广义酉除数和函数在函数域上的均值

The Average Value of Generalized Unitary Divisor Sum Function in Function Fields

摘要: 对任意正整数n，若d|n且(d,n/d)=1，就称d是n的酉除数。本文考虑了函数域上的广义酉除数和函数 的均值，得到其渐近公式。

Abstract: For any positive integer n, we say d is a unitary divisor of n, if d|n and (d,n/d)=1. In this paper, we consider the average value of the generalized unitary divisor sum function in function fields, and obtain its asymptotic formula.

1. 引言

对任意正整数 $n$，若 $d|n$ 且 $\left(d,n/d\right)=1$，我们就称 $d$ 是 $n$ 的酉除数(unitary divisor)，其基本性质可见 [1]。用 ${\sigma }^{\ast }\left(n\right)$ 表示 $n$ 的所有酉除数的和，即：

${\sigma }^{\ast }\left(n\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}d|n\\ \left(d,n/d\right)=1\end{array}}{\sum }d}.$

函数 ${\sigma }^{\ast }\left(n\right)$ 是可乘的，对任意的正整数 $n$，有：

${\sigma }^{\ast }\left(n\right)={\displaystyle \underset{p^{\alpha }\left|\right|n}{\prod }\left(1+p^{\alpha }\right)}$， $p$ 为素数。

1977年，A. Ivic [2] 证明当 $n\ge 31$ 时，有：

${\sigma }^{\ast }(n)\le \frac{28}{15}n\log \log n.$

2008年，A. Derbal [3] 证明当 $n>17$ 时，

$\frac{\sigma \left(n\right)}{{\sigma }^{\ast }\left(n\right)\left(\log \log n\right)}<e^{\gamma }$，其中 $\gamma$ 为Euler常数。

2013年，T. Trudgian [4] 改进A. Ivic [2] 的结果，证明当 $n\ge 570571$ 时，有：

${\sigma }^{\ast }\left(n\right)\le 1.3007n\log \log n.$

E. Cohen [5] 和P. J. McCarthy [6] 分别给出酉除数和函数 ${\sigma }^{\ast }\left(n\right)$ 在长区间的渐近公式：

${\displaystyle \underset{n\le x}{\sum }{\sigma }^{\ast }}\left(n\right)=\frac{{\pi }^2{x}^2}{12\zeta \left(3\right)}+O\left(x{\left(\log x\right)}^{5/3}\right).$

K. Nageswara在 [7] 中定义有理数域上的广义除数和函数：

${\sigma }_k^{\ast }\left(n\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}d|n\\ \left(d,n/d\right)=1\end{array}}{\sum }{d}^k}$， $k$ 是非负整数；

并证明如下卷积形式：

${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}d|n\\ \left(d,n/d\right)=1\end{array}}{\sum }{\Phi }_k^{\ast }}\left(\frac{n}{d}\right){\tau }^{\ast }\left(d\right)={\sigma }_k^{\ast }\left(n\right).$

本文研究函数域 $F_q\left(T\right)$ 上的广义酉除数和函数，令 $M$ 为 $F_q\left[T\right]$ 上的所有首一多项式构成的集合，定义：

${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}g|f\\ \left(g,f/g\right)=1\end{array}}{\sum }{\Vert g\Vert }^k},$

其中， $f,g\in M$， $k$ 是非负整数。函数 ${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)$ 在 $M$ 上是可乘的，对 $M$ 上的任意一个多项式 $f$，有：

${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)={\displaystyle \underset{P^{\alpha }\left|\right|f}{\prod }\left(1+{\Vert P\Vert }^{\alpha k}\right)}$

其中 $P$ 为 $M$ 上的不可约多项式。

本文计算 ${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)$ 的均值，结果如下：

定理1.1 在函数域 $F_q\left(T\right)$ 中， $k$ 是非负整数，对任意的 $0<\epsilon <1/4$ 和给定的正整数 $n$， $M_n$ 是 $M$ 中所有次数为 $n$ 的多项式构成的集合，有：

$\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)=\{\begin{array}{ll}{q}^{nk}+O_{\epsilon }\left(q^{nk-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right),\hfill & 如果k\ge 1\hfill \\ n+1+O_{\epsilon }\left(\left(n+1\right)q^{-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right),\hfill & 如果k=0\hfill \end{array}$

符号

$A=F_q\left[T\right]$ ：有限域 $F_q$ 上的多项式环，其中 $q=p^t$， $p$ 为素数， $t$ 为正整数。

$M:A$ 中所有首一多项式的集合。

$M_n:M$ 中所有次数为 $n$ 的多项式构成的集合。

$\Vert g\Vert =q^{degg}$。

$\mathrm{Re}\left(s\right)$ ：复数 $s$ 的实部。

${\zeta }_A\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{1}{{\Vert f\Vert }^s}}$， $\mathrm{Re}\left(s\right)>1$。

