1. 引言
高等数学是以函数为研究对象、以极限理论与极限方法为基本方法、以微积分学为主要内容的一门学科,而极限思想贯穿于高等数学始终,比如导数、微积分的概念、级数的敛散性等都要用到极限理论,其重要性及难易程度不言而喻,尤其所讨论的求极限这类问题一般来说都比较困难,没有统一的方法。现就求解极限的方法做一归纳,有助于初学者更好地应用。
2. 极限的若干方法
2.1. 利用极限的四则运算法则 [1] 求函数的极限
1) 直接利用四则运算性质求解
若
,则
①
②
③
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、差、积、商的极限。一般情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况对函数做某些恒等变形或者化简才可以解决,那么常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。
例1. 求
从初等函数的连续性出发,将1直接代入函数是有意义的,即可得到极限值。
解
总结:一些简单的函数可以通过其连续性,可以得到函数的极限值等于其函数值。
2) 因式分解消去零因子求极限
有些分式结构的函数,如果用直接代入法会出现分子或者分母为零的情形,使得原函数没有意义。
做法:将所给函数因式分解,分子分母约去零因子。
例2.
分析当
时,分子、分母的极限都为零,通过观察,分子、分母中含有公因子
。
解
3) 利用无穷大量与无穷小量的倒数关系求极限
例3.
分析 当
时,分母的极限是零,分子的极限是3。根据实际情况分母不能为零,所以利用无穷大量和无穷小量的倒数关系来确定其极限。
解 因为
所以
4) 有理根式的函数极限,通常采用分子、分母有理化的方法来求极限
分析 当
时,分子的极限为零,分母的极限是零。
做法:通常采用平方差的关系将某一部分根式去掉,然后再利用四则运算来求解。
例4.
解
5) 分子分母降幂法求极限
对于某些函数求极限时,我们可以通过对分子分母同时除以最高次幂来求极限。
例5. 求
该题中我们发现分子分母的最高次幂是
,所以同时分子分母同时除以
,然后求得极限,又注意到分子分母的后两项极限为零,最后直接得极限值。
解
归纳 [2]:当
,m和n为非负整数时,有
2.2. 利用无穷小求极限
利用无穷小求函数的极限一般有两种方法:一种是利用无穷小的性质,即有界函数与无穷小的积还是无穷小;另一种是利用等价无穷小替换的方法求极限,但应用该方法时,我们要注意只能对乘积和商进行替换,对和差不能替换,否则得到错解。
例6.
解 当
时,
,是无穷小;又当
时,
振荡无极限,但
,从而
,是有界函数,故根据无穷小的性质有
.
例7.
解 当
时,
,
,
,
,所以有
2.3. 利用两个准则 [3] 求极限
1) 单调有界准则
若数列单调递增有上界,或单调递减有下界,则数列必存在极限。
使用原则及步骤:
递推类的数列(即后一项是可以由前一项通过式子推出来的),一般包含两个步骤:
① 证明数列有界(数学归纳法),单调。
② 假设数列极限为A,通过递推式两端求极限建立关于A的方程,从而求出极限A。
例8. 证明数列
极限存在,并求出极限值。
解 记数列为
,则有
① 先证
有界,显然,
,设当
时,
,则当
时,
再证
单调。
所以
是单调递增数列。
由此可知,
单调递增有上界必存在极限。
② 设
,则
,所以
,解得
。
2) 两边夹准则
设在
的邻域内,恒有
,且
,则
[1]。
例9.
解
而
,
利用两边夹准则,可得
2.4. 利用两个重要极限 [4] 求极限
1)
,
(解决
型且含有三角函数的极限)
① 变形体
,
② 区别
例10.
(“凑”重要极限形式)
2)
,
(解决
型极限)
变形体
,
例11.
(“凑”重要极限形式)
2.5. 利用洛必达法则求极限
在无穷小(大)量阶的比较中,有可能会出现两个无穷小(大)量之比的极限,此时无法确定极限是否存在,所以此类问题需要用洛必达法则解决。在使用洛必达法则时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛必达法则就不能使用,如果要使用,我们要对不满足洛必达法则使用条件的不定式需先变形,再求解。
此法则是在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
未定式:
等形式。
1)
型
例12.
解
2)
型
例13.
解
3)
型
方法:通过化简,通分,根式有理化和变量替换等方法。转化为
或
型再计算。
例14. 求
注意:在使用L'Hospital法则之前,要解决“是不是”与“能不能”的问题,即是不是未定式,能不能直接使用,需满足三个条件:
a. 是不是
或
型;
b.
与
是不是可导;
c.
是不是一个确定的常数或
。
技巧及使用注意事项:
① 非未定式(即定式)的极限式不能使用法则,如:
② 使用L'Hospital法则求极限过程要及时化简,及时替换、及时变换、及时整理
③ 使用L'Hospital法则求导后出现极限不存在现象,如
不存在。
正解
④ 多次使用L'Hospital法则后出现循环现象,如:
4)
型(取倒数)
方法:
或
例15.
解
5)
型,可利用
转化为
型,再转化为
或
①
型(取对数,再取倒数)
例16.
解
②
型(取对数,再取倒数)
例17.
解
③
型(取对数,再取倒数)
例18.
解
2.6. 利用Taylor公式 [5] 求极限
注意:在应用公式求极限时,时常遇到的一个问题是:不知道将该函数展开到第几项,展开少了会导致计算错误,展开多了又计算麻烦,故总结如下:
1) 在除法运算中应该展开到第几项:
若
,则将
与
展开到同次幂,达到精度,否则会出现。如:
,由于分母是
,故将分子中的
应该展开到
项,即
。
所以,
。
若仅展开到x项,即
,则导致错误结果0。
2) 在加减运算中应该展开到第n项:
若
,则对其中的一项或n项展开时,应该展开到运算后的首个非零项。如:
,对
展开时,应该展开到
项,即
。所以,
若仅展开到x项,即
,则导致错误0。
例19.
解
,
故
。
3. 小结
以上求极限的几种方法互相之间有交叉,说明求极限需要灵活应用不同的方法,学会融会贯通。当然除了上面介绍的几种方法以外,还有很多其他方法。比如利用定积分的定义求极限,利用中值定理求极限等等。
NOTES
*通讯作者。