弱Gorenstein内射模

Weak Gorenstein Injective Modules

摘要: 本文研究了弱Gorenstein内射模的一些简单性质，并证明了弱Gorenstein内射模类关于正向极限封闭。

Abstract: In this paper, some simple properties of weak Gorenstein injective modules are studied and it is proved that the class of weak Gorenstein injective modules is closed about direct limit.

1. 引言

Gorenstein同调代数最早可追溯到二十世纪六十年代末，Enochs和Jenda在一般环上引入了Gorenstein内射、投射和平坦模的概念 [1] [2]。近年来，随着Gorenstein同调代数的不断发展，从而受到了许多学者的关注。2012年，Gao在文献 [3] 中引入了弱Gorenstein内射、投射和平坦模的概念，并刻画了一些特殊的环。Enochs和Jenda在文献 [4] 中给出了强余纯平坦模的概念。Wang在一般环上讨论了弱Gorenstein内射模 [5]。根据以上研究的启发，本文在Gao的基础上继续研究了弱Gorenstein内射模，并证明了弱Gorenstein内射模类关于正向极限封闭。

2. 预备知识

除非特别声明，环R是具有单位元的结合环，所以涉及的模均是酉模，ModR表示左R-模范畴。

定义2.1 [1] 称左R-模M是Gorenstein内射的，如果存在一个内射左R-模的正合序列 $I=\cdots \to I_1\to I_0\to I^0\to I^1\to \cdots$ 使得 $M=Ker\left(I^0\to I^1\right)$，并且对任意的内射左R-模E， $H{\text{om}}_R\left(E,I\right)$ 是正合的。

定义2.2 [2] 称左R-模M是Gorenstein平坦的，如果存在一个平坦左R-模的正合序列 $F=\cdots \to F_1\to F_0\to F^0\to F^1\to \cdots$ 使得 $M=Ker\left(F^0\to F^1\right)$，并且对任意的内射右R-模E， $E\otimes F$ 正合。

定义2.3 [3] 我们称左R-模M是弱Gorenstein内射的，如果存在一个内射左R-模的正合序列 $I=\cdots \to I_1\to I_0\to I^0\to I^1\to \cdots$ 使得 $M=Ker\left(I^0\to I^1\right)$。

定义2.4 [4] 我们称左R-模M是强余纯平坦模，如果对任意的内射右R-模I，使得 $T{\text{or}}_i^R\left(I,M\right)=0$。

3. 主要结果

引理3.1 [5] 设M是内射左R-模，则以下表述等价：

1) M是弱Gorenstein内射模；

2) 存在一个左R-模的正合序列 $\cdots \to I_1\to I_0\to M\to 0$，其中对任意的 $i\in Z$， $I_i$ 是内射的；

3) 存在一个左R-模的正合序列 $0\to L\to I_0\to M\to 0$，其中 $I_0$ 是内射的，L是弱Gorenstein内射的。

命题3.2 设 $0\to M\to N\to E\to 0$ 是一个左R-模的正合序列。若M是弱Gorenstein内射模且E是内射的，则N是弱Gorenstein内射的。

证明：因为M是弱Gorenstein内射的，所以由引理3.1知存在一个左R-模的正合列 $0\to M\to I\to L\to 0$，其中I是内射的且L是弱Gorenstein内射的。考虑如下推出图：

在中间行正合列 $0\to I\to D\to E\to 0$ 中，因为I与E是内射的，所以D也是内射的。在中间列正合列 $0\to N\to D\to L\to 0$ 中，L是弱Gorenstein内射模，D是内射模，那么根据引理3.1知N是弱Gorenstein内射的。

命题3.3 设 $0\to M^{\prime }\to M\to M^{″}\to 0$ 是左R-模的正合序列。若 $M^{\prime }$ 和 $M^{″}$ 是弱Gorenstein内射模，则M是弱Gorenstein内射模。

证明：因为 $M^{″}$ 是弱Gorenstein内射模，所以由引理3.1知存在一个左R-模的短正合列 $0\to M^{″}\to I\to N\to 0$，其中I是内射的且N是弱Gorenstein内射模。考虑 $M\to M^{″}$ 和 $M^{″}\to I$ 的拉回：

