1. 引言
众所周知,所有可积方程都有孤子解,这反映了自然界中一种常见的非线性现象 [1]。孤立子 [2] [3] [4] [5] 理论的研究对非线性偏微分方程有重要意义。近来,越来越多的研究者已经注意到精确解的研究,如有理解、怪波解和呼吸波解 [6] [7] [8] [9] [10],它们可以在某些方向上指数地定位解。研究已经发现许多可积方程具有精确解,例如KP方程 [11],非线性薛定谔方程 [12] 和Boussinesq方程 [13]。本文研究的是(2 + 1)维Sawada-Kotera方程
(1)
它由Konopelchenko和Dubrovsky首次提出 [14],其中u是变量x,y,t的函数。
本文的结构如下:
第2章给出了几种转换波。首先,我们推导出(2 + 1)维Sawada-Kotera方程的孤立波解和一阶呼吸波解。然后,我们利用转换条件得到转换波。第3章研究了方程(1~2)的转换波的时变性质。通过分析孤立波源和周期波源的相移,我们发现叠加区域随时间而变化,这导致了转换波形状的变化。第4章为结论。
2. 转换波
首先,我们给出以下变换 [1]
(2)
其中,
是一个未知的实函数。将方程(2)代入方程(1),得到双线性式 [1]:
(3)
其中,
和
表示Hirota双线性算子被定义为 [15]
它的N-孤立波解为
(4)
其中,
(5)
和
是自由常数。
考虑
,取
和
为复常数,即
(6)
其中,
表示复共轭,
和
是实值的。把上式代入(4),我们得到
为
(7)
其中,
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
我们把方程(7)带入方程(4)得到呼吸波解
(13)
呼吸波解由双曲函数以及三角函数组成。双曲函数和三角函数分别决定孤立波源和周期波源的行为。因此,呼吸波可以被认为是它们的非线性组合。当波数满足
即
(14)
此时,呼吸波发展成了另一种叫做转换波的波。在这种情况下,方程(7)中的函数
被改写为
(15)
其中,
(16)
(17)
(18)
(19)
我们将方程(15)代入方程(4)得到转换波解的表达式为
(20)
当参数满足一定的物理条件时,转换波可以被展示为M型孤子(见图1)、振荡W型(M型)孤子(见图2,图3)、多峰孤子(见图4)。(a)表示几种转换波的三维结构,(b)表示它们在y = 0处的截面图。
(a) (b)
Figure 1. M-shaped soliton. The parameters are
图1. M型孤子。参数为
(a) (b)
Figure 2. The oscillating W-shaped soliton. The parameters are
图2. 振荡W型孤子。参数为
。
(a) (b)
Figure 3. Theoscillating M-shaped soliton. The parameters are
图3. 振荡M型孤子。参数为
(a) (b)
Figure 4. The multi-peak soliton. The parameters are
图4. 多峰孤子。参数为
3. 时变性质
转换波的孤立波源和周期波源的相位如下
(21)
(22)
它们之间的相位差是
与时间变量t有关。因此,这些转换波的形状随时间而变化。
本节介绍W型或M型孤子和振荡W型或M型孤子的时变性质。图5(a)~(c)是M型或W型孤子在三个不同时刻的密度图。图5(d)是它们在三个不同时刻的截面图,从中我们看到W型孤子和M型孤子交替变换。图6(a)~(c)是振荡M型或振荡W型孤子在三个不同时刻的密度图。图6(d)是它们在三个不同时刻的截面图,从中我们看出转换波有明显的时变性质。
(a) (b) (c)(d)
Figure 5. The time-varying property of M-shaped solitons
图5. M型孤子的时变性质
(a) (b) (c)(d)
Figure 6. The time-varying property of oscillating W-shaped solitons
图6. 振荡W型孤子的时变性质
4. 结论
本文研究了(2 + 1)维Sawada-Kotera方程的不同类型的转换波,包括M型孤子(见图1)、振荡W型或M型孤子(见图2和图3)和多峰孤子(见图4)。另外,我们讨论了几种转换波的时变性质(见图5和图6)。我们发现叠加区域随时间而变化,这造成转换波发生形变。
致谢
本文作者衷心感谢审稿人的意见和建议。