$\zeta \left(s\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{n^s}}$， $\mathrm{Re}\left(s\right)>1$。

2. 预备知识和引理

下文中的出现的 $q$ 与 $F_q\left[T\right]$ 中的 $q$ 一致： $q=p^t$， $p$ 为素数， $t$ 为正整数； $k$ 与 ${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)$ 中的 $k$ 一致，是非负整数。

2.1. 函数域上的zeta函数 ${\zeta }_A\left(s\right)$ 和函数 ${\sigma }_k^{\ast }(\; f\; )$

由文献 [8]，给出函数域 $F_q\left(T\right)$ 上的zeta函数：

${\zeta }_A\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{1}{{\Vert f\Vert }^s}},\mathrm{Re}\left(s\right)>1.$

有以下引理：

引理2.1.1 当 $\mathrm{Re}\left(s\right)>1$ 时，有 ${\zeta }_A\left(s\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M\\ P不可约\end{array}}{\prod }{\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^s}\right)}^{-1}}=\frac{1}{1-q^{1-s}}.$

其中 ${\zeta }_A\left(s\right)=\frac{1}{1-q^{1-s}}$ 是函数 ${\zeta }_A\left(s\right)$ 在复平面除 $s=1$ 点外的解析延拓。

关于函数域 $F_q\left(T\right)$ 上的广义酉除数和函数 ${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)$，对任意 $M$ 上的不可约多项式 $P$ 及非负整数 $\alpha$，有 ${\sigma }_k^{\ast }\left(P^{\alpha }\right)=1+{\Vert P\Vert }^{\alpha k}$，且有以下引理：

引理2.1.2 函数 ${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)$ 在 $M$ 上是可乘的，即若 $f,g\in M$， $\left(f,g\right)=1$，有 ${\sigma }_k^{\ast }\left(fg\right)={\sigma }_k^{\ast }\left(f\right){\sigma }_k^{\ast }\left(g\right)$。

证明：对任意两个不相等的 $M$ 中的不可约多项式 $P_1,P_2$，有：

${\sigma }_k^{\ast }\left(P_1^{{\alpha }_1}\right)=1+{\Vert P_1\Vert }^{{\alpha }_{1}k}$， ${\alpha }_1$ 是非负整数。

${\sigma }_k^{\ast }\left(P_2^{{\alpha }_2}\right)=1+{\Vert P_2\Vert }^{{\alpha }_{2}k}$， ${\alpha }_2$ 是非负整数。

${\sigma }_k^{\ast }\left(P_1^{{\alpha }_1}{P}_2^{{\alpha }_2}\right)=1+{\Vert P_1\Vert }^{{\alpha }_{1}k}+{\Vert P_2\Vert }^{{\alpha }_{2}k}+{\Vert P_1\Vert }^{{\alpha }_{1}k}{\Vert P_2\Vert }^{{\alpha }_{2}k}={\sigma }_k^{\ast }\left(P_1^{{\alpha }_1}\right){\sigma }_k^{\ast }\left(P_2^{{\alpha }_2}\right).$

由此可知，引理成立。

2.2. 其他所需引理

令

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-k}}\right)},\text{Re}\left(s\right)>\frac{k+1}{2}.$

其中 $k$ 是非负整数，我们可以得到以下引理：

引理2.2.1 对任意的 $\epsilon >0$，当 $\text{Re}\left(s\right)\ge \frac{k+1}{2}+\epsilon$ 时，存在与 $\epsilon$ 有关的常数 $C\left(\epsilon \right)>0$，使得 $\left|G\left(s\right)\right|\le C\left(\epsilon \right)$。

证明：对 $G\left(s\right)$ 取模，有：

$\left|G\left(s\right)\right|\le {\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1+\left|\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-k}}\right|\right)}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M_n\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1+\left|\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-k}}\right|\right)}}.$

由于 $\mathrm{Re}\left(s\right)\ge \frac{k+1}{2}+\epsilon$，

$\left|G\left(s\right)\right|\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M_n\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1+\left|\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{1+2\epsilon }}\right|\right)}}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}{\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M_n\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1+\frac{1}{q^{n(1+2\epsilon )}}\right)}}.$

令 $a_n$ 是 $M_n$ 中不可约多项式的个数，有：

$\left|G\left(s\right)\right|\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}{\left(1+\frac{1}{q^{n(1+2\epsilon )}}\right)}^{a_n}}.$

由文献 [8] 的定理2.2，知存在常数 $c>0$，使得 $a_n\le c\frac{q^n}{n}$，则：

$\left|G\left(s\right)\right|\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}{\left(1+\frac{1}{q^{n(1+2\epsilon )}}\right)}^{c\frac{q^n}{n}}}.$

