1. 引言
关于复对称型算子的研究,涉及到函数理论、矩阵分析等多个数学领域的知识,在过去几年里这个研究就引起了许多研究人员的注意。Garcia,Putinar and Wogen在文献 [1] [2] [3] 提出了复对称算子的一般研究。在文献 [4] [5] [6] [7] 中研究者探讨了解析函数空间中各种再生核希尔伯特空间上的加权复合算子的结构,使得加权复合算子关于共轭
是复对称的。Hai和Khoi在文献 [8] 中给出了关于
上的加权复合共轭
的描述,映射
由
定义,其中
是满足
,
,
的复数。最近有关学者在 [9] [10] 中进一步探讨了Fock空间上有界加权组合算子的复对称性。在 [11] 中,P. V. Hai研究了Fock空间无界加权复合算子的自伴的问题。在 [12] 中,Aastha Malhotra 和Anuradha Gupta研究了一维Fock空间整函数关于特定共轭的复对称性和自伴性,其中
。受到这些研究发展的激励,我们在本文中研究了n维
空间中整函数在
关于特定共轭
的复对称性和厄米特性,其中
。
2. 预备知识
2.1. 复对称算子
我们首先回顾一下一些基本的定义。在本文中,H是一个可分离的复希尔伯特空间,无界线性算子的域表示为
,当A,B是两个无界的线性算子,
表示在
上,B是A的扩展,或者说A是B的限制,也就是说,
,且当
时,
,如果
,
,则
。
定义2.1
一个反线性算子
如果同时是对合的和等距的,则C称为是共轭的。
定义2.2
令
是一个稠定义的闭算子,且是C是共轭的,则:
1) 如果
,则称T是C-对称的。
2) 如果
,则称T是C-自伴的。
在这两种情况下,算子T都是复对称的,即:
,
。容易看到,每个C-自伴算子都是C-对称算子,但逆并不总是正确的。
2.2.
空间
令
是n维复数空间,
表示
上的体积测度,如果
和
是
上的两点,则我们记:
,
。当
,
上所有使得
属于
的整函数构成的空间称为Fock空间。记为
。
当
时,记:
,
。
再生核函数
,
。
,
。
其中
是多重指标,
,
,
,
是非负整数,若
也为多重指标,
。
更多关于Fock空间的研究结果可参见文献 [13]。
2.3. 广义加权复合算子
定义2.3 假设
和
是
上的两个整函数,令
表示k阶微分算子,定义为:
。
定义2.4 加权复合算子
的定义:
,其中k是非负整数,
,
是乘法算子。
众所周知,所有的算子都可以由加权复合算子得到。当
,
,我们考虑
空间上标准的广义加权复合算子的表达式为以下形式:
,与表达式
相对应的
空间上。
定义2.5 极大广义加权复合算子定义为:
,这
,
被称为是最大的域。
定义2.6 当
时,
称为是无界的广义加权复合算子的定义:也就是说,
时,
且
。
3. 主要结果
的基本性质
命题3.1 令
是无界的广义加权复合算子,由整函数
和
生成。假设
是稠密定义的,则:(1)当
,可得
,且
,其中
表示
的伴随。
特别的,如果
,其中
是复常数,设,
,
是多元指标,则
(3.1)
证明:
1) 当
,
,我们可以得
因此我们可以得到
,其中
。
2) 假设
,
是多元指标且
命题3.2 极大广义加权复合算子
是闭算子。
证明:考虑域
的序列
,令
,使得在
中
,且
因为在
中范数收敛可以推出点收敛,所以我们
且
,
。因此我们有
,
。
于是可得:
,
,因为
,这推出
,
,所以
,
,因此可以得到算子
是闭算子。
命题3.3 集合
是
的稠密子空间。
命题3.4 令P是线性算子,
,
,其中
。则
,且算子
是稠密的当且仅当算子P是闭算子。
证明:对于任意的
,当
,我们计算
由Riesz lemma,我们计算得
当且仅当存在
,使得
或者当且仅当
(3.2)
因此我们可以推出
,所以
。
当
,
时,可得:
这就推出了我们的结论:
。
定理3.5 假设
和
是
上的两个整函数,令
是最大的广义加权算子。如果
,其中
,
,
,其中A,
,D是复常数。
证明:对任意的
,且
当
,
时,我们有:
(3.3)
两边对w做k次微分,得到的结果令
,则得:
(3.4)
令
,
,则
,把它们带回(3.3)式中可得:
其中
,A是复常数,因此
。在接下来的命题中,我们得到了算子
的明确的形式。
命题3.6 令
,
,
,
,其中
,且
是复常数,则下面的结论成立:
1)
