形式幂级数在复解析族形变中的应用

Formal Power Series Applied to Deformation of Complex Analytic Family

摘要: 本文主要研究紧复流形上的复解析族纤维的无穷小形变，讨论了当时复解析族的无穷小形变存在性定理。首先构造一个形式幂级数，然后应用Hölder范数与借鉴Liu-Rao-Yang关于整体典则族收敛的证明技巧证明泰勒展开式中系数的收敛性，克服了初等方法无法证明收敛性的障碍，最后给出了形变存在性定理的证明。

Abstract: In this paper, we study the infinitesimal deformations of complex analytic families of fibers on compact complex manifolds, and discuss the existence theorem of infinitesimal deformations of complex analytic families when . Firstly, a formal power series is constructed. Then, the convergence of the coefficients in Taylor’s expansion is proved by Hölder norm and Liu-Rao-Yang’s proof technique of global canonical family convergence, which overcomes the difficulty of proving the convergence by elementary methods. Finally, the deformation existence theorem is proved.

1. 引言

1888年，Max Noether [1] 首次提出代数曲面形变的概念。但奇怪的是，这之后接近100年的时间里，人们并不高度关注高维复流形的形变。直到在1957年，也就是黎曼回忆录出版的100年后，Frolicher与Nijenhuis [2] 用微分几何的方法研究了高维复流形的形变，并得到了一个重要的结果。受到此结果的鼓励与影响，Kodaira和Spencer [3] 基于最原始的想法考虑了紧复流形的形变理论。Kodaira在研究紧复流形 $M$ 的一些例子中发现了一种神秘的现象，即 $H^1\left(M,\Theta \right)$ 的维数与 $M$ 的定义中涉及到的有效参数的个数是一致的。为了解释这一有趣的现象，Kodaira和Spencer给出并证明了的紧复流形上的复解析族的存在性定理，该定理以椭圆偏微分算子为基础，形成了一个系统的理论。此后，Kuranishi [4] 将形变理论进一步推广得到Kuranishi映射，Deligne [5] 利用Kuranishi映射与数论的关系证明了Weil猜想。

为了证明形变存在性定理，如果采用基本的初等方法，则需要取一个半径为 $r>0$ 的多圆盘 $\Delta =\left\{t\in ℂ|\left|t\right|<r\right\}\subset B$，再构造一个复解析族 ${\mathcal{M}}_{\Delta }={\cup }_{j=1}^l{U}_j\times \Delta$ 满足 ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M={\cup }_j{U}_j\times 0$，只要找到 $\mathcal{M}$ 的定义函数 $f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 即可。但由于无法证明 $f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 满足收敛性，故无法完成证明。因此，本文首先构造一个满足可积条件与初始条件的形式幂级数，然后应用Hölder范数与借鉴Liu-Rao-Yang [6] 关于整体典则族收敛的证明技巧证明泰勒展开式中系数的收敛性，最后再证明形变存在性定理。

2. 相关知识

2.1. 复流形

定义2.1.1 [7] 设 $M$ 是一个Hausdorff拓扑空间。如果存在 $M$ 的一个开覆盖 $\left\{\left(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }\right)\right\}$ 且 ${\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }=M$ 以及相应的连续映射族 ${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {ℂ}^n$，使得

(i) ${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\phi }_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right)\subset {ℂ}^n$ 为从 $U_{\alpha }$ 到 ${ℂ}^n$ 的开集 ${\phi }_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right)$ 上的同胚；

(ii) 当 $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\ne \varphi$ 时，转移映射

${\phi }_{\beta }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}:{\phi }_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\to {\phi }_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)$

在 ${\phi }_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)$ 上满足全纯，则称 $M$ 是一个复 $n$ 维复流形。

复流形的例子很多，下面给出两个特别的例子，以阐明坐标转移映射的全纯性条件。

例2.1.2 (复射影空间) 设 $ℂ{\text{P}}^n$ 是 ${ℂ}^{n+1}$ 中过原点的复直线的集合，因为 ${ℂ}^{n+1}$ 中过原点的直线 $l$ 由 $l$ 上任一点 $z=\left(z_0,\cdots ,z_n\right)$ 所决定，因此有

$ℂ{\text{P}}^n={ℂ}^{n+1}\backslash \left\{0\right\}/\sim =\left\{\left[z\right]\in {ℂ}^{n+1}/z\in {ℂ}^{n+1}\backslash \left\{0\right\}\right\},\left[z\right]=\left\{w\in {ℂ}^{n+1}\backslash \left\{0\right\}|\exists \lambda \in ℂ,s.t.w=\lambda z\right\}.$

对于不在超平面 $z_i=0$ 上的直线集合 $U_i=\left\{\left[z_i\right]\in ℂ{\text{P}}^n|z_i\ne 0\right\}$，存在 $U_i$ 到 ${ℂ}^n$ 的同胚 ${\phi }_i$，它由下式给定：

${\phi }_i\left(\left[z_0,\cdots ,z_n\right]\right)=\left(z_0/z_i,\cdots ,z_{i-1}/z_i,z_{i+1}/z_i,\cdots ,z_n/z_i\right)=\left({\xi }_i^0,\cdots ,{\xi }_i^{i-1},{\xi }_i^{i+1},\cdots ,{\xi }_i^n\right)$，

其中 $\forall i=0,\cdots ,n$， ${\xi }_i^k=z_k/z_i\left(1\le k\le i\right),{\xi }_i^k=z_{k+1}/z_i\left(i+1\le k\le n-1\right)$。对于任意的 $i\ne j$，若 $U_i\cup U_j\ne \varphi$，转移映射为

${\phi }_{ji}\left({\xi }_i\right)={\phi }_j\circ {\phi }_i^{-1}\left({\xi }_i^0,\cdots ,{\xi }_i^{i-1},{\xi }_i^{i+1},\cdots ,{\xi }_i^n\right)=\left({\xi }_j^0,\cdots ,{\xi }_j^{j-1},{\xi }_j^{j+1},\cdots ,{\xi }_j^n\right)={\xi }_j.$

由于 $\partial {\phi }_{ji}\left({\xi }_i\right)/\partial \overline{{\xi }_i^k}=0$，这说明 ${\phi }_{ji}\left({\xi }_i\right)$ 是全纯映射。因此， $ℂ{\text{P}}^n$ 是一个 $n$ 维复流形，且称它为 $n$ 维复射影空间。

例2.1.3设 $M$ 是一个代数曲面，

$M=\left\{\left({\zeta }_0:{\zeta }_1:{\zeta }_2:{\zeta }_3\right)\in ℂ{\text{P}}^3|{\zeta }_0^5+{\zeta }_1^5+{\zeta }_2^5+{\zeta }_3^5=0\right\}$.

记

$G=\left\{g^m|m=1,2,3,4,g\left({\zeta }_0,{\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3\right)=\left(\rho {\zeta }_0,{\rho }^2{\zeta }_1,{\rho }^3{\zeta }_2,{\rho }^4{\zeta }_3\right)\right\}$，

这里 $g$ 是一个 $ℂ{\text{P}}^3\to ℂ{\text{P}}^3$ 的双全纯映射， $\rho =e^{2\pi i/5}$ 从而 $g^5=1$。现在考虑每个 $g^m$ 在 $ℂ{\text{P}}^3$ 上的不动点。由 $m=1,2,3,4$，

$g^m\left({\zeta }_0,{\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3\right)=\left({\zeta }_0{\rho }^{m+1},{\zeta }_1{\rho }^{m+2},{\zeta }_2{\rho }^{m+3},{\zeta }_3{\rho }^{m+4}\right)=\left({\zeta }_0,{\zeta }_1,{\zeta }_2,{\zeta }_3\right)$，

即 $\left({\rho }^{m\left(i+1\right)}-1\right){\zeta }_i=0,i=0,1,2,3$。注意 $g^5=1$，便得到这些不动点为(1,0,0,0)，(0,1,0,0)，(0,0,1,0)，(0,0,0,1)，且由 ${\zeta }_0^5+{\zeta }_1^5+{\zeta }_2^5+{\zeta }_3^5=1\ne 0$ 知，它们都不在 $M$ 上，所以 $M$ 上没有不动点，从而 $M/G$ 是一个复流形。

