三维Micropolar流体方程组弱解的正则性准则

Regularity Criteria of Weak Solutions to the 3D Micropolar Fluid Equations

摘要: 本文给出了三维Micropolar流体方程组在Besov空间中弱解的一个正则性准则，证明了当方程组的弱解(u,w)满足,时，方程组(1.1)在(0,T]上是正则的。

Abstract: In this paper, we study the regularity criteria for the weak solutions of 3D Micropolar fluid equations (1.1) in Besov space. We get that the weak solution (u,w) is regular on (0,T] when it satisfies the conditions ,, where 0<γ<2.

1. 引言

本文我们将考虑 $R^3$ 不可压非齐次微极流体方程组的正则性问题：

$\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}u-\left(\upsilon +\chi \right)\text{Δ}u+u\cdot \nabla u+\nabla \pi =2\chi curlw,\\ {\partial }_{t}w-\mu \text{Δ}w+u\cdot \nabla w+4\chi w-\kappa \nabla divw=2\chi curlu,\\ div{u}_0=0,\\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right),w\left(x,0\right)=w_0\left(x\right).\end{array}$ (1.1)

其中 $u=\left(u_1\left(x,t\right),u_2\left(x,t\right),u_3\left(x,t\right)\right)$ 表示流体的速度， $w=\left(w_1\left(x,t\right),w_2\left(x,t\right),w_3\left(x,t\right)\right)$ 表示流体的微旋转速度， $\pi =\pi \left(x,t\right)$ 表示压强， $\mu ,\kappa ,\nu ,\chi$ 表示粘性系数，其中 $\mu >0,\kappa >0,\gamma >0,\nu >0,\chi >0$。

当方程组(1.1)中 $w=0$ 时，方程组(1.1)就变成我们熟悉的Navier-Stokes方程组，对于Navier-Stokes方程的研究已经有很多，具体可参考文献 [1] [2] [3]，但是对于三维Navier-Stokes方程的全局正则性的研究仍然有很多困难。

微极流体方程组最早是由Eringen [4] 在1966年提出的，从物理上讲，微极流描述的是流体的运动，其中微粒的旋转也被考虑在内。我们知道，微极流体方程组弱解的正则性和光滑解的爆破准则对于研究该方程组解的全局正则性起着重要作用，如Dong [5] 得到了三维微极流体方程组在Besov空间中的正则性准则，Wang [6] 证明了三维微极流体方程组光滑解的爆破性准则，后来，Zhang [7] 根据速度涡度建立了改进的Besov空间的爆破条件，之后，又有很多学者研究了方程组(1.1)中的一些性质，具体可参考文献 [8] [9] [10] 等。

本文给出了三维Micropolar方程在Besov空间中解的一个正则性准则，主要结论如下：

2. 主要定理

定理2.1设初值 $\left(u_0,w_0\right)\in H^1\left(R^3\right)\times H^1\left(R^3\right)$， $\left(u,w\right)$ 是三维微极流体方程组(1.1)的一组弱解。如果满足条件

${\displaystyle {\int }_0^T\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}+{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\text{d}s}<\infty ,0<\gamma <2.$ (2.1)

则弱解 $\left(u,w\right)$ 在 $\left(0,T\right]$ 上是正则的。

3. 预备知识

定义3.1齐次Besov空间：设s是一个实数， $\left(p,r\right)\in {\left[1,\infty \right]}^2$，所有 ${S^{\prime }}_h$ (其中 ${S^{\prime }}_h$ 为缓增函数空间)中的分布函数u组成的其次Besov空间 ${\stackrel{\dot{}}{B}}_{p,r}^s$，则有

${\Vert u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{p,r}^s}={\left(\underset{j\in Z}{{\displaystyle \sum }}{2}^{rjs}{\Vert {\stackrel{\dot{}}{\Delta }}_{j}u|\Vert }_{L^p}^r\right)}^{\frac{1}{r}}<\infty .$

下面，我们来介绍Micropolar方程组(1.1)弱解的定义：

定义3.2 设初值 $\left(u_0\left(x\right),w_0\left(x\right)\right)\in L^2\left(R^3\right)\times L^2\left(R^3\right)$，且 $div{u}_0=0$，若作用在 $R^3\times \left(0,T\right]$ 上的 $\left(u,w\right)$ 满足如下条件，则称 $\left(u,w\right)$ 为三维Micropolar方程组(1.1)的弱解：

