1. 引言
本文中,研究如下一类非线性分数阶微分方程耦合系统:
(1.0)
其中,
是Caputo分数阶导数,
和
是两个实数,
,
,
。
分数阶微分方程模型在很多学科领域都有广泛的应用,例如信号控制和处理、高分子材料解链、自动控制系统理论、生物医学等 [1] [2] [3] [4] [5] 都可以应用微分方程模型来描述。因此,在分数阶微分方程研究领域,解的存在性是一个非常重要的课题。分数阶微分方程耦合系统的研究在应用性质的各种问题 [6] [7] [8] 中也很重要。受上述应用及许多结果 [9] - [18] 的启发,本文考虑完全非线性微分方程耦合系统,且运用Radu Precup研究出的最新的不动点理论,Krasnoselskii锥不动点定理,来研究此算子方程组正解的存在性、局限性和多重性。
另外,我们列出以下条件:
(H1)
且为非负;
(H2)
,
,
。
文章余下内容框架如下:第二部分,给出本文所需的定义,基本定理和符号;第三部分通过构建一个新的锥,运用Krasnoselskii锥不动点定理,求得算子的不动点,进而得到系统正解的存在性,并拓展得到正解的局限性和多重性。
2. 预备知识
定义2.1 函数
的
阶Riemann-Liouville分数阶积分定义如下,
其中
,
,是Gamma函数。
定义2.2 函数
的
阶Caputo分数阶导数定义如下,
其中
,
,
表示不大于
的最大整数。
通过定义2.1和定义2.2可知,
。
令
是一个实Banach空间,其中定义的范数为
,
,令
是
中所有非负函数组成的锥。
定理2.1 [19] 令
是一个赋范线性空间,
,
是
中的两个锥,
;对于
,
,
,定义
,令
,
为一个紧映射。假设对于
,
满足下列条件之一:
a) 若
,则
,且若
,则
;
b) 若
,则
,且若
,则
;
那么
有一个不动点使得
且
,
。
推论2.1 [19] 在定理2.1的假设下,
有四种可能情况:
1) 若
,则
;若
,则
;
若
,则
;若
,则
;
2) 若
,则
;若
,则
;
若
,则
;若
,则
;
3) 若
,则
;若
,则
;
若
,则
;若
,则
;
4) 若
,则
;若
,则
;
若
,则
;若
,则
。
引理2.1 假设条件(H1),(H2)成立,那么
是系统(1.0)的解,当且仅当
,
,为下述积分方程的解:
;
其中:
.
证明:假设
是(1.0)的解,则
.
由定义式,得到
.
由
,可得
,
由
,可得
,
因此
进而,得到
其中
推论2.2 对于任意
,
,
满足以下结论 [20]:
i)
,
;
ii) 对于任意
,
;
iii)
。
3. 主要结论
令
是
中所有非负函数组成的锥 [21] [22],根据(H1)和引理1.3,令
,
,
,则有
,
,
。
若
,
,且
,
,那么对于任意
,有:
因此,在
中定义锥
(
):
,
。那么,在
中则有对应的锥
。
考虑算子
,其中
,其中
是一个全连续算子 [20]。
引理3.1 若
,则
为分数阶微分方程系统(1.0)在
中的解,当且仅当
,
为
在
中的不动点。
对于
,为了方便,记
,
,
,且
,
,
,
,
,
.
定理3.1 若存在
,
,
,使得:
,
或
,
,那么系统(1.0)至少存在一个正解
,且
,
,其中
,
,且对于
,
的轨迹是包含在一个矩阵域
中。
证明:首先若
,且
,
,那么根据锥
的定义,对于任意
,有
;
同样若
,则有
,且对于任意
,
,
;
下证明对于任意
,
,满足定理2.1的条件,即:
若
,则有
; (2.1)
若
,则有
; (2.2)
假设若
,则存在
,那么,对于任意
有:
这就产生矛盾
。
假设若
,则存在
,那么,对于任意
有:
这就产生矛盾
。
因此,(2.1)和(2.2)在
时成立,同理,
时也成立。
根据定理1.1可知,算子
至少存在一个不动点
,即系统(1.0)至少存在一个正解
。
推论3.1 注意在条件(2.0)中表明函数
在
的某区域内,是为了证明正解的存在性和局限性。
定理3.2 假设存在一个自然数
,
,且
,
,
,使得对于
,有:
其中,
,
,
,
,
,
,
,
那么,系统(1.0)至少存在
个不同的正解
且
,
,
。
证明:应用定理2.2,对于任意
,存在一个正解
满足:
,
;
根据(2.2),可知对于任意
,有:
,对于
或
都成立;
综上所得,系统(1.0)存在
个不同的解
,
。
推论3.2 特殊地,若
,
关于
是独立的,则
、
和
、
关于
、
具有单调性质,其中
、
,那么可以明确值
、
、
和
。举例:
1) 若
和
关于
和
是单调递减的,则:
;
.
2) 若
关于
是单调递减的,关于
是单调递增,
关于
是单调递增的,关于
是单调递减的,则:
;
.
3) 若
,
关于
是单调递增的,关于
是单调递减的,则:
;
.