一类Q_p空间及其前对偶空间

A Class of Q_p Spaces and Their Predual Spaces

摘要: 本文主要研究了一新Q型空间——Q_γ1^γ2(ℝⁿ)空间。首先给出了Q_γ1^γ2(ℝⁿ)空间的定义及若干基本性质，并定义新型帐篷空间，进而得到Q_γ1^γ2(ℝⁿ)空间的前对偶空间及其原子分解。

Abstract: In this paper, we introduce a new class of Q type spaces Q_γ1^γ2(ℝⁿ). We first investigate definition and some basic properties of Q_γ1^γ2(ℝⁿ), and establish a new type of tent space. Further, we obtain predual space and atomic decomposition of Q_γ1^γ2(ℝⁿ).

1. 引言

近年来，新Q型空间在经典调和分析和现代调和分析中扮演着重要的角色，作为经典函数空间 $BMO\left({ℝ}^n\right)$， $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 等空间的推广，被学者们广泛研究。早年间， $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间就被学者广泛研究，参见 [1] [2] [3] [4]。函数空间的对偶性问题很早就得到国内外学者的关注，许多经典空间的对偶空间也陆续建立起来。对偶结果提供了不同函数空间之间的联系，著名的结果Fefferman [5] 将BMO与实Hardy空间 $H_1$ 的对偶联系起来，而Lipschitz空间与 $H_p$ 空间是对偶的。2000年Essén-Janson-Peng-Xiao [6] 引入了 $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间的定义及其基本性质。2004年Dafni-Xiao [7] 引入了一些帐篷空间，并将其用于解决分数阶Carleson测度和 $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间的对偶性问题。2008年Yang-Yuan [8] 引入了一类新的函数空间 ${\stackrel{\dot{}}{F}}_{p,q}^{s,\tau }\left({ℝ}^n\right)$，统一和推广了Triebel-Lizorkin空间和 $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间，通过建立 $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间的Carleson测度刻画，确定了Triebel-Lizorkin空间与 $Q_{\alpha }\left({ℝ}^n\right)$ 空间之间的关系，从而回答了Dafni-Xiao [7] 提出的一个问题。

这些函数空间被广泛应用于研究流体力学中的基本方程例如不可压缩的Navier-Stokes方程、不可压缩磁流体力学方程，相关的研究进展参见文献 [9] [10] [11] [12]。

本文的目的是引入新帐篷空间，并用它们来解决新 $Q$ 型空间 $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 的原子分解及其对偶问题。利用Hausdorff容量( [4] Definition4.0)的概念，我们将 $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 定义一个前对偶空间，称之为“Hardy-Hausdorff”空间 $H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$，作为齐次Sobolev空间 ${\stackrel{\dot{}}{L}}_{-\frac{n}{2}}^2\left({ℝ}^n\right)$ 的分布空间。

本文引入了一种新 $Q$ 型空间，定义如下：

定义1 令 ${\gamma }_1\ge 0$， ${\gamma }_2\ge 0$。若

$\sup {\left(l\left(I\right)\right)}^{{\gamma }_1-n}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{n+{\gamma }_2}}\text{d}x\text{d}y}}<\infty ,$

则称 $f$ 属于 $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 空间，其中 $I$ 为 ${ℝ}^n$ 上平行于坐标轴的方体。

2. $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 的基本性质

在本节当中，我们给出 $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 的一些基本性质，以及 $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 空间的等价刻画如下：

引理1 令 ${\gamma }_1\ge 0$， ${\gamma }_2\ge 0$。若

$\underset{I}{\sup }{\left(l\left(I\right)\right)}^{{\gamma }_1-n}{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^2\frac{\text{d}x\text{d}y}{{\left|y\right|}^{n+{\gamma }_2}}}}<\infty$

则 $f\in Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$。

引理2 令 ${\gamma }_1\ge 0$， ${\gamma }_2\ge 0$。

1) 设 $\left\{{\gamma }_1,{\gamma }_2\right\}$ 和 $\left\{k_1,k_2\right\}$ 为两常数对，其中 ${\gamma }_1-{\gamma }_2={{\gamma }^{\prime }}_1-{{\gamma }^{\prime }}_2$。若 ${\gamma }_1,{\gamma }_2\ge 0$， ${{\gamma }^{\prime }}_2>{\gamma }_2$，则 $Q_{k_1}^{k_2}\left({ℝ}^n\right)\subset Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$。

2) 若 ${\gamma }_2\in \left(-\infty ,0\right)$，则 $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)\subset BM{O}^{{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$，其中 $BM{O}^{{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 的定义为：

$\underset{I}{\sup }{\left(l\left(I\right)\right)}^{{\gamma }_1-{\gamma }_2-2n}{\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^2\text{d}x\text{d}y}}<\infty$

$I$ 为 ${ℝ}^n$ 上平行于坐标轴的方体。

引理3 令 $n\ge 2$， ${\gamma }_1,{\gamma }_2\ge 0$。

1) 若 $1\le q\le 2$， $0<{\gamma }_1<1$，则 ${\stackrel{\dot{}}{B}}_{\frac{n}{{\gamma }_1/2},q}^{\frac{{\gamma }_2}{2}}\left({ℝ}^n\right)\subseteq Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$。

2) 令 $1\le q\le \infty$， ${\gamma }_1,{\gamma }_2\ge 0$。若 ${\gamma }_1-{\gamma }_2=\frac{{\gamma }_2-{\gamma }_1}{2}$，则 ${\stackrel{\dot{}}{B}}_{\frac{n}{{\gamma }_2},q}^{{\gamma }_1}\left({ℝ}^n\right)\subseteq Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$。

引理4 任取 $N\in \mathbb{N}$，则存在一个函数 $\varphi :{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ 使得以下条件成立：

1) $\sup p\left(\varphi \right)\subset \left\{x\in {ℝ}^n:\left|x\right|\le 1\right\}$；

2) $\varphi$ 是径向函数；

3) $\varphi \in C^{\infty }\left({ℝ}^n\right)$；

4) 若 $\gamma \in {\mathbb{N}}^n$，则 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{x}^{\gamma }\varphi \left(x\right)\text{d}x}=0$，其中 $x^{\gamma }=x_1^{{\gamma }^1}{x}_2^{{\gamma }^2}\cdots x_n^{{\gamma }^n},\left|\gamma \right|={\gamma }_1+{\gamma }_2+\cdots +{\gamma }_n$；