(1) $\left(u,w\right)\in L^{\infty }\left(0,T;L^2\left(R^3\right)\right)\cap L^2\left(0,T;{\stackrel{\dot{}}{H}}^1\left(R^3\right)\right)$ ；

(2) $\left(u,w\right)$ 在分布意义下满足方程组(1.1)，即对任意的 $\phi ,\varphi \in C_0^{\infty }\left(R^3\times \left(0,T\right]\right)$，都有

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}\left\{{\partial }_{t}u-\left(\upsilon +\chi \right)\text{Δ}u+u\cdot \nabla u+\nabla \pi -2\chi curlw\right\}\phi \text{d}x\text{d}t}}=0,$

和

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{R^3}\left\{{\partial }_{t}w-\mu \text{Δ}w+u\cdot \nabla w+4\chi w-\kappa \nabla divw-2\chi curlu\right\}\varphi \text{d}x\text{d}t}}=0,$

成立。

(3) 有以下能量不等式成立：

${\Vert \left(u,w\right)\Vert }_{L^2}^2+2\left(\upsilon +\chi \right){\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+2\mu {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+2\kappa {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert divw\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}+8\chi {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert w\Vert }_{L^2}^2\text{d}t}\le {\Vert \left(u_0,w_0\right)\Vert }_{L^2}^2.$

引理3.1 ( [1] )设 $1\le q<p<\infty$， $\alpha$ 是一个正实数。则存在一个常数C，使得

${\Vert f\Vert }_{L^p}\le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\alpha }}^{1-\theta }{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{q,q}^{\beta }}^{\theta }$，其中 $\beta =\alpha \left(\frac{p}{q}-1\right)$ 和 $\theta =\frac{q}{p}$ (3.1)

注：从上述引理可以得到，当 $q=2,p=3$ 时，就有

${\Vert f\Vert }_{L^3}\le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{1}{3}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^{\frac{\gamma }{2}}}^{\frac{2}{3}}$ (3.2)

成立；

当 $q=2,p=4,\beta =1$ 时，我们可以得到 $\alpha =1$，就有

${\Vert f\Vert }_{L^4}\le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^{\frac{1}{2}}{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^1}^{\frac{1}{2}}$ (3.3)

成立。

引理3.2 (Gagliardo-Nirenberg不等式)对于 $0<q,r\le \infty ,0<\alpha <1,u\in W^{m,r}\left(R^n\right)$，就有

${\Vert D^{j}u\Vert }_{L^p}\le C{\Vert D^{m}u\Vert }_{L^r}^{\alpha }{\Vert u\Vert }_{L^q}^{1-\alpha },$

其中 $\frac{j}{m}\le \alpha <1,\frac{1}{p}=\frac{j}{n}+\alpha \left(\frac{1}{r}-\frac{m}{n}\right)+\left(1-\alpha \right)\frac{1}{q}$。

4. 定理证明

在这一节，我们将会给出定理2.1的证明。

证明：对方程组(1.1)的第一个方程两端同时作用 $-\Delta u$，由分部积分和方程中的不可压条件，就有

$\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\left(\nu +\chi \right){\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2={\displaystyle {\int }_{R^3}u\cdot \nabla u\cdot \Delta u\text{d}x}-2\chi {\displaystyle {\int }_{R^3}curlw}\cdot \Delta u\text{d}x,$ (4.1)

对方程组(1.1)的第二个方程两端同时作用 $-\Delta w$，由分部积分，就有

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2+\mu {\Vert \Delta w\Vert }_{L^2}^2+\kappa {\Vert \nabla divw\Vert }_{L^2}^2\\ \le {\displaystyle {\int }_{R^3}u\cdot \nabla w\cdot \Delta w\text{d}x}-2\chi {\displaystyle {\int }_{R^3}curlu\cdot \Delta w\text{d}x}-4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (4.2)

将(4.1)，(4.2)相加，就得到如下不等式

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)+\left(\nu +\chi \right){\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+\mu {\Vert \Delta w\Vert }_{L^2}^2+\kappa {\Vert \nabla divw\Vert }_{L^2}^2\\ \le {\displaystyle {\int }_{R^3}u\cdot \nabla u\cdot \Delta u\text{d}x}-2\chi {\displaystyle {\int }_{R^3}curlw\cdot \Delta u\text{d}x}-4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2+{\displaystyle {\int }_{R^3}u\cdot \nabla w\cdot \Delta w\text{d}x}-2\chi {\displaystyle {\int }_{R^3}curlu\cdot \Delta w\text{d}x}\\ =I_1+I_2+I_3+I_4+I_5.\end{array}$ (4.3)