2.2. 形变与无穷小形变

定义2.2.1 [7] (复解析族) 假设给定 ${ℂ}^m$ 上的一个邻域 $B$， $M_t$ 是一个依赖于 $t\in B$ 的紧复流形，如果存在一个复流形 $\mathcal{M}$ 与一个全纯映射 $\varpi :\mathcal{M}\stackrel{onto}{\to }B$ 满足以下条件：

(1) ${\varpi }^{-1}\left(t\right)$ 是 $\mathcal{M}$ 的一个紧复子流形；

(2) ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_t$ ；

(3) $\varpi$ 的Jacobi矩阵的秩在 $\mathcal{M}$ 上的每一点都等于 $m$。

则把 $\left\{M_t|t\in B\right\}$ 称紧复流形的一个复解析族， $t\in B$ 称为复解析族的参数， $B$ 为参数空间，并且 $B$ 还可以自然的推广到任意复流形上。

定义2.2.2 [8] (形变) 设 $M$ 与 $N$ 是紧复流形。若 $M$ 与 $N$ 的复解析族相同，即存在同一个以 $B$ 为底流形的复解析族 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 使得对部分 $t_0,t_1\in B$ 满足 $M={\varpi }^{-1}\left(t_0\right)$， $N={\varpi }^{-1}\left(t_1\right)$，则称 $N$ 是 $M$ 的一个形变。

为了进一步了解抽象的复解析族背后的本质，下面给出一些具体的例子。

例2.2.3考虑椭圆曲线的一族环面 $\left\{T_{\omega }|\omega \in {\text{H}}^{+}\right\}$，其中上半复平面 ${\text{H}}^{+}=\left\{\omega \in ℂ|\mathrm{Im}\omega >0\right\}$。设 $G_{\omega }=\left\{m{\omega }_1+n{\omega }_2|m,n\in \mathbb{Z}\right\}$，其中 ${\omega }_1=a\omega +b$， ${\omega }_2=c\omega +d$， $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ 满足 $ad-bc=1$ (若 $ad-bc=1$，可以交换 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ )。取 ${\omega }^{\prime }=\left({\omega }_1/{\omega }_2\right)$，则 $\mathrm{Im}{\omega }^{\prime }>0$。令 $\mathcal{G}$ 是作用于 ${\text{H}}^{+}$ 的变换群，其变换形如

$\omega \to {\omega }^{\prime }=\frac{a\omega +b}{c\omega +d},a,b,c,d\in \mathbb{Z}ad-bc=1.$

则 $\mathcal{G}$ 在 ${\text{H}}^{+}$ 上满足纯不连续， $T_{\omega }=ℂ/G_{\omega }$ 双全纯等价于 $T_{{\omega }^{\prime }}={ℂ/G}_{{\omega }^{\prime }}$， ${\text{H}}^{+}/\mathcal{G}$ 双全纯于 $ℂ$，如下图1，阴影部分表示的是 $\mathcal{G}$ 的基本区域。对于 $\forall \omega ,{\omega }^{\prime }\in \mathcal{F}$， $\omega \ne {\omega }^{\prime }$，则有 $T_{\omega }\ne T_{{\omega }^{\prime }}$。因此，存在 ${\text{H}}^{+}$ 上的 $\mathcal{G}$ 不变全纯函数 $J\left(\omega \right)$，称为椭圆模函数 $J:{\text{H}}^{+}/\mathcal{G}\to ℂ,\omega \mapsto J\left(\omega \right)$，使得 $T_{\omega }$ 双全纯于 $T_{{\omega }^{\prime }}$ 当且仅当 $J\left(\omega \right)=J\left({\omega }^{\prime }\right)$。于是复解析 $T_{\omega }=ℂ/G_{\omega }$ 随着 $\omega \in {\text{H}}^{+}$ 而连续变化，从而得到一个复解析族 $\left\{T_{\omega }|\omega \in {\text{H}}^{+}\right\}$。

Figure 1. Fundamental region

图1. 基本区域

例2.2.4 (Hopf曲面) Hopf曲面是一个以 $W={ℂ}^2-\left\{\left(0,0\right)\right\}$ 作为万有覆盖曲面的复二维紧致复流形，即Hopf曲面 $M_t$ 定义为 $M_t=W/G_t$， $t\in ℂ$，其中无限循环群 $G_t=\left\{g^m|m\in \mathbb{Z}\right\}$ 由 $W$ 的自同构 $g_t:\left(z_1,z_2\right)\mapsto \left(\alpha z_1+t{z}_2,\alpha z_2\right)$， $t\in ℂ$， $\alpha \in \left(-1,0\right)\cup \left(0,1\right)$ 生成， $G_t$ 纯不连续作用在 $W$ 上且没有不动点。这时每个 $M_t$ 是紧致复流形，可证明 $\left\{M_t|t\in ℂ\right\}$ 是一个复解析族(参阅 [7]，pp. 23-25的例3，或 [8]，pp. 69-71的例2.15)。

定义2.2.5 [8] (参数空间为一维的无穷小形变)设 $B=\left\{t\left||t\right|<r\right\}\subseteq ℂ$， $\mathcal{M}$ 是一个复流形， $\varpi :\mathcal{M}\stackrel{onto}{\to }B$ 是一个全纯映射且满足以下条件：

(1) ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_t$ ；

(2) $\varpi$ 的秩等于 $\dim B$。

如果选择一个充分小的 $\epsilon >0$，在 $\Delta =\left\{t|\left|t\right|<\epsilon \right\}$ 中使得

${\varpi }^{-1}\left(\Delta \right)=\underset{j=1}{\overset{l}{\cup }}{\mathcal{U}}_j(有限个开覆盖的并)$。

在每个 ${\mathcal{U}}_j$ 中有一个坐标系

$p\to \left\{z_j^1\left(p\right),\cdots ,z_j^n\left(p\right),t\left(p\right)\right\}$，

其中 $t\left(p\right)=\varpi \left(p\right)$， ${\mathcal{U}}_j=\left\{p|z_j^{\alpha }\left(p\right)<{\epsilon }_j,\left|t\left(p\right)\right|<\epsilon \right\}$。设 $p=\left(z_j,t\right)=\left(z_j^1\left(p\right),\cdots ,z_j^n\left(p\right),t\left(p\right)\right)$，则在 ${\mathcal{U}}_j\cap {\mathcal{U}}_k$ 上有

$z_j^{\alpha }\left(p\right)=f_{jk}^{\alpha }\left\{z_j^1\left(p\right),\cdots ,z_j^n\left(p\right),t\left(p\right)\right\}=f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$。

若令 $U_{tj}=M_t\cap {\mathcal{U}}_j$，因此

$U_{tj}=\left\{\left(z_j^1,\cdots z_j^n,t\right)|\left|z_j^{\alpha }\right|<{\epsilon }_j\right\}$，

故可用 $\left\{\left(z_j^1,\cdots z_j^n,t\right)|\left|z_j^{\alpha }\right|<{\epsilon }_j\right\}$ 作为 $U_{tj}$ 的坐标，且变换 $z_j^{\alpha }=f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 与 $t$ 的值有关。

如果考虑 $p\in {\mathcal{U}}_i\cap {\mathcal{U}}_j\cap {\mathcal{U}}_k$，则有 $p=\left(z_i,t\right)=\left(z_j,t\right)=\left(z_k,t\right)$，因此

$z_i^{\alpha }=f_{ik}^{\alpha }\left(z_k,t\right)=f_{ij}^{\alpha }\left(z_j,t\right)=f_{ij}^{\alpha }\left(f_{jk}\left(z\right),t\right)$，其中 $f_{jk}=\left(f_{jk}^1,\cdots ,f_{jk}^n\right)$。