在行正合列 $0\to M^{\prime }\to E\to I\to 0$ 中， $M^{\prime }$ 是弱Gorenstein内射模且I是内射模，那么由命题3.2知E是弱Gorenstein内射模，在列正合列 $0\to M\to E\to N\to 0$ 中，E和N是弱Gorenstein内射左R-模，令 $M=K\text{er}\left(E\to N\right)$，那么M是弱Gorenstein内射模。

推论3.4 设 $0\to M\to I_1\to I_2\to N\to 0$ 是左R-模的正合序列。如果 $I_1$ 和 $I_2$ 是弱Gorenstein内射模，那么有正合列 $0\to M\to G\to E\to N\to 0$ 和 $0\to M\to I\to D\to N\to 0$，其中E和I是内射左R-模，G和D是弱Gorenstein内射的。

证明：因为 $I_2$ 是弱Gorenstein内射模，所以由引理3.1 (3)知存在一个左R-模的短正合列 $0\to I_3\to E\to I_2\to 0$，其中E是内射的且 $I_3$ 是弱Gorenstein内射的。令 $H=\mathrm{Im}\left(M\to I_1\right)$ 考虑以下交换图：

在列正合列 $0\to I_3\to G\to I_1\to 0$ 中，由条件知 $I_3$ 和 $I_1$ 是弱Gorenstein内射左R-模，根据命题3.3得 $G$ 是弱Gorenstein内射模。那么有以下交换图：

其中 $E$ 是内射模， $G$ 是弱Gorenstein内射模。同理可证在正合列 $0\to M\to I\to D\to N\to 0$ 中， $I$ 是内射的左R-模， $D$ 是弱Gorenstein内射的。

命题3.5 设R是交换环。如果 $M$ 是弱Gorenstein内射左R-模，那么对任意的平坦左R-模 $F$， $Ho{m}_R\left(F,M\right)$ 是弱Gorenstein内射左R-模。

证明：设 $M$ 是弱Gorenstein内射模，则存在一个内射左R-模的正合序列

$I=\cdots \to I_1\to I_0\to I^0\to I^1\to \cdots$

使得 $M=K\text{er}\left(I^0\to I^1\right)$，于是

$\cdots \to Ho{m}_R\left(F,I_1\right)\to Ho{m}_R\left(F,I_0\right)\to Ho{m}_R\left(F,I^0\right)\to Ho{m}_R\left(F,I^1\right)\to \cdots$

是正合的且由文献 [6] 定理3.44知对任意的 $i\in Z$， $H{\text{om}}_R\left(F,I_i\right)$ 和 $H{\text{om}}_R\left(F,I^i\right)$ 是内射的。因此 $H{\text{om}}_R\left(F,M\right)=K\text{er}\left(Ho{m}_R\left(F,I^0\right)\to Ho{m}_R\left(F,I^1\right)\right)$，可证 $H{\text{om}}_R\left(F,M\right)$ 是弱Gorenstein内射模。

称环R是左IF环。如果每个内射左R-模是平坦的。

推论3.6 设R是交换的IF环。如果 $M$ 是弱Gorenstein内射左R-模，那么对任意的内射左R-模 $E$， $Ho{m}_R\left(E,M\right)$ 是弱Gorenstein内射左R-模。

