1. 引言
1995年,Enochs等人在一般环上引入Gorenstein内射模的概念 [1]。称内射左R-模的正合列
是完全内射分解,如果对任意内射左R-模E,序列
正合。称左R-模N是Gorenstein内射模,如果存在一个完全内射分解
使得
。2007年,Mao等人引入FI-内射模的概念 [2]。称左R-模M是FP-内射(或绝对纯)模,若对任意的有限表示R-模F,
( [3] [4] )。称左R-模M是FI-内射模,若对任意FP-内射R-模G,
。2019年,陈东等人引入Gorenstein FI-内射模的概念 [5]。称左R-模M是Gorenstein FI-内射模,如果存在内射模的正合列
,使得
,且对任意FI-内射模I,
正合。
受以上文献的启发,我们引入强FI-内射模和Gorenstein强FI-内射模的概念,讨论其同调性质,并找到了一个遗传完备的余挠对(详见定理2.7)。
本文中所提到的环均指有单位元的结合环。模均指酉模,除非特别说明,R-模指左R-模。本文中,我们用
,
,
,
,
,
和
分别表示R-模类,内射R-模类,投射R-模类,FI-内射R-模类,FP-内射R-模类,Gorenstein FI-内射R-模类和Gorenstein内射R-模类;用
,
分别表示R-模M的内射维数和FP-内射维数;
表示自然数集。
2. 强FI-内射模
设M是一R-模,
是一R-模类,记
;
[6]。对偶地,可定义
和
。
设F是R-模类,M是一R-模,称同态
是M的F-预覆盖,如果
,并且对任意
,任意同态
,存在同态
,使得
,其中
;取
,若满足
的f都是C的自同构,则称
为M的
。对偶地,可定义M的F-预包络和F-包络。若满同态
满足
,并且
,则称
是M的特殊F-预覆盖。对偶地,可定义M的特殊F-预包络 [7]。
设
,
是两个R-模类,称类对
是一余挠对,如果
,
。称余挠对
是遗传的,如果对任意
,
,
。若每个R-模有特殊A-预覆盖(等价于特殊
),则称
为完备的余挠对 [7]。
本部分我们引入强FI-内射模,讨论其同调性质,并证明
是一遗传完备的余挠对。
定义2.1 称R-模M是强FI-内射模,若对任意
,
。
我们将强FI-内射R-模类记为
。
称R-模类
是内射可解类,如果
,且对任意
中的正合列
,其中
,则
[6]。
关于定义,我们注意到
注记2.2 1)
;特别地,如果R是左Noether环,则
。
2)
是内射可解类,且关于直积与直和项封闭。
称环R是QF环,如果R是左Noether环,且R是内射R-模 [2]。下面用强FI-内射R-模给出QF环的等价刻画。
命题2.3 设R是环,则以下等价:
1)
是
环;
2) 若
,则
;
3) 若
,则
;
证明 1)
2) 由文献( [8] 定理5.3)可得。
2)
3) 设
,
,由文献( [4] 定理2.6)可知,
,则由条件(2)可知,
,所以
,即
。
3)
2) 设
,任取
,则
。因为
,所以
,因此
。
推论2.4 设R是环,则以下等价:
1)
是QF环;
2) 若
,则
;
3) 若
,则
。
证明由命题2.3及文献( [2] 命题2.8)易得。
下面给出强FI-内射模是一个内射模的等价刻画。
命题2.5 设R是左凝聚环,
,则
且
。
证明
显然。
设
是R-模的正合列,其中
。因为
,所以由文献( [3] 引理3.1)可知,
。又因为
,所以正合列
可裂,故
。
设
,取
的一个投射分解
,令
,
,则称
为
的第i次合冲;取
的一个内射分解
,令
,
,则称
为
的第i次上合冲 [9]。下面证明
是一遗传完备的余挠对。
引理2.6 设R是环,则以下条件成立:
1) 任意强FI-内射R-模M的第
次上合冲
;
2) 任意FP-内射R-模I的第
次合冲
,都有
。
证明 因为
是内射可解类,且
,所以由维数转移易知结论成立。
命题2.7
是遗传完备的余挠对;
证明 要证
是余挠对,只需证
即可。
任取
,取
的内射分解
,其中
,
是M的第
次上合冲。由引理2.6可知,
。对任意
,由维数转移可知,
。另一方面,取
的投射分解
,其中
,
是
的第
次合冲。由维数转移可知,
。于是
,故
。
设
,由以上证明有
。特别地,若
,则
。因此
,故
。综上所述,
是余挠对。
设
,
,对
的任意
次合冲
,由引理2.6可知,
,故
是遗传余挠对。设
是所有
内射R-模的第
次合冲的代表集,则
也是一个集合。注意到
,所以
。从而由文献( [10] 定理10)可知,
是遗传完备的余挠对。
推论2.8 每个R-模都有特殊
-预覆盖和特殊
-预包络。
3. Gorenstein强FI-内射模
定义3.1 称R-模M是Gorenstein强FI-内射模,如果存在内射R-模的正合列
,
使得
,且对任意
,
正合。
我们将Gorenstein强FI-内射R-模类记为
。
关于定义,我们注意到
注记3.2 1)
;
2) 由对称性可知,定义3.1中正合列E的所有同态的像、核和余核都是Gorenstein强FI-内射R-模;
3)
关于直积封闭。
下面首先讨论Gorenstein强FI-内射模的基本同调性质。
命题3.3 设M是一R-模,则以下等价:
1)
;
2)
满足以下条件:
a)
,其中
;
b) 存在
正合的R-模正合列
,其中
,
。
3) 存在R-模的正合列
,其中
,
。
证明 1)
2),1)
3) 显然。
3)
2) 因为
,所以存在
正合的R-模正合列
,其中
,
,并且
。故存在
正合的R-模正合列
。由维数转移,
。
定义R-模类
。
命题3.4 设
,则以下条件成立:
1)
,其中
。
2)
或
。
证明 1) 设
,我们对n进行归纳。当n = 0时,由命题3.3结论显然成立。设n ≥ 1,则存在R-模的正合列
,其中
。由维数转移可知,
。
2) 设
,则存在R-模的正合列
,其中
。令
,则
。由(1)可得,
,所以
。
命题3.5 设
是R-模的正合列,则以下条件成立:
1) 若
,则
;
2) 若
,则
;
3) 若
,则
对任意
,
。
证明 1) 设
,
,则存在
正合的正合列
,
和
,
其中
,且
,
。令
,
,则由命题3.3可知,
,
。于是有交换图:
故存在
正合的正合列
,其中
,且
。因此由命题3.3可知,
。
2) 因为
,所以由命题3.3存在正合列
,其中
,
。考虑拉回图
因为A,
,所以由(1)可知,
。于是对中间行用命题3.3可知,
。
3)
显然。
因为
,所以由命题3.3存在正合列
,其中
,
。考虑拉回图
因为B,
,所以由(1)可知,
,于是由命题3.3存在正合列
,其中
,
。考虑拉回图
因为A,
,所以对任意
,
,
,故
。特别地,
。因此中间行可裂,所以
。于是由命题3.3可知,
。
推论3.6
是内射可解类,且关于直和项封闭。