引入向量场

${\theta }_{jk}\left(p,t\right)={\displaystyle \underset{\alpha =1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\partial f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)}{\partial t}\frac{\partial }{\partial z_j^{\alpha }}},z_k=f_{kj}\left(z_j,t\right)$，

显然， ${\theta }_{jk}\left(t\right)\in \Gamma \left(U_{tj}\cap U_{tk},{\Theta }_t\right)$，其中 ${\Theta }_t$ 是 $M_t$ 上的全纯向量场的芽层。

引理2.2.6 [7] 在 $U_{tj}\cap U_{tk}\cap U_{ti}$ 上， ${\theta }_{ik}\left(t\right)={\theta }_{ij}\left(t\right)+{\theta }_{jk}\left(t\right)$。

命题2.2.7 [8] $\left(\text{d}{M}_t/\text{d}t\right)=\left\{{\theta }_{ik}\left(p,t\right)\right\}$ 不依赖于局部坐标 $\left\{z_j^{\alpha }\right\}$ 的选择。

定义2.2.8 [8] 对可微族 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 的转移函数 $f_{jk}:\left(z_k^1\left(p\right),\cdots ,z_k^n\left(p\right),t\left(p\right)\right)\to \left(z_j^1\left(p\right),\cdots ,z_j^n\left(p\right),t\left(p\right)\right)$ $=\left(f_{jk}^1\left(z_k\left(p,t\right),t\right),\cdots ,f_{jk}^n\left(z_k\left(p,t\right),t\right)\right)$，由 $\left\{{\theta }_{jk}\left(p,t\right)\right\}$ 所确定的上同调类称为 $M_t$ 的无穷小形变。

可将无穷小形变视为 $M_t$ 的复结构相对 $t$ 的导数，且记为

$\left(\text{d}{M}_t/\text{d}t\right)=\theta \left(t\right)$。

3. 形变存在性定理

假定 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 是一个紧复流形 $M$ 的复解析族，其中 $B\subset ℂ$，则 ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_t$ 的无穷小形变 $\text{d}{M}_t/\text{d}t$ 可用 $H^1\left(M_t,{\Theta }_t\right)$ 的一个元素来表示。因此，给定一个紧复流形 $M$，若 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 满足 $0\in B\subset ℂ$，使得 ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$， ${\left(\text{d}{M}_t/\text{d}t\right)}_{t=0}\in H^1\left(M,\Theta \right)$，其中 $\Theta$ 是 $M$ 上的全纯层。所以，如果存在复解析族 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 满足 ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$，那么 $H^1\left(M,\Theta \right)$ 对应的元素 $\theta ={\left(\text{d}{M}_t/\text{d}t\right)}_{t=0}$ 是有定义的。

反之，若给定一个 $\theta \in H^1\left(M,\Theta \right)$，是否存在一个复解析族 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 满足 $0\in B\subset ℂ$ 使得 ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$， $\theta ={\left(\text{d}{M}_t/\text{d}t\right)}_{t=0}$ ？这是Kodaira和Spencer [3] 给出并证明的紧复流形上复解析族的存在性定理，下面简称为存在性定理。

定理3.1 (存在性定理 [8] ) 设 $M$ 是一个紧复流形， $\Theta$ 是 $M$ 上的全纯向量场的芽层，假设 $H^2\left(M,\Theta \right)=0$，则存在一个复解析族 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$， $0\in B\subset {ℂ}^m$，且满足以下条件：

(i) ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$ ；

(ii) ${\rho }_0:T_{0}B\to H^1\left(M,\Theta \right)$ 是一个同构，即 ${\rho }_0:\partial /\partial t\mapsto {\left(\partial M_t/\partial t\right)}_{t=0}$，其中 ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_t$。

为了证明形变的存在性定理，只需取一个 $r>0$ 的多圆盘 $\Delta =\left\{t\in ℂ|\left|t\right|<r\right\}\subset B$，构造一个复解析族 ${\mathcal{M}}_{\Delta }={\cup }_{j=1}^l{U}_j\times \Delta$ 满足条件 ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M={\cup }_j{U}_j\times 0$，只要找到 $\mathcal{M}$ 的定义函数 $f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 便可。而又因为 $f_{jk|{}_0}^{\alpha }\left(z_k\right)=f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$，因此只需确定系数 $f_{jk|{}_v}^{\alpha }\left(z_k\right)$， $v=1,2\cdots$ 即可。由 $M$ 的定义函数满足以下条件

$f_{ik}^{\alpha }\left(z_k,t\right)=f_{ij}^{\alpha }\left(f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right),t\right),\alpha =1,2\cdots ,n.$。

因此系数满足以下等式

$f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)=f_{jk|{}_0}^{\alpha }\left(z_k\right)+{\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{f}_{jk|{}_v}^{\alpha }\left(z_k\right)}{t}^v$。

如果上式中所有 $f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 满足收敛，则在一个多圆盘 $\Delta =\left\{t\in ℂ|\left|t\right|<r\right\}$ 上， $f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 是 $\left(U_j\cap U_k\right)\times \Delta$ 上的全纯函数。因此存在一个复解析族 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 满足

${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$， ${\left(\text{d}{M}_t/\text{d}t\right)}_{t=0}=\theta$，其中 ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_t$。

这就完成了存在定理的证明。但由于 $v=2,3,\cdots$ 时的一维上链 $\left\{f_{jk|{}_v}\right\}$， $\left\{{\Gamma }_{ijk|{}_v}\right\}=\delta \left\{f_{jk|{}_v}\right\}$ 就会有无穷多个选择，所以 $f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 一般不收敛。如果选取合适的 $\left\{f_{jk|{}_v}\right\}$，则需要证明

$f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{f}_{jk|{}_v}^{\alpha }}\left(z_k\right)t^v$

是收敛的幂级数。

由于无法证明 $f_{jk}^{\alpha }\left(z_k,t\right)$ 它收敛，因此这种初等方法不能证明存在性定理，但在此过程中得到了一个重要结论：在 ${\hat{H}}^2\left(\mathcal{U},\Theta \right)=0$ 的情况下，存在 $t$ 的幂级数

$f_{jk}\left(z_k,t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{f}_{jk|{}_v}}\left(z_k\right)t^v$

满足基本方程 $f_{ik}^{}\left(z_k,t\right)=f_{ij}^{}\left(f_{jk}^{}\left(z_k,t\right),t\right)$，且由 $H^2\left(M,\Theta \right)=0$ 得到 ${\hat{H}}^2\left(\mathcal{U},\Theta \right)=0$。其中

${\hat{H}}^2\left(\mathcal{U},\Theta \right)={\hat{Z}}^2\left(\mathcal{U},\Theta \right)/\delta {\hat{C}}^1\left(\mathcal{U},\Theta \right)$， ${\hat{C}}^1\left(\mathcal{U},\Theta \right)$ 是所有一维上链 ${\hat{c}}^1=\left\{{\sigma }_{jk}\right\}$ 构成的交换群， ${\hat{Z}}^2\left(\mathcal{U},\Theta \right)$ 是所

有二维闭上链 ${\hat{c}}^2=\left\{{\sigma }_{ijk}\right\}$ 构成的群。

因此，如果 $H^2\left(M,\Theta \right)=0$，则方程 $f_{ik}^{}\left(z_k,t\right)=f_{ij}^{}\left(f_{jk}^{}\left(z_k,t\right),t\right)$ 有形式幂级数的解。于是可以猜想，如果当 $H^2\left(M,\Theta \right)=0$ 时，则存在一个复解析族 $\left(\mathcal{M},\Delta ,\varpi \right)$ 满足下面条件：对于 $\theta \in H^1\left(M,\Theta \right)$，有

${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$， ${\left(\text{d}{M}_t/\text{d}t\right)}_{t=0}=\theta$，其中 ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_t$。