证明：证明过程与命题3.5类似。

我们称环R是Gorenstein环，如果它是双边Noether环且它作为模时有有限的自内射维数。若它的自内射维数为n，则环R是n-Gorenstein环。

命题3.7 设R是n-Gorenstein环，则以下条件等价：

1) $M$ 是弱Gorenstein内射右R-模；

2) $M$ 是Gorenstein内射右R-模；

3) $M^{\text{+}}$ 是Gorenstein平坦左R-模；

4) ${\left(M^{\text{+}}\right)}^{\text{+}}$ 是Gorenstein内射右R-模；

5) $M^{\text{+}}$ 是强余纯平坦左R-模。

证明： $(2)\Rightarrow (1)$ 显然的。

$(1)\Rightarrow (2)$ 由文献 [3] 注2.11可证。

$(2)\Rightarrow (3)$ 由文献 [7] 推论10.3.9可证。

$(3)\Rightarrow (4)$ 假设 $M^{\text{+}}$ 是Gorenstein平坦左R-模，那么存在一个平坦左R-模的正合序列

$F=\cdots \to F_1\to F_0\to F^0\to F^1\to \cdots$

其中 $M^{+}=Ker\left(F^0\to F^1\right)$。于是

$F^{\text{+}}=\cdots \to {\left(F_1\right)}^{\text{+}}\to {\left(F_0\right)}^{\text{+}}\to {\left(F^0\right)}^{\text{+}}\to {\left(F^1\right)}^{+}\to \cdots$

是正合的，其中对任意的 $i\in Z$， ${\left(F_i\right)}^{+}$ 与 ${\left(F^i\right)}^{+}$ 是内射右R-模。又因为

$\cdots \to F_1\to F_0\to M^{+}\to 0$

是正合的，所以

$0\to {\left(M^{+}\right)}^{+}\to {\left(F_0\right)}^{\text{+}}\to {\left(F_1\right)}^{+}\to \cdots$

是正合的且 ${\left(M^{+}\right)}^{+}=Ker\left({\left(F_0\right)}^{+}\to {\left(F_1\right)}^{+}\right)$。下证对任意的内射右R-模E使得 $Ho{m}_R\left(E,F^{+}\right)$ 正合。因为

$\cdots \to E\otimes F_1\to E\otimes F_0\to E\otimes F^0\to E\otimes F^1\to \cdots$

是正合的，于是

$\cdots \to {\left(E\otimes F_1\right)}^{\text{+}}\to {\left(E\otimes F_0\right)}^{\text{+}}\to {\left(E\otimes F^0\right)}^{\text{+}}\to {\left(E\otimes F^1\right)}^{\text{+}}\to \cdots$

是正合的，我们可以构造同构映射

$\eta :H\text{om}\left(E\otimes F,Q/Z\right)\to Hom\left(E,Ho{m}_R\left(F,Q/Z\right)\right)$

因此我们可以得到

$\cdots \to Hom\left(E,{\left(F^1\right)}^{\text{+}}\right)\to Hom\left(E,{\left(F^0\right)}^{\text{+}}\right)\to Hom\left(E,{\left(F_0\right)}^{\text{+}}\right)\to Hom\left(E,{\left(F_1\right)}^{\text{+}}\right)\to \cdots$

是正合的，即 ${\left(M^{\text{+}}\right)}^{\text{+}}$ 是Gorenstein内射右R-模。

$(4)\Rightarrow (5)$ 因为 ${\left(M^{\text{+}}\right)}^{\text{+}}$ 是Gorenstein内射右R-模。那么存在正合列

$0\to {\left(M^{+}\right)}^{+}\to {\left(F_0\right)}^{\text{+}}\to {\left(F_1\right)}^{+}\to \cdots$

且每个 ${\left(F_i\right)}^{+}$ 是内射右R-模且

$0\to Hom\left(E,{\left(M^{+}\right)}^{+}\right)\to Hom\left(E,{\left(F_0\right)}^{+}\right)\to Hom\left(E,{\left(F_1\right)}^{+}\right)\to \cdots$

是正合的。那么对所有的 $i\ge 1$， $Ex{t}^i\left(E,{\left(M^{+}\right)}^{+}\right)=0$。因此我们有 $To{r}_i{\left(E,M^{+}\right)}^{+}\cong Ex{t}^i\left(E,{\left(M^{+}\right)}^{+}\right)=0$。即 $To{r}_i\left(E,M^{+}\right)=0$，可证 $M^{\text{+}}$ 是强余纯平坦左R-模。

$(5)\Rightarrow (3)$ 设R是n-Gorenstein环，那么对任意的内射右R-模 $E$， $Pd\left(E_R\right)\le n$。因为当 $i\ge n+1$ 时， $To{r}_i\left(E,M^{+}\right)=0$。作 $M^{\text{+}}$ 的平坦分解