5) 若 $\xi \in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}$，则 ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left(\hat{\varphi }\left(t\xi \right)\right)}^2\frac{\text{d}t}{t}}=1$。

定理1 令 $\varphi$ 为满足上述引理的一个函数，并且满足 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\varphi \left(x\right)\text{d}x}=0$， $0\le {\gamma }_1<n$， ${\gamma }_2\ge 0$。若函数 $f\in Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$，则 $\text{d}{\mu }_{f,\varphi ,{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left(t,x\right)={\left|\left(f*{\varphi }_t\right)\left(x\right)\right|}^2{t}^{-1-{\gamma }_2}\text{d}t\text{d}x$ 是一个 $\left(1-{\gamma }_1/n\right)-$ Carleson测度。

证明 由 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\varphi \left(x\right)\text{d}x}=0$，则有 $\left(f*{\varphi }_t\right)\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<t}\left(f\left(x-y\right)-f\left(x\right)\right){\varphi }_t\left(y\right)\text{d}y}$。根据Minkowski不等式和Fubini定理得：

$\begin{array}{c}{\mu }_{f,\varphi ,{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left(S\left(I\right)\right)\le {\displaystyle {\int }_0^{l\left(I\right)}{\left({\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<t}{\Vert f\left(\cdot -y\right)-f(\cdot )\Vert }_{L^2\left(I\right)}\left|{\varphi }_t\left(y\right)\right|\text{d}y}\right)}^2}{t}^{-1-{\gamma }_2}\text{d}t\\ \le C{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|f\left(u-y\right)-f\left(u\right)\right|}^2}{{\left|y\right|}^{n+{\gamma }_2}}\text{d}u\text{d}y}}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{3I}{\displaystyle {\int }_{3I}\frac{{\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{n+{\gamma }_2}}\text{d}x\text{d}y}}\end{array}$

其中C为任意常数。

定义2 令 ${\gamma }_1\ge 0$ 且 ${\gamma }_2\ge 0$，我们定义 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }$ 为 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上的全体Lebesgue可测函数 $f$ 的类，且满足：

${\Vert f\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}=\underset{B\subset {ℝ}^n}{\sup }{\left(\frac{1}{{\left|B\right|}^{1-{\gamma }_1/n}}{\displaystyle {\int }_{T\left(B\right)}{\left|f\left(t,y\right)\right|}^2\frac{\text{d}y\text{d}t}{t^{1+{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}<\infty$

其中 $B$ 为 ${ℝ}^n$ 上的球， $T\left(B\right)$ 为球 $B$ 上的帐篷，定义为：

$T\left(B\right)=\left\{\left(x,t\right)\in {ℝ}_{+}^{n+1}:x\in B\left(x_0,r\right),0<t<r_B\right\}$。

下面我们定义帐篷空间的原子分解：

定义3 令 ${\gamma }_1\ge 0$ 且 ${\gamma }_2\ge 0$，在 ${ℝ}^n$ 上存在一个函数 $a$，使得 $a$ 支于帐篷 $T\left(B\right)$，且满足：

${\displaystyle {\int }_{T\left(B\right)}{\left|a\left(t,y\right)\right|}^2\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\le \frac{1}{{\left|B\right|}^{1-{\gamma }_1/n}}$

则称 $a$ 为 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上的 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 原子，其中 $B$ 为 ${ℝ}^n$ 上的球。

下面我们引入 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }$ 的对偶空间 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$：

定义4 令 ${\gamma }_1\ge 0$ 且 ${\gamma }_2\ge 0$，设 $f$ 为 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上的全体Lebesgue可测函数，且满足如下条件：

${\Vert f\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}=\underset{\omega }{\inf }{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{\left|f\left(t,x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}<\infty$

则称为 $f\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$。其中， $\omega$ 为 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上满足 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}N\omega {\text{dΛ}}_{n-{\gamma }_1}^{\infty }}\le 1$ 的全体非负Borel可测函数。

引理5 若 ${\displaystyle {\sum }_j{\left|g_j\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}}<\infty$，则 $g={\displaystyle {\sum }_j{g}_j}\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 且

${\left|g\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}\le \sqrt{C_1^{-1}{C}_2}\underset{j}{{\displaystyle \sum }}{\left|g_j\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}$

其中 $C_1^{-1},C_2$ 为常数。

引理6 令 ${\gamma }_1\ge 0$ 且 ${\gamma }_2\ge 0$

1) 若 $f\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$，当且仅当存在一个 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 原子序列 $a_j$ 和一个 $l_1$ 序列使得 $f={\displaystyle {\sum }_j{\lambda }_j{a}_j}$。更进一步，

${\left|f\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}\approx \inf \left\{{\displaystyle {\sum }_j\left|{\lambda }_j\right|}:f={\displaystyle {\sum }_j{\lambda }_j{a}_j}\right\}$，

等式右边定义了一个 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 空间上的范数，使得 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 空间成为Banach空间。

2) 若 $f\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$， $g\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }$，则不等式

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}\left|f\left(t,y\right)g\left(t,y\right)\right|}\frac{\text{d}t\text{d}y}{t}\le C{\Vert f\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}{\Vert g\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}$

成立。

3) $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 空间的Banach对偶可由 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }$ 空间在如下条件：

$\langle f,g\rangle ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}f\left(t,y\right)g\left(t,y\right)}\frac{\text{d}t\text{d}y}{t}$

成立，来等价定义。

3. $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 的前对偶空间

定义5 令 $\varphi$ 为满足引理4的一个函数，且 ${\gamma }_1\ge 0$， ${\gamma }_2\ge 0$，满足如下条件：

${\Vert f\Vert }_{H{H}_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}\left({ℝ}^n\right):={\Vert f*{\varphi }_t(\cdot )\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}<\infty$

的全体分布类 $f\in L_{-\frac{n}{2}}^{\stackrel{\dot{}}{2}}\left({ℝ}^n\right)$，我们称之为Hardy-Hausdorff空间，记作 $H{H}_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$。

定理2 ${\Vert \cdot \Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}$ 是一个准范数，更确切来讲在这个范数下 $H{H}_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 是完备的。

证明 根据 ${\Vert \cdot \Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}$ 的相应性质和 ${\rho }_{\varphi }\left(t,x\right)=f*{\varphi }_t\left(x\right)$ 的线性，我们可得 ${\Vert \cdot \Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}$ 是一个准范数。