4. 形变存在性的证明

为了便于理解，下面基于文献 [6] [7] 的原有证明思路，并且借鉴Liu-Rao-Yang [6] 关于Calabi-Yau流形上构造了一个 $L_2\text{-}$ 范数的Beltrami微分形式幂级数 $\Phi \left(t\right)$，且利用Kodaira-Spencer-Kuranishi理论给出了只含有一个参数时的 $\Phi \left(t\right)$ 的全局收敛性，而在分布的意义下给出了 $\Phi \left(t\right)$ 的正则性，最后再通过归纳法得到了多参数情况的Beltrami微分幂级数的全局收敛性与正则性的想法与思路，综合给出存在性定理的证明。

4.1. 形变存在性的一些预备知识

在证明存在性定理之前，先补充一些定义与相关知识。

4.1.1. 复结构全纯

假设 $\left(\mathcal{M},B,\varpi \right)$ 是一个复解析族，且有 $0\in B\subset {ℂ}^m$， ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_t$。可定义 $\left|t\right|={\max }_{\lambda }\left|t_{\lambda }\right|$，设 $\Delta ={\Delta }_r=\left\{t\in {ℂ}^m|\left|t\right|<r\right\}$ 是一个半径 $r>0$ 的多圆盘。如果选择一个足够小的多圆盘 $\Delta \subset B$， ${\mathcal{M}}_{\Delta }={\varpi }^{-1}\left(\Delta \right)$ 表示为以下形式

${\mathcal{M}}_{\Delta }={\cup }_j{U}_j\times \Delta$。

${\mathcal{M}}_{\Delta }$ 可看作一个复流形，且光滑的局部复坐标系

$\left\{\left({\xi }_j,t\right)|j=1,\cdots ,n\right\},\left({\xi }_j,t\right)=\left({\xi }_j^1\left(z,t\right),\cdots ,{\xi }_j^n\left(z,t\right),t_1,\cdots ,t_m\right)$，

是 ${\mathcal{M}}_{\Delta }$ 的复结构。设 $\left(z^1,\cdots ,z^n\right)$ 是 $M$ 的任一局部复坐标，可知

${\xi }_j^{\alpha }\left(z,t\right)={\xi }_j^{\alpha }\left(z^1,\cdots ,z^n,t_1,\cdots ,t_m\right),\alpha =1,\cdots ,n$，

是复变量 $z^1,\cdots ,z^n,t_1\cdots t_m$ 的光滑函数。于是，当 $\Delta$ 足够小时，对于 $t\in \Delta$，则有

$\det {\left(\partial {\xi }_j^{\alpha }\left(z,t\right)/\partial z^{\lambda }\right)}_{\alpha ,\lambda =1,\cdots ,n}\ne 0$. (4.1)

将复流形 $M$ 的切丛记为 $T:T=T\left(M\right)$， ${\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$ 是所有 $\left(0,q\right)\text{-}$ 型的光滑向量构成的线性空间，即 $M$ 上 $T\otimes {\Lambda }^q\bar{T}{}^{\ast }$ 的光滑截面： ${\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)=\Gamma \left(M,{\mathcal{A}}^{0,q}\left(T\right)\right)$。 $\phi \in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$ 可以表示为如下形式

$\phi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }}\left(\partial /\partial z^{\lambda }\right),{\phi }^{\lambda }=\left(1/q!\right){\displaystyle {\sum }_{v=1}^n{\phi }_{{\bar{v}}_1\cdots {\bar{v}}_q}^{\lambda }\left(z\right)}d{\bar{z}}^{v_1}\wedge \cdots \wedge d{\bar{z}}^{v_q}$.

其中，系数 ${\phi }_{{\bar{v}}_1\cdots {\bar{v}}_q}^{\lambda }\left(z\right)$ 是 $M$ 上的一个局部光滑函数。为了简单起见，将 $\partial /\partial z^{\lambda }$ 记为 ${\partial }_{\lambda }$， $\left(\partial /\partial {\bar{z}}^{\lambda }\right)={\bar{\partial }}_{\lambda }$。由(4.1)可知 $\det \left({\partial }_{\lambda }{\xi }_j^{\alpha }\left(z,t\right)\right)\ne 0$，则存在唯一的(0, 1)-形式

${\phi }_j^{\lambda }\left(z,t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=1}^n{\phi }_{j\bar{v}}^{\lambda }}\left(z,t\right)d{\bar{z}}^v.$

对于 $\lambda =1,\cdots ,n$，使它满足以下

$\bar{\partial }{\xi }_j^{\alpha }\left(z,t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }_j^{\lambda }}\left(z,t\right){\partial }_{\lambda }{\xi }_j^{\alpha }\left(z,t\right),\alpha =1,\cdots ,n$. (4.2)

若称 $\phi \left(t\right)=\phi \left(z,t\right)$ 是关于 $t$ 的光滑向量，由(4.2)可得

$\bar{\partial }{\xi }_j^{\alpha }\left(z,t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }\left(z,t\right){\partial }_{\lambda }}{\xi }_{\xi }\left(z,t\right),\alpha =1,\cdots ,n$. (4.3)

如果将 $\phi \left(t\right)=\phi \left(z,t\right)$ 作为一个微分算子，则它与一个(0,1)-型向量 ${\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }\left(z,t\right){\partial }_{\lambda }}f\left(z\right)$ 的每个局部光滑函数 $f\left(z\right)$ 有关，(4.3)可变成以下形式

$\left(\bar{\partial }-\phi \left(t\right)\right){\xi }_j^{\alpha }\left(z,t\right)=0,\alpha =1,\cdots ,n$. (4.4)

而 ${\xi }_j^{\alpha }\left(z,0\right)$ 是 $z^1,\cdots ,z^n$ 的全纯函数，即 $\bar{\partial }{\xi }_j^{\alpha }\left(z,0\right)=0$。因此由(4.3)，得到

$\phi \left(0\right)=0$.(4.5)

命题4.1 [7] 若取足够小的 $\Delta$，对于 $t\in \Delta$，在 $M$ 上的一个局部光滑函数 $f$ 对复结构 $M_t$ 是全纯的当且仅当 $f$ 满足以下等式

$\left(\bar{\partial }-\phi \left(t\right)\right)f=0$. (4.6)

这个命题表明 $M$ 上的复结构的形变 $M_t$ 可由 $M$ 上的(0,1)-型向量

$\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }\left(z,t\right)}{\partial }_{\lambda }={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\displaystyle {\sum }_{v=1}^n{\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }\left(z,t\right)}}d{\bar{z}}^v{\partial }_{\lambda }$

来表示。对于 $\phi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }{\partial }_{\lambda }}\in {\mathcal{Q}}^{0,p}\left(T\right)$， $\psi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\psi }^{\lambda }{\partial }_{\lambda }}\in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$，如果定义它们的Lie括号为

$\left[\phi ,\psi \right]={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\displaystyle {\sum }_{\mu =1}^n\left({\phi }^{\mu }\wedge {\partial }_{\mu }{\psi }^{\lambda }-{\left(-1\right)}^{pq}{\psi }^{\mu }\wedge {\partial }_{\mu }{\phi }^{\lambda }\right)}}{\partial }_{\lambda }$. (4.7)

由 $\left[\phi ,\psi \right]$ 的定义可知它并不依赖于复坐标 $\left(z^1,\cdots ,z^n\right)$ 的选择，并且 $\left[\phi ,\psi \right]\in {\mathcal{Q}}^{0,p+q}\left(T\right)$。如果 $\phi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }{\partial }_{\lambda }}\in {\mathcal{Q}}^{0,p}\left(T\right)$，则有 $\bar{\partial }\phi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n\bar{\partial }{\phi }^{\lambda }}{\partial }_{\lambda }$。可以利用Lie括号表示可积条件

$\bar{\partial }\phi \left(t\right)=\left(1/2\right)\left[\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right]$. (4.8)

如果 $\bar{\partial }\phi =0$，则称 $\phi \in {\mathcal{Q}}^{0,p}\left(T\right)$ 是一个 $\bar{\partial }\text{-}$ 闭的(0, 1)-型向量，若将所有的 $\bar{\partial }\text{-}$ 闭的(0,1)-型向量的全体集合记为 ${\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,p}\left(T\right)$，则有 ${\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,p}\left(T\right)\subset {\mathcal{Q}}^{0,p}\left(T\right)$。

