1. 引言
19世纪建立的极限理论奠定了微积分的基础 [1],使数学这门古老的学科有了质的飞跃,由此建立起来的理论及其应用开创了一个崭新的数学时代。但是对于数列及函数极限的求解问题,看似简单,但实则方法过于多种多样,往往就是一个比较难一点的极限问题,就会导致学者因选错方法而浪费大量的时间或者根本做不出来。因此本文针对求极限的方法进行总结归纳,给学者梳理出了一些求极限的方法。
2. 利用几种已知公式求极限
2.1. 和差化积公式积化和差公式
解题思路:此方法一般求解的比较简单的极限,比较明显的是两个三角函数相减或相乘的形式。
例1.1求极限
解:由积化和差公式
有
,又因为
,所以有
。
故
。
2.2. 伯努利不等式
已知实数
,当
时,有
;
当
,有
。
解题思路:此种类型一般是在求解极限的过程中,所以在这里就不举例说明。
2.3. 泰勒公式 [2]
.
.
.
.
.
解题思路:对于
型不定式中,如果运用洛必达则比较麻烦。此类题目比较明显的特征是含有
,
,
,
等混在一起的混合运算,此类题大多数是用洛必达做不出来的,而用泰勒公式进行简单的替换就很容易求出来的。
例1.3求极限
解:由泰勒公式展开到第三项得:
3. 利用洛必达法则求极限 [3]
定理:对在数列
与
间有一定关系的商的极限,我们可以用序列的洛比达法则。满足
1)
;
2)
;
3)
。
解题思路:此种解题方法适用于
、
形式的极限求法。
例题2.1求极限
令
,
,满足洛必达法则的条件,则有
,
,于是
。
4. 利用单调有界性求极限
单调有界定理 [3]:在实数系中,有界的单调数列必有极限。
有上界的递增数列必有极限,有下界的递减数列必有极限。
解题思路:可以用
与0的关系来判断其增减性,或者根据
与1的关系来判断其增减性。
例题3.1求极限
解:设数列
,则有
,根据
,假设
,则
,由归纳假设知数列
有上界,又因为
,
所以数列
单调递增。根据单调有界原理知数列
收敛。令
,则有
。根据题意有
,解得
,故
。
5. 利用迫敛性(两边夹定理)求极限
迫敛性 [3]:设收敛数列
,
都是以
为极限,则数列
满足,存在正数
,当
时有
,则数列
收敛,且满足
。
解题思路:一般适用于较复杂的通项。首先要把从
的表达式写出来,然后通过放缩法找到两个有相同极限值的数列。
例题4.1求极限
解:因为
。由迫敛性得
。
6. 利用积分法求极限 [4]
解题思路:有些数列通项中含有
的数列,极限很难直接利用一些公式去求,但是如果能转化成定积分形式的话,计算就相对比教简单了。
例题5.1求极限
解:因为
例题5.2
解:令
,取对数则有
,所以
。
注:对于一些乘积形式的数列或函数极限问题,通常是通过取对数的方法把乘积形式转化为和的形式,再求极限。
7. 利用级数收敛的必要条件求极限
定理:若级数
收敛,则
。
判断正项级数收敛的方法:
1) 若
为正项级数,且存在某正整数
,及常数
,(
),若对一切
,成立不等式
,则级数
收敛。
2) 若
为正项级数,且存在某正整数
,及常数
,(
),若对一切
,成立不等式
,则级数
收敛。
例题6.1极限
解:令
,则根据达郎贝尔判别法
,
根据级数收敛的必要条件,可知
。
8. 利用施笃兹(Stolz)定理求极限 [4]
定理:数列
单调递增
,如果有
(可以无穷大),则
例题7.1求极限
此极限满足Stolz的条件,令
令
,
;
,
,所以有
9. 通项公式法求极限1
定理:已知数列
满足
。则可以构造特征方程
。根据
来分类
1)
方程有两个相等的实数根,设为
,则
(其中
,
为常数);
2)
方程有两个不相等的实数根设为
,
则
(其中
,
为常数)。
例题8.1已知数列
,满足
,
,
,求
。
解:其特征方程为:
,解得
,
,所以求得通向公式为
;把
,
带入
,
解得:
,
,
。因此有
。
10. 利用压缩映射原理求极限 [5] (完备度量空间上的不动点定理)
命题:完备距离空间上的压缩映射具有唯一不动点。
解题此路:
1) 证明数列收敛只需满足
,其中
满足
,则数列收敛。
2)
,
,解方程
所得解即为不动点。
例9.1设
数列
如下递归公式定义:
,
求极限
。
解:显然
,
在
连续可导,
,满足
,故
收敛。又因为满足
。所以设
,则有
,解得
舍去故有
。
11. 结论
求数列和函数极限的方法并不局限于以上几种,方法是灵活多样的。而且求极限的方法往往是一题多解的,但在本篇文章中我并有涉及。根据极限问题,针对不同的题目选择最优的方法将是我今后继续研究的方向。
NOTES
1李扬. 李扬数学分析强化讲义. 2021.