对 ${\left(1+\frac{1}{q^{n(1+2\epsilon )}}\right)}^{c\frac{q^n}{n}}$ 关于 $\frac{1}{q^{n(1+2\epsilon )}}$ 做Taylor展开，有：

${\left(1+\frac{1}{q^{n(1+2\epsilon )}}\right)}^{c\frac{q^n}{n}}=1+\frac{c}{n{q}^{2n\epsilon }}+O\left(\frac{1}{q^{2n(1+2\epsilon )}}\right)$

因此，

$\left|G\left(s\right)\right|\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}\left(1+\frac{c}{n{q}^{2n\epsilon }}+O\left(\frac{1}{q^{2n(1+2\epsilon )}}\right)\right)}={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}\left(1+O\left(\frac{1}{n{q}^{2n\epsilon }}\right)\right)}.$

由

${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\left(\frac{1}{n{q}^{2n\epsilon }}\right)}\le {\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\left(\frac{1}{q^{2n\epsilon }}\right)}=\frac{1}{q^{2\epsilon }-1}$

知 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\sum }}\left(\frac{1}{n{q}^{2n\epsilon }}\right)}$ 是绝对收敛的。因此 ${\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}\left(1+O\left(\frac{1}{n{q}^{2n\epsilon }}\right)\right)}$ 是收敛的。(参考文献 [9]，第二章，定理1)

令

$C\left(\epsilon \right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{+\infty }{\prod }}\left(1+O\left(\frac{1}{n{q}^{2n\epsilon }}\right)\right)}$ (2.1)

有 $\left|G\left(s\right)\right|\le C\left(\epsilon \right)$。引理得证。

由 $\left|G\left(s\right)\right|$ 在 $\mathrm{Re}\left(s\right)>\frac{k+1}{2}$ 时收敛，可将 $G\left(s\right)$ 写成：

$G\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{h\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in M_l}{\sum }h}}\left(f\right)q^{-ls},$

其中 $h\left(f\right)$ 是 $M$ 上的可乘函数。取 $u=q^{-s}$，令：

$h_l={\displaystyle \underset{f\in M_l}{\sum }h}\left(f\right)$ (2.2)

可得：

$G\left(s\right)=\tilde{G}\left(u\right)={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{h}_l}{u}^l$ (2.3)

其中 $\left|u\right|<q^{-\frac{k+1}{2}}$。

关于 $h_l$ 有下面引理：

引理2.2.2 取 $0<\epsilon <\frac{1}{4}$， $C\left(\epsilon \right)$ 和 $h_l$ 别由式(2.1)、式(2.2)给出，有：

$\left|h_l\right|\le C\left(\epsilon \right)q^{l\left(\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}$.

证明：取围道 $\Gamma$ ： $\left|u\right|=q^{-\left(\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}$。

由Laurent定理( [10] )，有：

$h_l=\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\frac{\tilde{G}\left(u\right)}{u^{l+1}}\text{d}u}.$

因此，由引理2.2.1有：

$\left|h_l\right|\le \frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\oint }_{\Gamma }\frac{\left|\tilde{G}\left(u\right)\right|}{\left|u^{l+1}\right|}}\left|\text{d}u\right|\le \frac{1}{2\pi }C\left(\epsilon \right)q^{\left(l+1\right)\left(\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}2\pi q^{-\left(\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}=C\left(\epsilon \right)q^{l\left(\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}.$

引理得证。

引理2.2.3 取 $0<\epsilon <\frac{1}{4}$， $h_l$ 由式(2.2)给出，对任意的非负整数 $t$ 、 $k$，有：

${\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}=1+O_{\epsilon }\left(q^{-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right).$

证明：由 $h\left(f\right)$ 是 $M$ 上的可乘函数，知 $h_0=h\left(1\right)=1$。因此，

${\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}=1+{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}$. (2.4)

下面估计 ${\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}$，由引理2.2.2有：

$\left|{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}\right|\le {\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{\left|h_l\right|}{q^{l(k+1)}}}\le C\left(\epsilon \right){\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}{q}^{l\left(-\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}}.$

因此，

$\left|{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}\right|\le C\left(\epsilon \right)q^{\left(-\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t-1}{\sum }}{q}^{l\left(-\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}}.$

由 $0<\epsilon <\frac{1}{4}$，知：

${\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t-1}{\sum }}{q}^{l\left(-\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}}\le {\displaystyle \underset{l=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{q}^{l\left(-\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}}=\frac{1}{1-q^{\left(-\frac{k+1}{2}+\epsilon \right)}}\le \frac{1}{1-2^{-\frac{1}{4}}}$

由此可得：

${\displaystyle \underset{l=1}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}=O_{\epsilon }\left(q^{-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right).$