设 $\phi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }}{\partial }_{\lambda }$ 是 $M$ 的一个(0,1)-型光滑向量，其中 ${\phi }^{\lambda }={\displaystyle {\sum }_{v=1}^n{\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }d{\bar{z}}^v}$。假设

$\det {\left({\delta }_v^{\lambda }-{\displaystyle {\sum }_{\mu =1}^n{\phi }_{\bar{v}}^{\mu }\left(z,t\right)\overline{{\phi }_{\stackrel{¯}{\mu }}^{\lambda }\left(z,t\right)}}\right)}_{\lambda ,v=1,\cdots ,n}\ne 0$，

并且 $\phi$ 满足可积条件 $\bar{\partial }\phi =\left(1/2\right)\left[\phi ,\phi \right]$。如果选定 $M$ 的一个有限开覆盖 $\left\{U_j\right\}$，再由Newlander-Nirenberg [9] 定理，则在 $U_j$ 上存在 $n$ 个线性光滑函数 ${\xi }_j^{\alpha }={\xi }_j^{\alpha }\left(z\right)$， $\alpha =1,\cdots ,n$ 使得

$\left(\bar{\partial }-{\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }^{\lambda }}{\partial }_{\lambda }\right){\xi }_j^{\alpha }=0$.

由于

$\det \frac{\partial \left({\xi }_j^1,\cdots ,{\xi }_j^n,{\bar{\xi }}_j^1,\cdots ,{\bar{\xi }}_j^n\right)}{\partial \left(z^1,\cdots ,z^n,{\bar{z}}^1,\cdots ,{\bar{z}}^n\right)}\ne 0$，

如果 $M$ 被视为一个微分流形，则 ${\xi }_j:z\to {\xi }_j\left(z\right)=\left({\xi }_j^1\left(z\right),\cdots ,{\xi }_j^n\left(z\right)\right)$ 为 $U_j\subset M$ 上的局部复坐标系。若

$\left(\bar{\partial }-\phi \left(t\right)\right)f=0$，则 $U$ 上的一个局部光滑函数 $f$ 是 $\left({\xi }_j^1\left(z\right),\cdots ,{\xi }_j^n\left(z\right)\right)$ 的一个全纯函数。因此在 $U_j\cap U_k\ne \varphi$ 上， ${\xi }_j^{\alpha }\left(z\right)$ 是 $\left({\xi }_k^1\left(z\right),\cdots ,{\xi }_k^n\left(z\right)\right)$ 的全纯函数，即

${\xi }_j^{\alpha }\left(z\right)=f_{jk}^{\alpha }\left({\xi }_k\left(z\right)\right)$.

综上可述， $\left\{{\xi }_1,\cdots ,{\xi }_j,\cdots \right\}$ 是微分流形 $M$ 的一个局部复坐标系，则在 $M$ 上定义了一个复结构，将其记为 $M_t$。若 $\phi$ 满足(4.3)中定义的 $\phi \left(t\right)$，则有 $M_{\phi }{}_{\left(t\right)}=M_t={\varpi }^{-1}\left(t\right)$。

4.2.2. Hölder范数和控制函数

定义4.2 [8] 对于 $M$ 上的一个(0, q)-型光滑向量 $\phi \in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$，将它的Hölder范数 ${\left|\phi \right|}_{k+\alpha }$ 定义如下：设 $\left\{U_j\right\}$ 是 $M$ 上的一个有限开覆盖， $U_j$ 为一个局部坐标圆盘，则存在一个复坐标 $\left\{z_j\right\}$， $z_j=\left(z_j^1,\cdots z_j^n\right)$ 满足以下条件：

(a) $\left[U_j\right]$ 包含于 $z_j$ 的邻域；

(b) $U_j=\left\{\left|z_j^1\right|<1,\cdots ,\left|z_j^n\right|<1\right\}$。

若设 $z_j^v=x_j^{2v-1}+i{x}_j^{2v}$，引入实坐标 $x=\left(x_j^1,\cdots ,x_j^{2n}\right)$，且将 $U$ 上的 $\phi \in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$ 表示为

$\phi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda }\left(1/q!\right)}{\displaystyle \sum {\phi }_{j{\bar{v}}_1\cdots {\bar{\nu }}_q}^{\lambda }d{z}_j^{{\bar{v}}_1}\wedge \cdots \wedge d{z}_j^{{\bar{v}}_q}\left(\partial /\partial z_j^{\lambda }\right)}$，

其中 ${\phi }_{j{\bar{v}}_1\cdots {\bar{\nu }}_q}^{\lambda }={\phi }_{j{\bar{v}}_1\cdots {\bar{\nu }}_q}^{\lambda }\left(x_j\right)$ 为 $U_j\in {ℝ}^{2n}$ 上的光滑函数。定义

${\left|\phi \right|}_{k+\alpha }=\underset{j}{\max }\underset{\lambda ,v_1\cdots v_q}{\max }{\left|{\phi }_{j{\bar{v}}_1\cdots {\bar{\nu }}_q}^{\lambda }\right|}_{k+\alpha }^{U_{\alpha }}$.

由Hölder范数不依赖于 $\left\{U_j\right\}$ 与 $\left\{z_j\right\}$ 的选择，因此选定 $\left\{U_j\right\}$ 与 $\left\{z_j\right\}$，则有

${\left|\phi \right|}_0=\underset{j}{\max }\underset{\lambda ,v_1\cdots v_q}{\max }\underset{x\in U_j}{\sup }\left|{\phi }_{j{\bar{v}}_1\cdots {\bar{\nu }}_q}^{\lambda }\left(x_j\right)\right|$.

命题4.3 [8] 对于 $k\ge 2$， $\phi \in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$，有以下不等式

${\left|\phi \right|}_{k+\alpha }=c\left({\left|{\Delta }_{\bar{\partial }}\phi \right|}_{k-2\oplus \alpha }+{\left|\phi \right|}_0\right)$. (4.9)

其中， $c$ 是不依赖于 $k$ 与 $\alpha$ 的常数，并称(4.9)式称为一个先验估计。

在 ${\mathcal{Q}}^{0,2}\left(T\right)$ 上考虑 $H^2\left(M,\Theta \right)=0$ 且 ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$，则由命题4.3有以下引理：

引理4.4 [8] 对于 $k\ge 2$， $\psi \in {\mathcal{Q}}^{0,2}\left(T\right)$，存在以下不等式

${\left|G\psi \right|}_{k+\alpha }\le c_1{\left|\psi \right|}_{k-2+\alpha }$. (4.10)

其中， $c_1$ 是一个不依赖于 $\psi$ 的常数， $G$ 是一个Green算子。

下面给出控制函数的概念。

定义4.5 [8] 假设有一个 $t_1,\cdots ,t_m$ 的幂级数

$P\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v_1,\cdots ,v_m=0}^{\infty }{P}_{v_1\cdots v_m}}{t}_1^{v_1}\cdots t_m^{v_m},P_{v_1\cdots v_m}\in ℂ$.

如果 $\left|P_{v_1\cdots v_m}\right|\le a_{v_1\cdots v_m}$， $v_1,\cdots ,v_m=0,1,\cdots$，则存在幂级数

$a\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v_1,\cdots ,v_m=0}^{\infty }{a}_{v_1\cdots v_m}}{t}_m^{v_m},a_{v_1\cdots v_m}\ge 0$.

将上式中的 $a\left(t\right)$ 称为 $P\left(t\right)$ 的控制函数，简记为 $P\left(t\right)\ll a\left(t\right)$。

对于一个幂级数

$\psi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v_1,\cdots ,v_m=0}^{\infty }{\psi }_{v_1\cdots v_m}}{t}_1^{v_1}\cdots t_m^{v_m},{\psi }_{v_1\cdots v_m}\in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$，

定义 ${\left|\psi \right|}_{k+\alpha }\left(t\right)$ 如下：

${\left|\psi \right|}_{k+\alpha }\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v_1,\cdots ,v_m=0}^{\infty }{\left|{\psi }_{v_1\cdots v_m}\right|}_{k+\alpha }}{t}_1^{v_1}\cdots t_m^{v_m}$.