设 $\left\{f_j\right\}$ 是一个Cauchy列，由引理3和Calderon再生公式 [13] 可得 $L_{-\frac{n}{2}}^{\stackrel{\dot{}}{2}}\left({ℝ}^n\right)$ ↪ $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$。对任意 $\psi \in \mathcal{S}\left({ℝ}^n\right)$，

$\begin{array}{c}\left|f_j-f_k,\psi \right|\le C{\Vert {\rho }_{\varphi }\left(f_j-f_k\right)\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}{\Vert {\varphi }_t*\psi \Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}\\ \le C{\Vert {\rho }_{\varphi }\left(f_j-f_k\right)\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}{\Vert \psi \Vert }_{L_{\frac{n}{2}}^{\stackrel{\dot{}}{2}}(\; ℝ\; n\; )}\end{array}$

所以 $\left\{f_j\right\}$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{L}}_{-\frac{n}{2}+{\gamma }_1}^2\left({ℝ}^n\right)$ 上是一个Cauchy列。由完备性可知，在 ${\stackrel{\dot{}}{L}}_{-\frac{n}{2}+{\gamma }_1}^2\left({ℝ}^n\right)$ 空间中， $f=\lim f_n$。故存在一个子列使得在 ${\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$ 中， $f=f_1+{\displaystyle {\sum }_{j\ge 1}\left(f_{j+1}-f_j\right)}$ 且满足 ${{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{\Vert f_{j+1}-f_j\Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)}<\infty$，那么

${\left|{\rho }_{\varphi }\left(f\right)\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}\le C\left({\left|{\rho }_{\varphi }\left(f_1\right)\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}+{{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{\left|{\rho }_{\varphi }\left(f_{j+1}-f_j\right)\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}\right)<\infty$

且 $f\in H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left(R^n\right)$。

定义6 令 ${\gamma }_1\ge 0$ 且 ${\gamma }_2\ge 0$，存在一缓增分布 $a$ 支于方体 $I$，且满足如下两个条件：

1) 对任意 $\psi \in \mathcal{S}\left(R^n\right)$，有 $\left|a,\psi \right|\le diam{\left(I\right)}^{-\frac{n}{2}+{\gamma }_1}{\left({\displaystyle {\int }_I{\displaystyle {\int }_I\frac{{\left|\psi \left(x\right)-\psi \left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{n+{\gamma }_1}}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{1/2}$；

2) 对任意 $\psi \in \mathcal{S}\left(R^n\right)$，有 $\langle a,\psi \rangle =0$。

则称分布 $a$ 为一个 $H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$ 原子。

定理3 令 ${\gamma }_1\ge 0$ 且 ${\gamma }_2\ge 0$， ${ℝ}^n$ 上的缓增分布 $f\in H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$ 当且仅当存在 $H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$ 原子 $\left\{a_j\right\}$ 和 $l_1$ 序列 $\left\{{\lambda }_j\right\}$，使得 $f={\displaystyle {\sum }_j{\lambda }_j{a}_j}$ 在分布意义下成立。更确切地说，

${\Vert f\Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)}\approx \inf \left\{{\displaystyle {\sum }_j\left|{\lambda }_j\right|}:f={\displaystyle {\sum }_j{\lambda }_j{a}_j}\right\}$

证明 1) 充分性。对任意 $\epsilon \in \left(0,2\right)$，令 $\omega \left(t,x\right)=\kappa {\left(l\left(I\right)\right)}^{-n+{\gamma }_1}\min \left\{1,{\left(\frac{l\left(I\right)}{\sqrt{{\left(x-x_I\right)}^2+t^2}}\right)}^{n-{\gamma }_1+\epsilon }\right\}$，其中 $\kappa$ 为常数， $I$ 为 $a$ 的支集， $x_I$ 为 $I$ 的中心。

所以，

$N\omega \left(x\right)\le \kappa {\left(l\left(I\right)\right)}^{-n+{\gamma }_1}\min \left\{1,{\left(\frac{\sqrt{2}l\left(I\right)}{\left|x-x_I\right|}\right)}^{n-{\gamma }_1+\epsilon }\right\}$

令 $B_I=B\left(x_I,diam\left(I\right)\right)$， $E_I=\left(0,diam\left(I\right)\right)\times B_I$ 且 $E_I^c={ℝ}_{+}^{n+1}\backslash E_I$。

假设 $S_a$ 为 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上 $a\text{*}{\varphi }_t\left(x\right)$ 的支集，所以

$\underset{R_{+}^{1+n}}{{\displaystyle \int }}{\left|a*{\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}=\left({\int }_{E_I}+{\int }_{E_I^c\cap S_a}\right){\left|a*{\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}$

因此，存在一个中心为 $\left(0,x_I\right)$ 的半球覆盖 $E_I$，由此可得 ${\omega }^{-1}\le C{\left(l\left(I\right)\right)}^{n-{\gamma }_1}$。

所以，

$\begin{array}{c}\underset{E_I}{{\displaystyle \int }}{\left|a*{\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}\le {\left(l\left(I\right)\right)}^{n-{\gamma }_1}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|\hat{a}\left(\xi \right)\right|}^2{\left|\hat{\varphi }\left(t\xi \right)\right|}^2\text{d}\xi \frac{\text{d}t}{t^{1-{\gamma }_2}}}}\\ \le {\left(l\left(I\right)\right)}^{n-{\gamma }_1}{\Vert a\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{-{\gamma }_2∕2}^2}\left({ℝ}^n\right)\le 1\end{array}$

对 $E_I^c\cap S_a$ 上的积分，有

$\left|x-z\right|\ge \left|x-x_I\right|-diam\left(I\right)/2\ge t$

且 $a\text{*}{\varphi }_t\left(x\right)={{\displaystyle \int }}^{\text{}}a\left(z\right){\varphi }_t\left(x-z\right)\text{d}z=0$。

因此，

$\begin{array}{c}\left|a*{\varphi }_t\left(x\right)\right|\le {\Vert a\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{-\frac{n}{2}-\frac{{\gamma }_2-{\gamma }_1}{2}-1}^2\left({ℝ}^n\right)}{\Vert {\varphi }_t^x\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{\frac{n}{2}+\frac{{\gamma }_2-{\gamma }_1}{2}+1}^2\left({ℝ}^n\right)}\\ \le diam\left(I\right)t^{-\left(n+\frac{{\gamma }_2-{\gamma }_1}{2}+1\right)}\end{array}$

易知 $t\approx \sqrt{{\left|x-x_I\right|}^2+t^2}:=r\left(t,x\right)>diam\left(I\right)$，所以