$\cdots \to F_1\to F_0\to M^{+}\to 0$

其中对任意的 $i\ge Z$， $F_i$ 是平坦模。那么

$\cdots \to E\otimes F_1\to E\otimes F_0\to E\otimes M^{+}\to 0$

是正合的。同理作 $M^{\text{+}}$ 的余真的右平坦分解

$0\to M^{+}\to F^0\to F^1\to \cdots$

其中对任意的 $i\ge Z$， $F^i$ 是平坦模。那么

$0\to E\otimes M^{+}\to E\otimes F^0\to E\otimes F^1\to \cdots$

是正合的。因此可以得到正合序列

$\cdots \to E\otimes F_1\to E\otimes F_0\to E\otimes F^0\to E\otimes F^1\to \cdots$

因此 $M^{\text{+}}$ 是Gorenstein平坦左R-模。

定理3.8 设R是任意环。若 $M_0\to M_1\to M_2\to \cdots$ 是弱Gorenstein内射左R-模构成的序列，则正向极限 $\underset{\to }{Lim}{M}_n$ 是弱Gorenstein内射的。

证明：结合文献 [8]，我们只要证明弱Gorenstein内射模类在良序正向极限下封闭。设 ${\left(M_n\right)}_{n<\lambda }$ 是一个弱Gorenstein内射模良序正向系统。我们假设 ${\left(M_n\right)}_{n<\lambda }$ 是连续的。如果 $\omega$ 是 $\omega <\lambda$ 的极限序，那么 $\underset{\to }{Lim}{M}_n=M_{\omega }$。利用超限归纳法证明 $\underset{\to }{Lim}{M}_n$ 是弱Gorenstein内射的。

当 $\lambda =n=1$ 时， $\underset{\to }{Lim}{M}_n=M_1$ 是弱Gorenstein内射的，结论成立。假设当 $\lambda =n<\omega$ 时， $\underset{\to }{Lim}{M}_n=M_{n-1}$ 是弱Gorenstein内射的，下证当 $\lambda =\omega$ 时， $\underset{\to }{Lim}{M}_n\left(n<\omega \right)$ 是弱Gorenstein内射的。

因为 $M_0$ 是弱Gorenstein内射的，所以有正合列

$0\to M_0\to I_0^0\to I_0^1\to I_0^2\cdots$

其中对任意的 $i\ge 0$， $I_0^{\text{i}}$ 都是内射的，令 $K_0^i=Ker\left(I_0^i\to I_0^{i+1}\right)$。那么由文献 [2] 推论2.11知 $K_0^i$ 是弱Gorenstein内射的且 $i=0$ 时 $K_0^0=M_0$。作 $M_0\to M_1$ 和 $M_0\to I_0^0$ 的推出图：

在行正合列 $0\to M_1\to E\to K_0^1\to 0$ 中， $M_1$ 和 $K_0^1$ 是弱Gorenstein内射的，结合命题3.3得 $E$ 是弱Gorenstein内射的。因此存在正合列

$0\to E\to I_0^1\to N\to 0$

其中 $I_1^0$ 是内射的， $N$ 是弱Gorenstein内射的。考虑以下推出图：

在列正合列 $0\to K_0^1\to K_1^1\to N\to 0$， $K_0^1$ 和 $N$ 是弱Gorenstein内射左R-模，同理可得 $K_1^1$ 也是弱Gorenstein内射的。那么通过态射 $M_0\to M_1$，可诱导出以下正合列的态射：

同理，我们可通过态射 $K_0^1\to K_1^1$ 诱导出以下正合列的态射：

其中 $I_1^1$ 是内射的， $K_1^2$ 是弱Gorenstein内射的。继续重复上述过程，我们可得到以下交换图：

其中每行都正合，对任意的 $i\ge 0,j\ge 0$， $I_j^i$ 是内射的左R-模。因此上述每一列又是一个正向系，所以我们可获得一个正合列

$0\to \underset{\to }{L\text{im}}{M}_n\to \underset{\to }{L\text{im}}{I}_n^0\underset{\to }{\to L\text{im}}{I}_n^1\to \cdots$

其中 $\underset{\to }{Lim}{I}_{\text{n}}^i$ 是内射的。由引理3.1(2)知 $\underset{\to }{Lim}{M}_n$ 是弱Gorenstein内射的。