接下来，我们将会估计(4.3)的右边各项。

由Holder不等式，Young不等式和插值定理 ${\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^{\frac{\gamma }{2}}}\le {\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{1-\frac{\gamma }{2}}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{\frac{\gamma }{2}}$ (其中 $0<\gamma <2$ )，以及不等式

(3.2)，我们可以得到以下估计

$\begin{array}{c}{I}_1={\displaystyle {\int }_{R^3}u\cdot \nabla u\cdot \Delta u\text{d}x}\\ =-{\displaystyle {\int }_{R^3}\left(\nabla u:\nabla u\right)\cdot \nabla u\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{R^3}\left(u\cdot \nabla \nabla u\right)\cdot \nabla u\text{d}x}\\ =-{\displaystyle {\int }_{R^3}\left(\nabla u:\nabla u\right)\cdot \nabla u\text{d}x}\\ \le {\Vert \nabla u\Vert }_{L^3}^3\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^{\frac{\gamma }{2}}}^2\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^{2-\gamma }{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^{\gamma }\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+\frac{\upsilon }{2}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)+\frac{\upsilon }{2}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (4.4)

类似地，我们可以得到

$\begin{array}{c}{I}_4={\displaystyle {\int }_{R^3}u\cdot \nabla w\cdot \Delta w\text{d}x}\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla w\Vert }_{L^4}^2\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{H}}^1}\\ \le C{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2+\frac{\mu }{2}{\Vert \Delta w\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\frac{{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)+\frac{\mu }{2}{\Vert \Delta w\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (4.5)

和

$\begin{array}{c}{I}_2+I_3+I_5=-2\chi {\displaystyle {\int }_{R^3}curlw\cdot \Delta u\text{d}x}-2\chi {\displaystyle {\int }_{R^3}curlu\cdot \Delta w\text{d}x}-4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\\ =-4\chi {\displaystyle {\int }_{R^3}curlw\cdot \Delta u\text{d}x}-4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\\ \le 4\chi \left|{\displaystyle {\int }_{R^3}curlw\cdot \Delta u\text{d}x}\right|-4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\\ \le 4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}{\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}-4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\\ \le 4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2+\chi {\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2-4\chi {\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\\ \le \chi {\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2.\end{array}$ (4.6)

将(4.4)，(4.5)，(4.6)代入(4.3)，就有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)+\upsilon {\Vert \Delta u\Vert }_{L^2}^2+\mu {\Vert \Delta w\Vert }_{L^2}^2+2\kappa {\Vert \nabla divw\Vert }_{L^2}^2\\ \le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)\\ +C\frac{{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)\right)\\ \le C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}+{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\left({\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)\right).\end{array}$ (4.7)

然后，利用Gronwall不等式，我们就能得到

${\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\le \left({\Vert \nabla u_0\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w_0\Vert }_{L^2}^2\right)\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^T\left[C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}+{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)\right)\right]}\right\}\text{d}t.$ (4.8)

接下来，我们来估计 $\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)$，由以上不等式可得到

$\begin{array}{l}\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)\\ \le \ln \left(e+{\Vert \nabla u_0\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w_0\Vert }_{L^2}^2\right)+{\displaystyle {\int }_0^T\left[C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}+{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\left(1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)\right)\right]}.\end{array}$ (4.9)

再次用Gronwall不等式，有

$\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right)\le C\left(u_0,w_0\right)\exp \left\{{\displaystyle {\int }_0^T\left[C\frac{{\Vert \nabla u\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-\gamma }}^{\frac{2}{2-\gamma }}+{\Vert \nabla w\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{B}}_{\infty ,\infty }^{-1}}^2}{1+\ln \left(e+{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2\right)}\right]\text{d}t}\right\}.$ (4.10)

我们得出结论

$\text{ess}{\sup }_{0<t<T}\left\{{\Vert \nabla u\Vert }_{L^2}^2+{\Vert \nabla w\Vert }_{L^2}^2\right\}<\infty .$

定理2.1得证。