${\omega }^{-1}\left(t,x\right)\approx {\kappa }^{-1}{\left(l\left(I\right)\right)}^{n+{\gamma }_1}\frac{t^{n-{\gamma }_1+\epsilon }}{{\left(l\left(I\right)\right)}^{n-{\gamma }_1+2+\epsilon }}\le C{\left(l\left(I\right)\right)}^{-\epsilon }{t}^{n-{\gamma }_1+\epsilon }$

综上所述，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{E_I^c\cap S_a}{\left|a*{\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}\le C{\left(l\left(I\right)\right)}^{2-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{E_I^c\cap S_a}{t}^{\epsilon -n-3}\text{d}t\text{d}x}\\ \le C{\left(l\left(I\right)\right)}^{2-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{r\left(t,x\right)\ge diam\left(I\right)}r{\left(t,x\right)}^{\epsilon -n-3}\text{d}t}\\ \le C{\left(l\left(I\right)\right)}^{2-\epsilon +\epsilon -2}\le 1\end{array}$

2) 必要性。假设 $f\in H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$，则 $f^{\epsilon ,N}\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{S^{\epsilon ,N}}F\left(t,y\right){\varphi }_t\left(x-y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t}}$，其中 $S^{\epsilon ,N}$ 定义为：

$\left\{\left(t,x\right)\in {ℝ}^n:\epsilon \le t\le N\right\}$。

存在一个 $\omega \ge 0$，使得 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}N\omega \text{d}{\Lambda }_{n-{\gamma }_1}^{\left(\infty \right)}}\le 1$ 且

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{\left|F\left(t,x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}\le 2{\Vert F\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}$

其中 $F={{\displaystyle \sum }}^{\text{}}F{\text{χ}}_{T_{j,k}}$ 在 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 几乎处处成立。

设 $T_{j,k}=S^{*}\left(I_{j,k}\right){\displaystyle {\cup }_{m>k}{\displaystyle {\cup }_l{S}^{*}\left(I_{l,m}\right)}}$，令 $T_{j,k}$ 覆盖 $E_k=\left\{N\omega >2^k\right\}$，其中 $S^{*}\left(I_{j,k}\right)=\left\{\left(t,y\right)\in {ℝ}_{+}^{n+1}:y\in I_{j,k},t<2diam\left(I_{j,k}\right)\right\}$， $T_{j,k}$ 有至多个不相交的内部。

令 $g_{j,k}^{\text{ε},N}\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{S^{\text{ε},N}\cap T_{j,k}}F\left(t,y\right){\varphi }_t\left(x-y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t}}$，我们需证分布 $g_{j,k}$ 使得当 $\epsilon \to 0$ 时， $g_{j,k}^{\text{ε},N}\to g_{j,k}$，当 $N\to \infty$ 时， $f={\displaystyle {\sum }_{j,k}{g}_{j,k}}$。

因此，

$\begin{array}{c}\left|g_{j,k}^{\epsilon ,N},\psi \right|=\left|{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left({\displaystyle {\int }_{S^{\epsilon ,N}\cap T_{j,k}}F\left(t,y\right){\varphi }_t\left(t-y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t}}\right)\psi \left(x\right)\text{d}x}\right|\\ \le 2^{\left(k+1\right)/2}{\left({\displaystyle {\int }_{S^{\epsilon ,N}\cap T_{j,k}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\times {\left({\displaystyle {\int }_{3I_{j,k}^{*}}{\displaystyle {\int }_{3I_{j,k}^{*}}\frac{{\left|\psi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{n+{\gamma }_2}}\text{d}t\text{d}y}}\right)}^{1/2}\end{array}$

同样地，对于 ${\epsilon }_1<{\epsilon }_2$ 和 $N_1>N_2$，可得

$\left|g_{j,k}^{{\epsilon }_1,N_1}-g_{j,k}^{{\epsilon }_2,N_2},\psi \right|\le C_k{\left({\displaystyle {\int }_{\left(S^{{\epsilon }_1,N_1}\backslash S^{{\epsilon }_2,N_2}\right)\cap T_{j,k}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}{\Vert \psi \Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{{\gamma }_2∕2}^2(\; ℝ\; n\; )}$

综上所述，当 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2\to 0$ 且 $N_1,N_2\to \infty$ 时， ${\Vert g_{j,k}^{{\epsilon }_1,N_1}-g_{j,k}^{{\epsilon }_2,N_2}\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{{\gamma }_2∕2}^2\left({ℝ}^n\right)}\to 0$。

所以，在分布意义下 $g_{j,k}^{\epsilon ,N}\to g_{j,k}\in {\stackrel{\dot{}}{L}}_{{\gamma }_2∕2}^2\left({ℝ}^n\right)$， $g_{j,k}$ 支于 $I_{j,k}^{\text{*}}=5\sqrt{n}{I}_{j,k}^{}$ 且满足

${\Vert g_{j,k}\Vert }_{\stackrel{̇}{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{{\gamma }_2∕2}^2}\left(3I_{j,k}^{*}\right)}\le C{2}^{\left(k+1\right)/2}{\left({\displaystyle {\int }_{T_{j,k}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}$

令 $a_{j,k}=g_{j,k}{\Vert g_{j,k}\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{-{\gamma }_2∕2}^2\left(3I_{j,k}^{*}\right)}^{-1}{\left(l\left(3I_{j,k}^{*}\right)\right)}^{\frac{{\gamma }_1-n}{2}}$， ${\lambda }_{j,k}={\Vert g_{j,k}\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{-{\gamma }_2∕2}^2\left(3I_{j,k}^{*}\right)}\times {\left(l\left(3I_{j,k}^{*}\right)\right)}^{\frac{{\gamma }_1-n}{2}}{\left(l\left(3I_{j,k}^{*}\right)\right)}^{\frac{n-{\gamma }_1}{2}}$，

则

$\begin{array}{c}\left|a_{j,k},\psi \right|\le C\frac{1}{{\Vert g_{j,k}\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{-{\gamma }_2/2}^2\left(3I_{j,k}^{*}\right)}}{\left(l\left(3I_{j,k}^{*}\right)\right)}^{\frac{{\gamma }_1-n}{2}}\times {\left({\displaystyle {\int }_{S^{\epsilon ,N}\cap T_{j,k}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\\ \times {\left({\displaystyle {\int }_{3I_{j,k}^{*}}{\displaystyle {\int }_{3I_{j,k}^{*}}\frac{{\left|\psi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{n+{\gamma }_2}}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{1/2}\end{array}$

