小概率事件的教学研究

Teaching Research on Rare Events

摘要: 本文通过介绍同学们学习和生活中遇到或了解到的意外性事件，激发大家的好奇心和探索知识以及解决问题的欲望。借助Chebyshev不等式和弱大数定律揭示小概率现象背后所隐藏的统计规律性，让同学们从科学理论的角度意识到世间万事万物皆充满变数，要以积极健康的心态去面对学习中突如其来的打击，从而在教学过程中达到融入课程思政元素的目标。

Abstract: This paper introduces the unexpected events that students encounter or understand in their study and life to stimulate their curiosity and desire to explore knowledge and solve problems. With the help of Chebyshev’s inequality and weak law of large numbers, this paper reveals the statistical regularity hidden behind the phenomenon of rare events and makes students realize that everything in the world is full of variables from the perspective of scientific theory. They should face the sudden attack in learning with a positive and healthy attitude, to achieve the goal of integrating the elements of Ideological and political education in the teaching process.

1. 引言

十九世纪德国哲学家Friedrich Engels指出“在表面偶然性起作用的地方，这种偶然性始终是受内部隐藏的规律支配的，而我们的问题只是在于发现这些规律”。法国数学家Pierre-Simon Laplace也曾说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题”。小概率事件理论不仅是大学数学专业、统计专业以及金融和经济等专业《概率论》课程的教学内容组成部分之一，也与我们的日常生活息息相关 [1] - [7]，广泛存在于工程、金融、经济、医学、教育教学等各行各业 [8] [9] [10] [11] [12]。譬如，下面日常生活中常见的意外性事件：

1) 2019年，距今已有850多年历史的世界著名建筑——法国巴黎圣母院的顶部塔楼发生火灾。这座经历了战争年代洗礼的艺术品，却令人惋惜地毁在了和平年代，虽然这事件发生的次数或者频率极小，但它在历史的长河中还是发生了。

2) 天气预报说：“降水概率是0，但是下雨了”；首先可以肯定的是这样的事件也是偶然的，很不常见的，发生的频率也是极低的，不然天气预报存在的价值会大打折扣。

3) 1912年，被称为“永不沉没的梦幻客轮”泰塔尼克号在初次航行的第四个夜晚撞上了冰山而沉没；2018年，川航机长刘传健万米高空“史诗迫降”；这些令人乍舌的几乎不可能的事件却确确实实发生了。

4) ……。

由此可见，小概率事件的发生均带有意外性，发生的频次极其罕见，但它发生时往往会对我们的生活产生重大影响。比如，美国著名安全工程师Herbert William Heinrich通过分析工伤事故的发生概率，为保险公司的经营提出过Heinrich法则，或称1:29:300法则，即在1件重大的事故背后除了有29件轻度的事故，还有300件潜在的隐患的事故。

2. 小概率事件

2.1. 小概率事件的含义

顾名思义小概率事件就是指概率非常小的事件，它同时又具有另外一个别称——“黑天鹅”事件，即指虽然根据以往相关的信息表明该事件具有发生的可能性，但是其实际发生的可能性微乎其微，甚至可以忽略不计，但是又不是绝对不发生的事件。在数学领域，我们通常将小概率事件概括为发生的可能性非常接近于0的事件。

2.2. 小概率事件的原理

本节主要通过引入Chebyshev不等式和Bernoulli大数定律，从本质上帮助同学们理解小概率事件发生的原理。

2.2.1. Chebyshev不等式

设随机变量X的数学期望 $E\left(X\right)$ 和方差 $Var\left(X\right)$ 均存在，则对任意的 $\epsilon >0$，有

$P\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{Var\left(X\right)}{{\epsilon }^2},$

或

$P\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|<\epsilon \right\}\ge 1-\frac{Var\left(X\right)}{{\epsilon }^2}.$

为了在教学过程中激发同学们的思维，这里我们给出两种不同的证明方法。

证明方法1：定义示性函数

$I_{\left\{X\in A\right\}}=\{\begin{array}{l}1,X\in A\\ 0,X\notin A\end{array}$

则有示性函数的数学期望等于它下标事件 $\left\{X\in A\right\}$ 发生的概率，即 $P\left\{X\in A\right\}$。这是因为

$E\left[I_{\left\{X\in A\right\}}\right]=1\cdot P\left\{X\in A\right\}+0\cdot P\left\{X\notin A\right\}=P\left\{X\in A\right\}.$

考虑随机变量X和其数学期望 $E\left(X\right)$ 之间出现大偏差事件 $\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}$，则

$\begin{array}{c}P\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}\cdot {\epsilon }^2=E\left[I_{\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}}\right]\cdot {\epsilon }^2=E\left[I_{\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}}\cdot {\epsilon }^2\right]\\ \le E\left[{\epsilon }^2\right]\le E\left[{\left(X-E\left(X\right)\right)}^2\right]=Var\left(X\right),\end{array}$

故 $P\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{Var\left(X\right)}{{\epsilon }^2}$，得证。