。
2)
。
证明:对任意的
,我们有
(3.5)
其中
。如果整函数f以泰勒级数展开,
,f为k阶可导,令
是n维多重指标
,
,即
,令
直接计算有:
,且
,进一步,我们可以得到
则(3.5)可以推出
这就由2)推出了1)。
在接下来的定理中,我们找到了
空间上共轭
的清晰的表达式,此时
是仿射,
,
都是复常数。
定理3.7 令
是极大加权复合算子,其中
,
,
都是复常数,且
是复常数,则
,
是极大广义加权算子,且
,
。
证明:假设
,
,我们首先证明:
。
直接计算有:
两边对f做内积,可得
另一方面,通过伴随函数和核函数的定义,我们有:
这表明:
其中
,
。
因此我们可以得到
为了证明反向包含,只需要证明对于每个
,
有
(3.6)
对于每个
,
有
其中
令
,
(
是泰勒系数)
直接的计算展开有
其中
,
接下来,我们根据(3.6)来得到以下内容:
(3.7)
(3.8)
通过改变上式的变量:
,可得
(3.9)
如果令
,可得;
等价于
(3.10)
由3.9式和3.10式得:
因此我们可以得到:
。
4. 关于算子
的J自伴的主要结果
我们现在来证明关于算子
的J-自伴的主要结果,这结论在证明无界广义加权复合算子在
空间上J-自伴中有用到。
定理4.1 令
是广义加权复合算子,由整函数
和
生成,则下面这些结论成立。
1)
是J-自伴算子。
2)
算子是稠密的,且满足:
。
3)
有这样的形式:
,
,其中
是复常数
证明:
1)
2),直接由J的自伴性可得。
2)
3),由定理3.1可得。
3)
1),假设结论3) 是成立的,我们在前面的命题中已经证明了
是闭算子。
则我们可以称算子
是密集定义的。
直接的计算有:
可以推出:
对于每个
,
,由命题3.2和3.3可得:
因此我们可以得到算子
是J-自伴的。
定理4.2 对于
上的两个整函数
和
,令
是在
无界的广义加权复合算子,那么算子
是J-自伴的当且仅当
,且
,
(4.1)
其中
是复常数。
证明:我们在定理4.1中已经证明了,倘若极大广义加权复合算子的算符具有(4.1)的形式,则我们说它是J-自伴的。
反过来,如果我们假设
是J-自伴的,满足
,在
的条件下,我们有:
因为J是自合的,所以我们有
。
在定理3.1中我们可以看到,
,其中
。因此可以得到
,通过定理3.5,我们得到了(4.1)的形式,定理4.1推出了算子
是J-自伴的。更多的,
因此,
。
5. Hermiticity
本节主要讨论了算子
的算符的结构使得
在n维Fock空间上具有厄米特性。
定理5.1
是由整函数
和
生成的极大广义加权算子,如果算子对于每个
,都满足:
,则
,
,其中
是实常数。
证明:假设对所有的
,有
(5.1)
可以推出:
(5.2)
当k = 0时,前人在 [8] 中已经得到了证明,接下来我们主要证明
的情况。对(5.2)式对z做k次微分,并令
,我们可得:
(5.3)
再一次对4.3式关于对w得k次微分,并令
,可得:
,
。
因此,
,其中
,
,
,用这个表达式代替(4.2)中的
,我们可得,
,
,因此,
,其中
,可以得到,
。
定理5.2
令
是由整函数
和
生成的极大广义加权复合算子,则以下结论成立:
1)
是厄米特算子。
2)
是稠密定义的算子,且满足:
。
3) 符号
和
的形式为,
,
,其中
,且
都是实数。
证明:由定理4.1我们可以得到1)
2)和2)
3),接下来证明3)
1),若3)成立,且由前面结果可得,
是闭算子,并且是稠密定义的,则根据3.3我们可知,
是厄米特算子。
定理5.3 设
,
的两个整函数,极大广义加权复合算子
是厄米特算子当且仅当
,并且
,
,其中
,且
都是实数。
证明:由定理5.2可以很容易证出问题的充分性,反之,如果解设
是厄米特算子,由于
,我们可以得到,
,因此,
,
,定理5.1给出了算符是(5.4)的形式,我们有
是厄米特算子。因为
,我们可以得到,
。因此定理的结论都是成立的。
下面的推论断言了一个非常有趣的事实,即一类复对称型的广义加权复合算子包含适当的厄米特广
义加权复合算子。如果在定理4.2中令
,这就能很容易得到这个结论。
推论5.4 如果无界的广义加权复合算子
是厄米特算子,其中
和
是
上的整函数,则
是J-自伴的。
基金项目
国家自然科学基金(11671152)。