所以 $a_{j,k}$ 为 $H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$ 原子。

由Cauchy-Schwarz不等式，可得

$\begin{array}{c}\underset{j,k}{{\displaystyle \sum }}\left|{\lambda }_{j,k}\right|\le C{\left(\underset{j,k}{{\displaystyle \sum }}{2}^{k+1}{\left(l\left(3I_{j,k}^{*}\right)\right)}^{n-{\gamma }_1}\right)}^{1/2}{\left(\underset{j,k}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{T_{j,k}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\\ \le C{\left(\underset{j,k}{{\displaystyle \sum }}{2}^{k+1}{\Lambda }_{n-{\gamma }_1}^{\left(\infty \right)}\left(3I_{j,k}^{*}\right)\right)}^{1/2}{\left(\underset{j,k}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\\ \le C{\left(\underset{k}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{E_k}N\omega \left(x\right)\text{d}{\Lambda }_{n-{\gamma }_1}^{\left(\infty \right)}}\right)}^{1/2}{\Vert f\Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)}\lesssim {\Vert f\Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1(\; ℝ\; n\; )}\end{array}$

所以 ${{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{g}_{j,k}={{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{\lambda }_{j,k}{a}_{j,k}$。

任意 $0<\epsilon <N$， $\psi \in \mathcal{S}\left({ℝ}^n\right)$，

$\begin{array}{c}\left|\langle g_{j,k}^{\epsilon ,N}\rangle \right|\le C{2}^{\left(k+1\right)/2}{\left({\displaystyle {\int }_{T_{j,k}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}{\left({\displaystyle {\int }_{3I_{j,k}^{*}}{\displaystyle {\int }_{3I_{j,k}^{*}}\frac{{\left|\psi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{n+{\gamma }_2}}\text{d}t\text{d}y}}\right)}^{1/2}\\ \le C{2}^{\left(k+1\right)/2}{\left(l\left(3I_{j,k}^{*}\right)\right)}^{\frac{n-{\gamma }_1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{T_{j,k}}{\left|F\left(t,y\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}{\Vert \psi \Vert }_{Q_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)}\\ \le C{\Vert f\Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}{\Vert \psi \Vert }_{Q_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}(\; ℝ\; n\; )}\end{array}$

所以 $g=f$， ${\lim }_{\epsilon \to 0,N\to \infty }{\displaystyle {\sum }_{j,k}{g}^{\epsilon ,N}}={\displaystyle {\sum }_{j,k}{g}_{j,k}}=g$。

另外，

$\underset{j,k}{{\displaystyle \sum }}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{1}_{S^{\epsilon ,N}{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}{T}_{j,k}}}F\left(t,y\right){\varphi }_t\ast \psi \left(y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t}{\displaystyle {\int }_{S^{\epsilon ,N}}F\left(t,y\right){\varphi }_t\ast \psi \left(y\right)\frac{\text{d}t\text{d}y}{t}}=\langle f^{\epsilon ,N},\psi \rangle$

所以在 ${\mathcal{S}}^{\text{'}}\left({ℝ}^n\right)$ 上， ${\displaystyle {\sum }_{j,k}{g}_{j,k}^{\text{ε},N}}=f^{\text{ε},N}$ 且 $g=f$。这就完成了定理3的证明。

定理4 1) ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上的一个非负可测函数 $\omega$，满足条件 ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}N\omega \text{d}{\Lambda }_{n-{\gamma }_1}^{\left(\infty \right)}}\le 1$，若

${\sigma }_{\delta }\left(a,\omega \right)=\underset{\left|y\right|\le \delta }{\sup }{\left(\underset{{ℝ}_{+}^{n+1}}{{\displaystyle \int }}{\left|a\ast {\psi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\psi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}\right)}^{1/2}\to 0$

成立，则称 $a$ 是一个 $H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$ 原子。

2) $H{H}_{-{\text{γ}}_1,{\text{γ}}_2}^1\left({ℝ}^n\right)\cap C_0^{\infty }$ 在 $H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$ 中是稠密的。

证明 1) 对任意 $\epsilon \in \left(0,2\right)$， $\omega$ 的定义与定理3相同， $y\in B\left(0,\delta \right)$， $x\in {ℝ}^n$，可得 $a\ast {\varphi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)=\langle a,{\varphi }_t^{x-y}-{\varphi }_t^x\rangle$，且

$\left|\left(\widehat{{\varphi }_t^{x-y}}-\widehat{{\varphi }_t^x}\right)\left(\xi \right)\right|=\left|1-e^{2\pi iy\cdot \xi }\right|\left|\widehat{{\varphi }_t}\left(\xi \right)\right|\le C\min \langle 2,\delta \left|\xi \right|\rangle \left|\widehat{{\varphi }_t}\left(\xi \right)\right|$ (1)

另外，

$\begin{array}{l}\underset{\left|y\right|<\delta }{\sup }{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{\left|a\ast {\varphi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\\ \le {\left(\left(\underset{\left|y\right|<\delta }{\sup }{\int }_{E_I}+\underset{\left|y\right|<\delta }{\sup }{\int }_{E_I^c{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}{S}_{a,\delta }}\right){\left|a\ast {\varphi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}\right)}^{1/2}\end{array}$

其中， $B_I=B\left(x_I,2diamI\right)$， $E_I=\left(0,2diam\left(I\right)\right)\times B_I$。

由Fourier变换，当 $\delta \to 0$ 时，第一部分积分可得

$\begin{array}{l}\underset{\left|y\right|<\delta }{\sup }{\displaystyle {\int }_{E_I}{\left|a\ast {\varphi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}\\ \le C{\left(l\left(I\right)\right)}^{n-{\gamma }_1}\underset{\left|y\right|<\delta }{\sup }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|a\ast \left({\varphi }_t^y-{\varphi }_t\right)\left(x\right)\right|}^2\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}}\\ \le C{\left(l\left(I\right)\right)}^{n-{\gamma }_1}\underset{\left|y\right|<\delta }{\sup }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|\hat{a}\left(\xi \right)\right|}^2{\delta }^2{\left|\xi \right|}^2{\left|\xi \right|}^{-{\gamma }_2}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left|\hat{\psi }\left(t\right)\right|}^2\frac{\text{d}t\text{d}\xi }{t^{1-{\gamma }_2}}}}\to 0\end{array}$