证明方法2：考虑随机变量X为连续型(离散型随机变量类似)，且其概率密度函数为 $p\left(x\right)$，则有

$\begin{array}{c}P\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}={\displaystyle \underset{\left\{x:\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}}{\int }p\left(x\right)\text{d}x}\\ \le {\displaystyle \underset{\left\{x:\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}}{\int }\frac{{\left(X-E\left(X\right)\right)}^2}{{\epsilon }^2}p\left(x\right)\text{d}x}\\ \le \frac{1}{{\epsilon }^2}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left(X-E\left(X\right)\right)}^{2}p\left(x\right)\text{d}x}\\ =\frac{Var\left(X\right)}{{\epsilon }^2},\end{array}$

即 $P\left\{\left|X-E\left(X\right)\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{Var\left(X\right)}{{\epsilon }^2}$，得证。

2.2.2. Bernoulli大数定律

在n次独立重复的试验中，假定事件A发生的概率为p，发生的次数为 $S_n$，则对任意正数 $\epsilon >0$，有

$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{S_n}{n}-p\right|\ge \epsilon \right\}=0,$

或

$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{S_n}{n}-p\right|<\epsilon \right\}=1.$

证明：由Chebyshev不等式，我们有

$P\left\{\left|\frac{S_n}{n}-E\left(\frac{S_n}{n}\right)\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{Var\left(\frac{S_n}{n}\right)}{{\epsilon }^2},$

即

$P\left\{\left|\frac{S_n}{n}-\frac{1}{n}\cdot E\left(S_n\right)\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{1}{n^2}\cdot \frac{Var\left(S_n\right)}{{\epsilon }^2}.$

又 $S_n~B\left(n,p\right)$，则 $E\left(S_n\right)=np$， $Var\left(S_n\right)=np\left(1-p\right)$，因此

$P\left\{\left|\frac{S_n}{n}-p\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{1}{n}\cdot \frac{p\left(1-p\right)}{{\epsilon }^2}.$

从而结合概率的非负性可知

$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{S_n}{n}-p\right|\ge \epsilon \right\}=0.$

得证。

根据Bernoulli大数定理，在经过大量重复试验后，事件出现的频率和发生的概率之间出现较大偏差的可能性近乎于0，也就是说事件出现的频率和发生的概率是基本相等的，无限接近的。如图1和表1所示，若独立重复的试验中某两种小概率事件在n次试验中的某一次发生的概率分别为 $p_1=0.01$ 和 $p_2=0.001$，取Bernoulli大数定理中 $\epsilon =0.01$，则小概率事件出现的频率和相应发生的概率出现较大偏差的可能性P均随着试验次数n的增加而急剧降低，而且概率p越小，出现较大偏差的可能性P随着试验次数n的增加而急剧降低的速率越快，并明显呈现出趋于0的趋势。根据日常生活中小概率事件发生是极其罕见的或者说其发生的频率是极低的这一事实，可知小概率事件发生的概率也是极低或极小的。这从侧面揭示了小概率事件发生的原理——即该类事件发生的可能性是非常非常小的，几乎不会发生，但不是绝对不发生。

(a) $p_1=0.01$ (b) $p_2=0.001$

Figure 1. The relationship between the number of trials n and the probability P, which P is the probability of a large deviation between the frequency of occurrence of a rare event and its probability

图1. 小概率事件出现的频率和发生的概率出现较大偏差的可能性P与试验次数n之间的关系

Table 1. The possibility of large deviations between the frequency and probability of rare events

表1. 小概率事件出现的频率和发生的概率出现较大偏差的可能性

3. 结论

小概率事件是指发生的可能性极小，但是也有可能发生的事件，所以概率为0的事件要么指不可能事件，要么指发生的可能性极小的事件，几乎不发生，但是又不是绝对不发生的事件。

通过日常生活中可能遇到的异常现象，让学生感受到小概率事件与现实生活之间的联系，同时结合小概率事件带来的影响：“不要心存侥幸，不怕一万就怕万一”，“常在河边走哪能不湿鞋”，“失之毫厘，差之千里”，“千里之堤，溃于蚁穴”，……，让学生体会量变到质变的过程，从而在教学过程中培养学生的辩证唯物观，增强学生的科学素养。

自然界就是这样，处处充满了随机事件，偶然的未必都是小概率事件，小概率事件却都是偶然的。但是，在历史的长河中：小概率事件必然发生！当然，这里我们强调“小概率事件必然发生”并非给同学们造成恐慌，让同学们整天患得患失，而是希望同学们在日常学习和生活中能够明白世间万事万物皆充满变数，俗话说“一切皆有可能”也是这个道理。我们的学习和生活，充满了坏事件和好事件，小概率的坏事件与小概率的好事件也都在伴随着我们成长，我们要注重未雨绸缪、防患于未然，用积极向上的心态去面对必然发生的好事件。

基金项目

国家自然科学基金项目(Nos. 12172322和11672259)、国家留学基金项目(No. 201908320086)和江苏高校品牌专业建设工程资助项目(No. PPZY2015B109)资助。