如果 ${\left|{\psi }_{v_1\cdots v_m}\right|}_{k+\alpha }\le a_{v_1\cdots v_m}$， $v_1,\cdots ,v_m=0,1,\cdots$，则有 ${\left|\psi \right|}_{k+\alpha }\left(t\right)\ll a\left(t\right)$。

4.2. 形变存在性的证明

关于存在性定理3.1的证明，考虑分成三步：首先构造一个满足可积条件与初始条件的形式幂级 $\phi \left(t\right)$ 数；然后应用Hölder范数与借鉴Liu-Rao-Yang的方法证明这个形式幂级数 $\phi \left(t\right)$ 展开式中系数的收敛性；最后再证明由 $\phi \left(t\right)$ 确定的复结构 $M_{\phi \left(t\right)}$ 构成的一个族 $\left\{M_{\phi \left(t\right)}\right\}$ 是一个满足条件(i)与(ii)的复解析族。

定理3.1的证明：分成三步论证。

(1) 构造满足可积条件与初始条件的形式幂级数 $\phi \left(t\right)$。

对于 $\lambda =1,\cdots ,m$，若存在 ${\beta }_{\lambda }\in {\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,1}\left(T\right)$ 使得 $\left\{{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m\right\}$ 为 $H^1\left(M,\Theta \right)$ 的一组基，假设 $M$ 上存在(0,1)-形式光滑向量 $\phi \left(t\right)$ 的一集族 $\left\{\phi \left(t\right)|t\in \Delta \right\}$ 满足可积条件

$\bar{\partial }\phi \left(t\right)=\left(1/2\right)\left[\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right]$

与初始条件

$\phi \left(0\right)=0,{\left(\bar{\partial }\phi \left(t\right)/\partial t_{\lambda }\right)}_{t=0}={\beta }_{\lambda },\lambda =1,\cdots ,m$. (4.11)

由于假设 $\Delta$ 足够小，可设 $\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda }{\displaystyle {\sum }_v{\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }}}\left(t\right)d{\bar{z}}^v{\partial }_v$ 满足条件：

$\det \left({\delta }_v^{\lambda }-{\displaystyle {\sum }_{\mu }{\phi }_{\bar{v}}^{\mu }\left(t\right)}\overline{{\phi }_{\stackrel{¯}{v}}^{\lambda }\left(t\right)}\right)\ne 0$.

因此，由Newlander-Nirenberg定理可知每个 $\phi \left(t\right)$ 决定了 $M$ 上的一个复结构 $M_{\phi \left(t\right)}$。而这样得到的一个族 $\left\{M_{\phi \left(t\right)}\right\}$ 是满足条件(i)与(ii)的复解析族。首先要构造这样一个族 $\left\{\phi \left(t\right)|t\in \Delta \right\}$。

将 $\phi \left(t\right)$ 表示为 $t_1,\cdots ,t_m$ 的幂级数形式：

$\phi \left(t\right)={\displaystyle \sum {\phi }_{v_1\cdots v_m}}{t}_1^{v_1}\cdots t_m^{v_m},{\phi }_{v_1\cdots v_m}\in {\mathcal{Q}}_{}^{0,1}\left(T\right)$.

下面规定一些符号。对于 $t_1,\cdots ,t_m$ 的一个幂级数 $P\left(t\right)$，设

$P_v\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v_1+\cdots v_m=v}{P}_{v_1\cdots v_m}}{t}_1^{v_1}\cdots t_m^{v_m}$

为它的第 $v$ 齐次部分。因此得到

$P\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=0}^{\infty }{P}_v\left(t\right)}=P_0\left(t\right)+\cdots +P_v\left(t\right)+\cdots$.

这里约定 $P^v\left(t\right)=P_0\left(t\right)+\cdots +P_v\left(t\right)$。给定两个幂级数 $P\left(t\right)$ 与 $Q\left(t\right)$，如果 $P^v\left(t\right)=Q^v\left(t\right)$，则可表示为 $P\left(t\right){\equiv }_{v}Q\left(t\right)$。我们需要找到一个幂级数 $\phi \left(t\right)$ 满足可积条件与初始条件。不妨设

${\phi }_0=0,{\phi }_1\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^m{\beta }_{\lambda }{t}_{\lambda }}$ (4.12)

$\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{\phi }_v}\left(t\right)={\phi }_1\left(t\right)+{\phi }_2\left(t\right)+\cdots$

满足初始条件(4.11)，所以还需要确定 ${\phi }_2\left(t\right),\cdots ,{\phi }_v\left(t\right),\cdots$ 使它满足

$\bar{\partial }\phi \left(t\right)=\left(1/2\right)\left[\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right]$. (4.13)

由于 ${\beta }_{\lambda }\in {\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,1}\left(T\right)$，则可得到 $\bar{\partial }{\phi }_1\left(t\right)=0$，且 $\left[{\phi }_{\mu }\left(t\right),{\phi }_v\left(t\right)\right]$ 是 $t_1,\cdots ,t_m$ 的 $\mu +v$ 次齐次多项式。因此(4.13)式可简化为无穷多个同余方程组

$\bar{\partial }{\phi }^v\left(t\right)\equiv \left(1/2\right)\left[{\phi }^{v-1}\left(t\right),{\phi }^{v-1}\left(t\right)\right],v=2,3\cdots$ (4.14)_v

因此通过对 $v$ 进行归纳，只要确定 ${\phi }_v\left(t\right)$ 满足(4.14)_v即可得到 $\phi \left(t\right)$。

假设已经确定了 ${\phi }^v\left(t\right)={\phi }_1\left(t\right)+\cdots +{\phi }_n\left(t\right)$ 使得式(4.14)_v成立，则我们接下来考虑(4.14)_v+1。由 ${\phi }^{v+1}\left(t\right)={\phi }^v\left(t\right)+{\phi }_{v+1}\left(t\right)$，(4.14)_v+1可以写为以下形式

$\bar{\partial }{\phi }_{v+1}\left(t\right){\equiv }_v\left(1/2\right)\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]-\bar{\partial }{\phi }^v\left(t\right)$. (4.15)

由 $\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]{\equiv }_v\left[{\phi }^{v-1}\left(t\right),{\phi }^{v-1}\left(t\right)\right]$，且假设(4.14)_v成立，则 $\left(4.15\right){\equiv }_{v}0$ 的右边恒为0。若设 ${\psi }_{v+1}\left(t\right)$ 为(4.15)右边的第 $\left(v+1\right)$ 次齐次部分，则有

$\left(1/2\right)\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]-\bar{\partial }{\phi }^v\left(t\right){\equiv }_{v+1}{\psi }_{v+1}\left(t\right)$ (4.16)

从而使同余(4.15)简化为

$\bar{\partial }{\phi }_{v+1}\left(t\right)={\psi }_{v+1}\left(t\right)$. (4.17)

而由(4.16)与 $\left[\psi ,\phi \right]={\left(-1\right)}^{pq}\left[\phi ,\psi \right]$ 以及 $\bar{\partial }\left[\phi ,\psi \right]=\left[\bar{\partial }\phi ,\psi \right]+{\left(-1\right)}^p\left[\phi ,\bar{\partial }\psi \right]$，得

$\bar{\partial }{\psi }_{v+1}\left(t\right){\equiv }_{v+1}\left(1/2\right)\bar{\partial }\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]=\left[\bar{\partial }{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]$.

如上所述，则有 $\bar{\partial }{\phi }^v\left(t\right){\equiv }_v\left(1/2\right)\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]$。因为 ${\phi }^v\left(t\right){\equiv }_{0}0$，于是有

$\left[\bar{\partial }{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]{\equiv }_{v+1}\left(1/2\right)\left[\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right],{\phi }^v\left(t\right)\right]$.