当 $x\notin B_I$， $t\le \left|x-x_I\right|/4$ 时， $\left|y\right|<diam\left(I\right)<\frac{1}{2}\left|x-x_I\right|$，

因此，

$\left|x-y-z\right|\ge \frac{3}{4}\left|x-x_I\right|\ge t$

所以， $\left|x-z\right|\ge \frac{3}{4}\left|x-x_I\right|>t$，且 $a*\left[{\varphi }_t\left(x-y\right)-{\varphi }_t\left(x\right)\right]=0$。

另外，

$\begin{array}{c}\left|a\ast {\varphi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)\right|\le C{\Vert a\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{-\frac{n}{2}-\frac{{\gamma }_2-{\gamma }_1}{2}-1}^2\left({ℝ}^n\right)}{\Vert {\varphi }_t^{x-y}-{\varphi }_t^x\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{\frac{n}{2}+\frac{{\gamma }_2-{\gamma }_1}{2}+1}^2\left({ℝ}^n\right)}\\ \le Cdiam\left(I\right){\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|\widehat{{\varphi }_t}\left(\xi \right)\right|}^2{\left|\xi \right|}^{n+{\gamma }_2-{\gamma }_1+4}\text{d}\xi }\right)}^{1/2}\\ \le Cdiam\left(I\right)\delta t^{-\left(n+\frac{{\gamma }_2-{\gamma }_1}{2}+2\right)}\end{array}$

由上式和 ${\omega }^{-1}\lesssim t^{n-{\gamma }_1+\epsilon }$ 可得，当 $\delta \to 0$ 时

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{E_I^c{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}{S}_{a,\delta }}{\left|a\ast {\varphi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\text{γ}}_2}}}\\ \le C{\delta }^2{\left(l\left(I\right)\right)}^{2-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{E_I^c{{\displaystyle \cap }}^{\text{}}{S}_{a,\delta }}{t}^{-n-5+\epsilon }}\text{d}t\text{d}x\\ \le C{\delta }^2{\left(l\left(I\right)\right)}^{2-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{l\left(I\right)}^{\infty }{\lambda }^{\epsilon -5}\text{d}\lambda }\to 0\end{array}$

所以，当 $\delta \to 0$ 时， ${\sigma }_{\delta }\left(a,\omega \right)\to 0$。

2) 任取 $\eta \in C^{\infty }\left(R^n\right)$，支集在球 $B\left(0,1\right)$ 上，且满足 ${{\displaystyle \int }}^{\text{}}\eta =1$。可知在 ${\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$ 中，当 $j\to \infty$ 时， $a\ast {\eta }_j\to a$。对 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上的任意非负可测函数 $\omega$，其满足条件 ${\displaystyle {\int }_{\left({ℝ}^n\right)}N\omega {\text{dΛ}}_{n-{\gamma }_1}^{\left(\infty \right)}}\le 1$，可得

$\begin{array}{l}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{\left|a\ast {\eta }_j\ast {\varphi }_t\left(x\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|{\eta }_j\left(y\right)\right|}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{\left|a\ast {\varphi }_t\left(x-y\right)-a\ast {\varphi }_t\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}t\text{d}x}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\\ \le C{\sigma }_{\frac{1}{j}}\left(a,\omega \right)\end{array}$

由1)可知当 $j$ 足够大时，对任意 $\epsilon >0$，存在一个 $\omega$，使得 ${\sigma }_{\frac{1}{j}}\left(a,\omega \right)<\epsilon$。

取下确界可得 ${\Vert a\ast {\eta }_j-a\Vert }_{H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)}<\epsilon$，也就是在 $H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 中， $a\text{*}{\eta }_j\to a$。

因此，对任意 $f\in H{H}_{-{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$，可以用原子的有限和来近似。这就完成了定理4的证明。

定理5 将算子 ${\pi }_{\psi }$ 定义为

${\pi }_{\psi }\left(F\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }F\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\frac{\text{d}t}{t}}$ (2)

1) 算子 ${\pi }_{\psi }$ 是从 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }$ 到 $Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}$ 的有界且满射算子。更确切地，若 $F\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }$，则(2)式右边积分收敛于一个函数 $f\in Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$ 且 ${\Vert f\Vert }_{Q_{{\text{γ}}_1}^{{\text{γ}}_2}}\lesssim {\Vert F\Vert }_{T_{{\text{γ}}_1,{\text{γ}}_2}^{\infty }}$，任意 $f$ 都可以这样表示。

2) 算子 ${\pi }_{\psi }$ 最初定义为一个函数 $F\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$，从 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 到 $H{H}_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 延拓为一个有界且满射算子。 $F$ 在 ${ℝ}_{+}^{n+1}$ 上具有紧支集。

证明 1) 令 $f={\pi }_{\psi }\left(F\right)$，定义

$D_{f,{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left(I\right)={\left[l\left(I\right)\right]}^{{\gamma }_1-n}{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y\right)-f\left(y\right)\right|}^2\frac{\text{d}x\text{d}y}{{\left|y\right|}^{n+{\gamma }_2}}}}$

下证 $\sup {}_{I}D{}_{f,{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left(I\right)<\infty$。

令 $f_y=x\to f\left(x+y\right)$，可得 $f_y-f={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left[{\left(F\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\right)}_y-\left(F\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\right)\right]\frac{\text{d}t}{t}}$ 在 ${\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$ 上成立。

取方体 $I$， $y\in B\left(0,l\left(I\right)\right)$，对 $g\in C_{\infty }^0\left(I\right)$，可得

$\begin{array}{c}\left|\langle f_y-f,g\rangle \right|\le {\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|F\left(t,x\right)\right|\left|{\psi }_t\ast \left(g_{-y}-g\right)\left(x\right)\right|\frac{\text{d}t\text{d}x}{t}}}\\ ={\displaystyle {\int }_{\left|y\right|}^{l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|\left(F\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\right)\left(x+y\right)-\left(F\left(t,\cdot \right)*{\psi }_t\right)\left(x\right)\right|\left|g\left(x\right)\right|\frac{\text{d}t\text{d}x}{t}}}\\ +{\displaystyle {\int }_{l\left(I\right)}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|F\left(t,x\right)\right|\left|{\psi }_t\left(g_{-y}-g\right)\left(x\right)\right|\frac{\text{d}t\text{d}x}{t}}}\\ :=A_1\left(g,y\right)+A_2\left(g,y\right)+A_3\left(g,y\right)\end{array}$