再由式(2.4)，引理得证。

3. 定理1.1的证明

广义酉除数和函数 ${\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)$ 在函数域 $F_q\left(T\right)$ 上的Dirichlet级数如下：

$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{f\in M}{\sum }\frac{{\sigma }_k^{\ast }\left(f\right)}{{\Vert f\Vert }^s}}={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}}\left(f\right)q^{-ns}$ (3.1)

由引理2.1.2知可对 $F\left(s\right)$ 做Euler乘积，即：

$\begin{array}{c}F\left(s\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1+\frac{{\sigma }_k^{\ast }\left(P\right)}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{{\sigma }_k^{\ast }\left(P^2\right)}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\cdots \right)}\\ ={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1+\frac{1+{\Vert P\Vert }^k}{{\Vert P\Vert }^s}+\frac{1+{\Vert P\Vert }^{2k}}{{\Vert P\Vert }^{2s}}+\cdots \right)}.\end{array}$

再由引理2.1.1，有：

${\zeta }_A^{-1}\left(s\right){\zeta }_A^{-1}\left(s-k\right)F\left(s\right)={\displaystyle \underset{\begin{array}{c}P\in M\\ P不可约\end{array}}{\prod }\left(1-\frac{1}{{\Vert P\Vert }^{2s-k}}\right)}=G\left(s\right).$

即：

$F\left(s\right)={\zeta }_A\left(s\right){\zeta }_A\left(s-k\right)G\left(s\right).$ (3.2)

由引理2.1.1，知：

${\zeta }_A\left(s\right)=\frac{1}{1-q^{1-s}}$ 和 ${\zeta }_A\left(s-k\right)=\frac{1}{1-q^{1+k-s}}$

对其做Taylor展开，并取 $u=q^{-s}$，有：

${\zeta }_A\left(s\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{q}^m}{u}^m$ 和 ${\zeta }_A\left(s-k\right)={\displaystyle \underset{h=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{q}^{h(k+1)}}{u}^h$

将此及式(2.3)代入式(3.2)，有：

$F\left(s\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{q}^m}{u}^m{\displaystyle \underset{h=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{q}^{h(k+1)}}{u}^h{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{h}_l}{u}^l.$ (3.3)

下面分两步计算 ${\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)$ ：

第一步：令

${\displaystyle \underset{t=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{T}_t}{u}^t={\zeta }_A\left(s-k\right)G\left(s\right)={\displaystyle \underset{h=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{q}^{h(k+1)}}{u}^h{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{+\infty }{\sum }}{h}_l}{u}^l.$

则：

$T_t={\displaystyle \underset{h+l=t}{\sum }{q}^{h(k+1)}}{h}_l=q^{t(k+1)}{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{t}{\sum }}\frac{h_l}{q^{l(k+1)}}}.$

由引理2.2.3，可得：

$T_t=q^{t(k+1)}+O_{\epsilon }\left(q^{t(k+1)-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right).$

第二步，计算均值：

比较式(3.1)和式(3.3)的系数，可得：

$\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)=\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{m+t=n}{\sum }{q}^m}{T}_t={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{T_t}{q^t}}.$

由第一步结果可知：

${\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}\frac{T_t}{q^t}}={\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}{q}^{tk}}+O_{\epsilon }\left({\displaystyle \underset{t=0}{\overset{n}{\sum }}{q}^{tk-\frac{k+1}{2}+\epsilon }}\right).$

当 $k=0$ 时，

$\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)=n+1+O_{\epsilon }\left(\left(n+1\right)q^{-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right).$

当 $k\ge 1$ 时，

$\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)=\frac{q^{(n+1)k}-1}{q^k-1}+O_{\epsilon }\left(q^{-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\frac{q^{(n+1)k}-1}{q^k-1}\right).$

又

$\frac{q^{(n+1)k}-1}{q^k-1}=\frac{q^k}{q^k-1}{q}^{nk}-\frac{1}{q^k-1},$

且 $1<\frac{q^k}{q^k-1}<2$，因此，

$\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)=\frac{q^k}{q^k-1}{q}^{nk}+O_{\epsilon }\left(q^{nk-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right).$

对 $\frac{1}{1-q^{-k}}$ 作Taylor展开，有：

$\frac{1}{1-q^{-k}}=1+O\left(\frac{1}{q^k}\right).$

因此，

$\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)=q^{nk}+O\left(q^{nk-k}\right)+O_{\epsilon }\left(q^{nk-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right).$

又知 $\left(n-1\right)k\le nk-\frac{k+1}{2}+\epsilon$，

故：

$\frac{1}{q^n}{\displaystyle \underset{f\in M_n}{\sum }{\sigma }_k^{\ast }}\left(f\right)=q^{nk}+O_{\epsilon }\left(q^{nk-\frac{k+1}{2}+\epsilon }\right).$

定理得证。