又因为 $\left[\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right],{\phi }^v\left(t\right)\right]=0$，所以 $\bar{\partial }{\psi }_{v+1}\left(t\right)=0$。也就是说，

${\psi }_{v+1}\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v_1+\cdots v_m=v+1}{\psi }_{v_1\cdots v_m}}{t}_1^{v_1}\cdots t_m^{v_m},{\psi }_{v_1\cdots v_m}\in {\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,2}\left(T\right)$.

因此，由Dolbeault定理 [7] 可知，如果令 ${\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,p}\left(T\right)=\Gamma \left(M,\bar{\partial }{\mathcal{A}}^{0,p-1}\left(T\right)\right)$，则当 $p\ge 1$ 时有 $H^p\left(M,\Theta \right)\cong {\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,p}\left(T\right)/\bar{\partial }{\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,p-1}\left(T\right)$。由于 $H^2\left(M,\Theta \right)=0$，故可以找到 ${\phi }_{v_1\cdots v_m}\in {\mathcal{Q}}_{}^{0,1}\left(T\right)$ 使得 ${\psi }_{v_1\cdots v_m}\in {\mathcal{Q}}_{\bar{\partial }}^{0,2}\left(T\right)$，因此(4.17)存在一个解

${\phi }_{v+1}\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v_1+\cdots v_m=v+1}{\phi }_{v_1\cdots v_m}}{t}_1^{v_1}\cdots t_m^{v_m}$.

再令 ${\phi }^{v+1}\left(t\right)={\phi }^v\left(t\right)+{\phi }_{v+1}\left(t\right)$，这样(4.14)_v式成立。

那么，这样就构造了一个满足可积条件(4.8)与初始条件(4.11)的形式幂级数 $\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{\phi }_v\left(t\right)}$。

(2) 证明幂级数 $\phi \left(t\right)$ 对于足够小的 $t_1,\cdots ,t_m$ 满足收敛性。

在 $M$ 上引入一个Hermite度量 $g={\displaystyle {\sum }_{v,\lambda =1}^n{g}_{\lambda \bar{v}}d{z}^{\lambda }\otimes d{z}^{-v}}$，将切丛表示为 $T$，并且有 ${\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\xi }^{\lambda }}{\partial }_{\xi }\in T$。如果由 ${\displaystyle {\sum }_{v,\lambda =1}^n{g}_{\lambda \bar{v}}}{\xi }^{\lambda }{\bar{\xi }}^v$ 定义纤维上的Hermite度量，则 $\phi ,\psi \in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right)$ 的内积定义为

$\left(\phi ,\psi \right)={\displaystyle {\int }_M{\displaystyle {\sum }_{v,\lambda =1}^n{g}_{\lambda \bar{v}}{\phi }^{\lambda }}\wedge \ast {\bar{\psi }}^v}$.

若将 $\bar{\partial }$ 的伴随算子记为 ${\bar{\partial }}^{\ast }$，则它们满足

$\left(\bar{\partial }\phi ,\psi \right)=\left(\phi ,{\bar{\partial }}^{\ast }\psi \right),\phi \in {\mathcal{Q}}^{0,q}\left(T\right),\psi \in {\mathcal{Q}}^{0,q+1}\left(T\right)$.

为了证明多圆盘 ${\Delta }_{\epsilon }=\left\{t\in {ℂ}^m|\left|t_1\right|<\epsilon ,\cdots \left|t_m\right|<\epsilon \right\}$， $\forall \epsilon >0$ 上的 $\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{\phi }_v}\left(t\right)$ 是收敛幂级数，利用Hölder范数的定义4.2及先验估计命题4.3，只需在 ${\Delta }_{\epsilon }$ 上找到一个绝对收敛的幂级数 $a\left(t\right)$ 使其满足

${\left|\phi \right|}_{k+\alpha }\left(t\right)\ll a\left(t\right)$.

如前所述，构造一个 $\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{\phi }_v}\left(t\right)$，(4.16)中的 $\bar{\partial }{\phi }_v\left(t\right)$ 是 $t_1,\cdots ,t_m$ 的 $v$ 次多项式，右边的 ${\psi }_{v+1}\left(t\right)$ 是 $\left(1/2\right)\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]$ 的 $v+1$ 次其次部分，则

${\psi }_{v+1}\left(t\right)=\left(1/2\right){\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]}_{v+1}$.

由于 $\bar{\partial }{\psi }_{v+1}\left(t\right)=0$， ${\phi }_{v+1}\left(t\right)={\bar{\partial }}^{\ast }G{\psi }_{v+1}\left(t\right)$。所以 ${\phi }_{v+1}\left(t\right)$ 是方程 $\bar{\partial }{\phi }_{v+1}\left(t\right)={\psi }_{v+1}\left(t\right)$ 的一个解. 因此记

${\phi }_1\left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^m{\beta }_{\lambda }{t}_{\lambda }}$.

首先，对于 $v=1,2,3,\cdots$，定义 ${\phi }_{v+1}$ 如下：

${\phi }_{v+1}\underset{v}{\equiv }\left(1/2\right){\bar{\partial }}^{\ast }G{\left[{\phi }^v\left(t\right),{\phi }^v\left(t\right)\right]}_{v+1}$. (4.18)

则得到幂级数 $\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{\phi }_v\left(t\right)}$。若给定 $a\left(t\right)$ 的一个幂级数

$A\left(t\right)=\left(b/c\right){\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }\left({\psi }^v{\left(t_1+\cdots +t_m\right)}^v/v^2\right)}$，

则对于 $A\left(t\right)$，有以下不等式

$A{\left(t\right)}^2\ll \left(b/c\right)A\left(t\right)$. (4.19)

固定一个自然数 $k\ge 2$，若选择足够大的 $b$ 与 $c$，则需对 $v$ 用归纳法证明

${\left|{\phi }^v\right|}_{k+\alpha }\ll A\left(t\right)$. (4.20)_v

成立。即假设(4.20)_v成立，来推导证明(4.20)_v+1成立，证明过程见( [8], pp. 279-280)。由此证明了

${\left|\phi \right|}_{k+\alpha }\ll A\left(t\right)$. (4.21)

由于幂级数 ${\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{s}^v/v^2}$ 的收敛半径是1，如果 $0<\epsilon \le \left(1/mc\right)$，对于 $\forall t\in {\Delta }_{\epsilon }$，当 $A\left(t\right)$ 满足绝对收敛条

件，所以 $\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{v=1}^{\infty }{\phi }_v\left(t\right)}$ 相对于Hölder范数 ${\left|\right|}_{k+\alpha }$ 是收敛的。因此， $\phi \left(t\right)$ 是 $M\times {\Delta }_{\epsilon }$ 上的一个(0,1)-型 $C^k$ 向

量，即 $U_j\times {\Delta }_{\epsilon }$ 上 $\phi \left(t\right)$ 可表达为以下形式

$\phi \left(t\right)=\left(1/2\right){\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\displaystyle {\sum }_{\beta ,\gamma }{\phi }_{j\beta \gamma }^{\lambda }}\left(z_j,t\right)}d{\bar{z}}_j^{\beta }\wedge d{\bar{z}}_j^{\gamma }\left(\partial /\partial z_j^{\gamma }\right)$.