所以，对于 $A_1$，若 $\left|y\right|<l(\; I\; )$

$\begin{array}{c}{A}_1\left(g,y\right)={\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\displaystyle {\int }_{5I}\left|F\left(t,x\right)\right|\left|{\psi }_t\ast \left(g_{-y}-g\right)\left(x\right)\right|\frac{\text{d}t\text{d}x}{t}}}\\ \le {\Vert \psi \Vert }_{L^1\left({ℝ}^n\right)}{\Vert g\Vert }_{L^2\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_0^{\left|y\right|}{\left({\displaystyle {\int }_J{\left|F\left(t,x\right)\right|}^2\text{d}}x\right)}^{1/2}\frac{\text{d}t}{t}}\end{array}$

对于 $A_2$，若 $\left|y\right|<t$，由变量替换可得

$\begin{array}{c}\left|\left(F\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\right)\left(x+y\right)-\left(F\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\right)\left(x\right)\right|\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|{\psi }_t\left(y+z\right)-{\psi }_t\left(z\right)\right|\left|F\left(t,x-tz\right)\right|\text{d}z}\\ \le t^{-1}\left|y\right|{\sup }_{\left|\xi \right|\le 1}\left|\nabla \psi \left(\xi \right)\right|{\displaystyle {\int }_{\left|z\right|\le 2}\left|F\left(t,x-tz\right)\right|\text{d}z}\\ \le C_{\psi }{t}^{-1}\left|y\right|{\displaystyle {\int }_{\left|z\right|\le 2}\left|F\left(t,x-tz\right)\right|\text{d}z}\end{array}$

其中， $C_{\psi }=\sup \left|\nabla \psi \right|<\infty$。

由Fubinis定理可得

$\begin{array}{c}{A}_2\left(g,y\right)\le C_{\psi }\left|y\right|{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|}^{l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_{\left|z\right|\le 2}{\displaystyle {\int }_I\left|F\left(t,x-tz\right)\right|\left|g\left(x\right)\right|\text{d}x\text{d}z\frac{\text{d}t}{t^2}}}}\\ \le C{C}_{\psi }{\left|g\right|}_{L^2\left({ℝ}^n\right)}\left|y\right|{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|}^{l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_{\left|z\right|\le 2}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|F\left(t,x-tz\right)\right|}^2\text{d}x}\right)}^{1/2}\text{d}z\frac{\text{d}t}{t^2}}}\\ =C{C}_{\psi }{\left|g\right|}_{L^2\left({ℝ}^n\right)}\left|y\right|{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|}^{l\left(I\right)}{\left({\displaystyle {\int }_I{\left|F\left(t,x-t{z}_t\right)\right|}^2\text{d}x}\right)}^{1/2}\frac{\text{d}t}{t^2}}\end{array}$

其中 $\left|z_t\right|\le 2$， $C=Vol\left(B\left(0,2\right)\right)$。

对于 $A_3$，令 $G_y\left(t,x\right)={\psi }_t\ast \left(g_{-y}-g\right)\left(x\right)1_{\left(t,x\right):t\ge \left|y\right|}$，根据( [4], Theorem5.4)

$A_3={\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}\left|F\left(t,x\right)G_y\left(t,x\right)\right|\frac{\text{d}t\text{d}x}{t}}\le {\Vert F\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}{\Vert G_y\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}$

下证 $G_y\in T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$，参见( [9] Lemma3.17)。

对任意 $\epsilon \in \left(0,2\right)$，令

$\omega \left(t,x\right)=\kappa {\left(l\left(I\right)\right)}^{-n+{\gamma }_1}\min \left\{1,{\left(\frac{l\left(I\right)}{\sqrt{{\left(x-x_I\right)}^2+t^2}}\right)}^{n-{\gamma }_1+\epsilon }\right\}$

其中 $0<{\gamma }_1<\epsilon <2$， $\kappa$ 是常数。

若 $S_y:=\sup p\left(G_y\right)$，则 ${\omega }^{-1}\left(x\right)\approx l{\left(I\right)}^{-\epsilon }{t}^{n-{\gamma }_1+\epsilon }$。

由此可得，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}^{n+1}}{\left|G_y\left(t,x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\frac{\text{d}x\text{d}t}{t^{1-{\gamma }_2}}}={\displaystyle {\int }_{l\left(I\right)}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{S_y}{\left|{\psi }_t\ast \left(g_{-y}-g\right)\left(x\right)\right|}^2{\omega }^{-1}\left(t,x\right)\text{d}x\frac{\text{d}t}{t^{1-{\gamma }_2}}}}\\ \le l{\left(I\right)}^{-\epsilon }{\displaystyle {\int }_{l\left(I\right)}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\left|{\psi }_t\ast \left(g_{-y}-g\right)\left(x\right)\right|}^2\text{d}x{t}^{n-{\gamma }_1+\epsilon }\frac{\text{d}t}{t^{1-{\gamma }_2}}}}\\ \le l{\left(I\right)}^{n-\epsilon }{\Vert g\Vert }_{L^2\left({ℝ}^n\right)}^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\frac{{\left|1-e^{2\pi iy\cdot \xi }\right|}^2}{{\left|\xi \right|}^{n-{\gamma }_1+{\gamma }_2+\epsilon }}\text{d}\xi {\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\left|\widehat{\psi \left(t\right)}\right|}^2{t}^{n-{\gamma }_1+{\gamma }_2+\epsilon }\frac{\text{d}t}{t}}}\\ \le C_{\psi }l{\left(I\right)}^{n-\epsilon }{\Vert g\Vert }_{L^2\left({ℝ}^n\right)}^2{\left|y\right|}^{-{\gamma }_1+{\gamma }_2+\epsilon }\end{array}$

所以 ${\Vert G_y\Vert }_{T_{{\text{γ}}_1,{\text{γ}}_2}^1}\le {\Vert g\Vert }_{L^2\left(I\right)}\sqrt{l{\left(I\right)}^n-\epsilon {\left|y\right|}^{-{\gamma }_1+{\gamma }_2+\epsilon }}$，则

