增的函数。固
在开区间
内的根具有唯一性。
5. 数值例子
例1取
,起始点
,并选取
,由定理2,可选
,此时可设
的曲率圆为
,它的圆心是
,通过计算可得,所要构造的带参数的PH过渡曲线,其端点曲率圆的圆心距的取值区
间为
。令
,得到结论
,因此确定此带参数的三次
PH过渡曲线,如图2所示。
![](//html.hanspub.org/file/25-2621747x151_hanspub.png?20211014082540948)
Figure 2. The cubic PH transition curve when
(solid line part)
图2.
时的三次PH过渡曲线(实线部分)
例2令
,起始点
,并选取
,由定理2,可选
,此时可设
的曲率圆为
,它的圆心是
,通过计算可得,所要构造的带参数的PH过渡曲线,其端点曲率圆的圆心距的取值区
间为
。令
,得到结论
,因此确定此带参数的三次
PH过渡曲线,如图3所示。
![](//html.hanspub.org/file/25-2621747x164_hanspub.png?20211014082540948)
Figure 3. The cubic PH transition curve when m = 2 (solid line part)
图3. 当m = 2时的三次PH过渡曲线(实线部分)
![](//html.hanspub.org/file/25-2621747x165_hanspub.png?20211014082540948)
Figure 4. The cubic PH transition curve when m = 3 (solid line part)
图4. 当m = 3时的三次PH过渡曲线(实线部分)
例3令
,起始点
,并选取
,由定理2,可选
,此时可设
的曲率圆为
,它的圆心是
,通过计算可得,所要构造的带参数PH过渡曲线,其端点曲率圆的圆心距的取值区间
为
。令
,得到结论
,因此确定此带参数的三次
PH过渡曲线,如图4所示。
参考文献