虽然 $k\ge 2$，但并不能直接得出 $\phi \left(t\right)$ 是光滑的，下面证明它是光滑可微的。

由于 $\left\{{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_m\right\}$ 作为 ${ℍ}^{0,1}\left(T\right)$ 的一组基，则对于 ${\phi }_1\left(t\right)={\beta }_1{t}_1+\cdots +{\beta }_m{t}_m$，有 ${\bar{\partial }}^{\ast }{\phi }_1\left(t\right)=0$。又因为 ${\phi }_v\left(t\right)={\bar{\partial }}^{\ast }G{\psi }_v\left(t\right)$， $v=2,3,\cdots$， ${\bar{\partial }}^{\ast }{\phi }_v\left(t\right)=0$，则

${\bar{\partial }}^{\ast }\phi \left(t\right)=0,{\Delta }_{\bar{\partial }}\phi \left(t\right)={\bar{\partial }}^{\ast }\bar{\partial }\phi \left(t\right)$，

故 $\phi \left(t\right)$ 满足可积条件 $\bar{\partial }\phi \left(t\right)=\left(1/2\right)\left[\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right]$， ${\Delta }_{\bar{\partial }}\phi \left(t\right)=\left(1/2\right){\bar{\partial }}^{\ast }\left[\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right]$。另一方面，由于 $\phi \left(t\right)$ 是 $t_1,\cdots ,t_m$ 的全纯函数， $\bar{\partial }\phi \left(t\right)/\partial {\bar{t}}_{\lambda }=0$。因此 $\phi \left(t\right)$ 是2阶偏微分方程

$\left(-{\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^m{\partial }^2/\partial t_{\lambda }\partial {\bar{t}}_{\lambda }}+{\Delta }_{\bar{\partial }}\right)\phi \left(t\right)-\left(1/2\right){\bar{\partial }}^{\ast }\left[\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right]=0$. (4.22)

的一个解。

因为 $\left|t\right|\to 0$，则 $\phi \left(t\right)\to 0$。如果取一个 ${\Delta }_{\epsilon }$，若假设(4.22)是 $M\times {\Delta }_{\epsilon }$ 上的一个拟线性椭圆偏微分方程，则可以得到它的光滑解 $\phi \left(t\right)$ [10]。这样就构造了一个(0,1)-型的光滑向量 $\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\displaystyle {\sum }_{v=1}^n{\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }}}\left(z,t\right)d{\bar{z}}^v{\partial }_{\lambda }$，它满足可积条件(4.8)与初始条件(4.11)；接着构造一个 $\phi \left(t\right)$ 的族 $\left\{\phi \left(t\right)|t\in {\Delta }_{\epsilon }\right\}$，如前所述，每个 $\phi \left(t\right)$ 决定一个 $M$ 上的复结构 $M_{\phi \left(t\right)}$。

(3) 证明 $M_{\phi \left(t\right)}$ 构成的族 $\left\{M_{\phi \left(t\right)}|t\in {\Delta }_{\epsilon }\right\}$ 是一个复解析族。

考虑将 $\phi =\phi \left(t\right)$ 作为复流形 $M\times {\Delta }_{\epsilon }$ 上的一个(0, 1)-型向量，即

$\phi =\phi \left(t\right)={\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n\left({\displaystyle {\sum }_{v=1}^n{\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }}d{\bar{z}}^v+{\displaystyle {\sum }_{\mu =1}^v{\phi }_{n+\mu }^{\lambda }}d{\bar{t}}_{\mu }\right)}\left(\partial /\partial z^{\lambda }\right)+{\displaystyle {\sum }_{\mu =1}^m{\phi }^{n+\mu }}\left(\partial /\partial t_{\mu }\right)$，

对于 $\mu =1,\cdots ,m$，有 ${\phi }^{n+\mu }={\phi }^{\left(\lambda /n+\mu \right)}=0$， ${\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }={\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }\left(z,t\right)$ 为 $t_1,\cdots ,t_m$ 的全纯函数，故 $\bar{\partial }{\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }/\bar{\partial }{t}_{\mu }=0$，且

$\bar{\partial }\phi ={\displaystyle {\sum }_{\lambda ,v=1}^n\left({\displaystyle {\sum }_{\beta =1}^n\left({\partial {\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }/\partial \bar{z}}^{\beta }\right)}d{\bar{z}}^{\beta }+{\displaystyle {\sum }_{\mu =1}^m\left({\partial {\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }/\partial \bar{z}}^{\mu }\right)}d{\bar{t}}_{\mu }\right)}\wedge d{\bar{z}}^v\left(\partial /\partial z^{\lambda }\right)$.

可以将 $\phi \left(t\right)$ 的外微分 $\bar{\partial }\phi \left(t\right)$ 视为一个(0,1)-型的向量形式，可表示为 $\bar{\partial }\phi =\bar{\partial }\phi \left(t\right)$。因此得到 $\left[\phi ,\phi \right]=\left[\phi \left(t\right),\phi \left(t\right)\right]$。所以作为 $M\times {\Delta }_{\epsilon }$ 上的一个(0,1)型光滑向量， $\phi$ 满足可积条件

$\bar{\partial }\phi =\left(1/2\right)\left[\phi ,\phi \right]$.

如果记 $L_v=\left(\partial /\partial {\bar{z}}_v\right)-{\displaystyle {\sum }_{\lambda =1}^n{\phi }_{\bar{v}}^{\lambda }}\left(z,t\right)\left(\partial /\partial z^{\lambda }\right)$，则偏微分方程 $\left(\bar{\partial }-\phi \right)f=0$ 可以简化为以下方程组

$\{\begin{array}{l}{L}_{1}f=0\\ ⋮\\ L_{n}f=0\end{array}\Rightarrow L_{v}f=0,v=1,\cdots ,n$，

$\partial f/\partial {\bar{t}}_{\mu }=0,\mu =1,\cdots ,m$. (4.23)

这里 $L_1,\cdots L_n,{\bar{L}}_1,\cdots {\bar{L}}_n,\partial /\partial {\bar{t}}_1,\cdots ,\partial /\partial {\bar{t}}_m,\partial /\partial t_1,\cdots ,\partial /\partial t_m$ 是线性无关的，因此由 ${\varpi }^{-1}\left(0\right)=M$， $\phi$ 定义了 $M\times {\Delta }_{\epsilon }$ 上的一个复结构 $\mathcal{M}$。如果取一个足够小的 ${\Delta }_{\epsilon }$，则方程(4.23)在 $U_j\times {\Delta }_{\epsilon }$ 上有 $\left(n+m\right)$ 个线性无关的解 $f={\xi }_j^{\beta }\left(z,t\right),$ $\beta =1,\cdots ,m+n$。

映射

${\zeta }_j:\left(z,t\right)\to {\zeta }_j\left(z,t\right)=\left({\xi }_j^1\left(z,t\right),\cdots ,{\xi }_j^{n+m}\left(z,t\right)\right)$

给出了复结构 $\mathcal{M}$ 的一个复坐标，由 $f=t_{\mu }$ 是(4.23)的一个解可知，倘若假设 ${\xi }_j^{n+\mu }\left(z,t\right)=t^{\mu }$， $\mu =1,\cdots ,m$，则有

${\zeta }_j:\left(z,t\right)\to \left({\xi }_j^1\left(z,t\right),\cdots ,{\xi }_j^n\left(z,t\right),t_1,\cdots ,t_m\right)$.

故 $\varpi :\left({\xi }_j^1\left(z,t\right),\cdots ,{\xi }_j^n\left(z,t\right),t_1,\cdots ,t_m\right)\to \left(t_1,\cdots ,t_m\right)$ 是一个从 $\mathcal{M}$ 到 ${\Delta }_{\epsilon }$ 的全纯映射，且对于 $t\in {\Delta }_{\epsilon }$， ${\varpi }^{-1}\left(t\right)$ 是一个局部复坐标为 $\left\{{\xi }_j^1\left(z,t\right),\cdots ,{\xi }_j^n\left(z,t\right)\right\}$ 的复流形。由 $f={\xi }_j^{\beta }\left(z,t\right),\beta =1,\cdots ,n$ 是 $U_j$ 上一个的方程 $\left(\bar{\partial }-\phi \left(t\right)\right)f=0$ 的线性无关解，且 ${\varpi }^{-1}\left(t\right)=M_{\phi \left(t\right)}$，因此 $\left\{M_{\phi \left(t\right)}|t\in {\Delta }_{\epsilon }\right\}$ 构成了一个复解析族 $\left(\mathcal{M},{\Delta }_{\epsilon },\varpi \right)$。

综上，形变存在性定理即定理3.1完成了证明。□

基金项目

课题部分受到国家自然科研基金项目(批准号：12061014)和广西自然科学基金项目(批准号: 2019GXNSFAA245043)的资助。

NOTES

^*通讯作者。