$\begin{array}{c}{\Vert f_y-f\Vert }_{L^2\left(I\right)}\le \underset{g\in C_0^{\infty }\left(I\right),\left|\right|g|{|}_2\le 1}{\sup }\left|\langle f_y-f,g\rangle \right|\\ \le \underset{0}{\overset{\left|y\right|}{{\displaystyle \int }}}{\left({\left|F\left(t,x\right)\right|}^2\text{d}x\right)}^{1/2}\frac{\text{d}t}{t}+\left|y\right|{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|}^{l\left(I\right)}{\left(\underset{I}{{\displaystyle \int }}{\left|F\left(t,x-t{z}_t\right)\right|}^2\text{d}x\right)}^{1/2}\frac{\text{d}t}{t^2}}\\ +{\left|F\right|}_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}l{\left(I\right)}^{\left(n-\epsilon \right)/2}{\left|y\right|}^{\frac{-{\gamma }_1+{\gamma }_2+\epsilon }{2}}\end{array}$

由Hardy不等式可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\left|y\right|<l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_I{\left|f\left(x+y\right)-f\left(x\right)\right|}^2\frac{\text{d}x\text{d}y}{{\left|y\right|}^{n+{\gamma }_2}}}}\\ \le {\displaystyle {\int }_0^{l\left(I\right)}{\displaystyle {\int }_{5I}{\left|F\left(t,x\right)\right|}^2{t}^{-1-{\gamma }_2}\text{d}x\text{d}}}t+{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle {\int }_I{\left|F\left(t,x-t{z}_t\right)\right|}^2{t}^{-1-{\gamma }_2}\text{d}t\text{d}x}}+{\Vert F\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}^{2}l{\left(I\right)}^{n-\epsilon }l{\left(I\right)}^{\epsilon -{\gamma }_1}\\ \le l{\left(I\right)}^{n-{\gamma }_1}{\Vert F\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}^2\end{array}$

所以对每一 $t\le l\left(I\right)$， $\left|z_t\right|\le 2$ 说明 $I-t{z}_t\subset 5I$，则 ${\sup }_I{D}_{f,{\gamma }_1,{\gamma }_2}\left(I\right)\le {\Vert F\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}^2<\infty$，即 $f\in Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)$， ${\Vert f\Vert }_{Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)}\le {\Vert F\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }}^2$。

2) 设 $a\left(x,t\right)$ 支于 $T\left(B\right)$，任意 $\epsilon >0$，令

${\pi }_{\psi }^{\epsilon }\left(a\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }a\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\left(x\right)}\frac{\text{d}x\text{d}t}{t}.$

$T^{\text{ε}}\left(B\right)$ 为 $T\left(B\right)\cap \left\{\left(t,x\right):t>\epsilon \right\}$。

由Cauchy-Schwarz不等式和( [9] Lemma3.18)可得，对任意 $\varphi \in \mathcal{S}(\; ℝ\; n\; )$

$\begin{array}{c}\left|\langle {\pi }_{\psi }^{\epsilon }\left(a\right),\varphi \rangle \right|\le {\left({\displaystyle {\int }_{T^{\epsilon }\left(B\right)}{\left|a\left(t,x\right)\right|}^2\frac{\text{d}x\text{d}t}{t^{-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}{\left({\displaystyle {\int }_{T^{\epsilon }\left(B\right)}{\left|\varphi *{\psi }_t\left(x\right)\right|}^2\frac{\text{d}x\text{d}t}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}\\ \le {\left(l{\left(\tilde{B}\right)}^{{\gamma }_1-n}{\displaystyle {\int }_{\tilde{B}}{\displaystyle {\int }_{\tilde{B}}\frac{{\left|\varphi \left(x\right)-\varphi \left(y\right)\right|}^2}{t^{n+{\gamma }_2}}\text{d}x\text{d}y}}\right)}^{1/2}\end{array}$

其中 $\tilde{B}$ 是球 $B$ 的固定扩张。

因此， ${\Vert \varphi \Vert }_{Q_{{\gamma }_1}^{{\gamma }_2}\left({ℝ}^n\right)}\le {\Vert \varphi \Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{n∕2}^2\left({ℝ}^n\right)}$。

另外，对 $0<{\epsilon }_1<{\epsilon }_2$，有

$\left|\langle {\pi }_{\psi }^{{\epsilon }_1}\left(a\right)-{\pi }_{\psi }^{{\epsilon }_2}\left(a\right),\varphi \rangle \right|\le {\left({\displaystyle {\int }_{T^{{\epsilon }_1}\left(B\right)\backslash T^{{\epsilon }_2}\left(B\right)}{\left|a\left(t,x\right)\right|}^2\frac{\text{d}x\text{d}t}{t^{1-{\gamma }_2}}}\right)}^{1/2}{\Vert \varphi \Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{L}}_{n∕2}^2(\; ℝ\; n\; )}$

因此 ${\pi }_{\psi }\left(a\right)={\lim }_{\epsilon \to 0}{\pi }_{\psi }^{\epsilon }\left(a\right)$ 在 ${\stackrel{\dot{}}{L}}_{n/2}^2\left({ℝ}^n\right)$ 上成立。

这一分布支于 $\tilde{B}$ 且 $\psi$ 满足条件( [9] Definition3.13)中相同条件，所以 ${\pi }_{\psi }\left(a\right)$ 是一个 $H{H}_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1\left({ℝ}^n\right)$ 原子。

由( [9] Theorem3.9(ii))知在 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1$ 中函数 $F={\displaystyle {\sum }_j{\lambda }_j{a}_j}$ 和测试函数 $\varphi \in {\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$，可得

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left(F\left(t,\cdot \right)\ast {\psi }_t\right)\left(x\right)\varphi \left(x\right)\frac{\text{d}x\text{d}t}{t}}=\underset{j}{{\displaystyle \sum }}{\lambda }_j\langle {\pi }_{\psi }{a}_j,\varphi \rangle =\langle \underset{j}{{\displaystyle \sum }}{\lambda }_j{\pi }_{\psi }{a}_j,\varphi \rangle$

因此 ${\rho }_{\psi }\left(\varphi \right)\left(t,x\right)=\left({\psi }_t\ast \varphi \right)\left(x\right)$ 为 $T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{\infty }$ 中的函数。

所以 ${\pi }_{\psi }\left(F\right)={\displaystyle {\sum }_j{\pi }_{\psi }{a}_j}\in {\mathcal{S}}^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$ 且 ${\Vert {\pi }_{\psi }\left(F\right)\Vert }_{H{H}_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^{-1}\left({ℝ}^n\right)}\le \inf {\displaystyle {\sum }_j\left|{\lambda }_j\right|}\approx {\Vert F\Vert }_{T_{{\gamma }_1,{\gamma }_2}^1}$。

这就完成了定理5的证明。

致谢

作者衷心感谢李澎涛教授对此课题的指导与建议。