1. 引言
假设
的取值为非负整数,用
表示t时刻超临界分枝过程的粒子数,则从一个祖先出发的过程可以用以下递归关系表示:
(1.1)
其中
表示t-s时刻第i个个体在t时刻产生的粒子数,
是独立同分布的随机变量,并且具有相同的母函数
,
;
也是i.i.d。并且具有相同的母函数
,
。此外
和
独立。由于我们考虑的是上临界的情况,即是
,其中
。根据Harris变换 [1],我们可以把
转化为
的情况。所以不失一般性,在之后的文章中我们假设
。
特别地,如果
,即没有移民加入的情形,那么
退化为上临界分枝过程,记为
,根据 [2] 可知,存在非负的规范化序列
使得
当
(1.2)
其中
是一个鞅。
如果考虑加入移民,即存在一些时刻s,使得
。根据Seneta [3] 可知,对于(1.2.1)定义的带移民的超临界分枝过程
,仍存在非负的规范化序列
使得
当
(1.3)
而且,文献 [3] 中还提出超临界分枝过程和带移民的超临界分枝过程的
是相同的,并且满足对
都存在着与
相关的整数
,满足
(1.4)
其中
,
为非负常数。本文中我们取
。
注1.1根据 [3] 只要移民满足
总能找到规范化函数
,使其满足式(1.3),而不用对移民分布做任何限制。所以我们默认本文中所取得
都满足式(1.3)。
为了研究方面,我们引入
的Q-矩阵
。
其中:
,
,
,
。
如果用
来表示带移民的超临界分枝过程
的母函数,则
(1.5)
而且
。
为了叙述的方便,下面我们回忆
已知的衰减速率和收敛性质:
命题1.1 (Liu [4] 和Ney [5] )假设
,定义
,
。
当
时,
(1.6)
上述的收敛对任意的
是一致的,K为
上的任一闭子区间。并且
和
分别满足下列泛函方程:
,
,
,
;
,
,
,
。
另外,
和
可以分别表示为级数
和
。
由于直接求
的大偏差有些困难,所以在本章的证明中,我们做如下变换:
(1.7)
其中
。
本节我们主要研究
其中引入的移民不全为0。我们关心粒子数
的大偏差,即在
和
满足多种矩条件下,对于
,和
时研究下列式子的大偏差,
下面是本文的主要定理。
定理1.1 假设对于
,
和
。则对于一些
我们有
(1.8)
其中,
,
是引理2.2中定义的。
定理1.2 假设对于固定的
和
,存在常数
,在
和
时满足
和
,则(1.8)成立。
推论1.1 假设对于
和
,
,则(1.8)成立。
定理1.3 假设对于
和
,
,则存在
满足
定理1.4假设对于
和
,
,则存在
和
满足
2. 预备知识
在开始定理证明之前,我们先介绍一些证明过程中用到的引理或性质,这样可以避免证明的繁琐。
引理2.1假设
,
和
,如果
存在,则对于
,我们有
。
引理2.2对于
,
存在,并且当
时,
成立。再者
满足下式:
(2.1)
并且
。
证明:根据Kolmogorov向前方程,
(2.2)
当
时,
也就是
因此
当
时,
也就是
根据引理2.1知:
当
时,
也就是
因此
再者,
因此,
令
,
注意到,
这里
是独立同分布的并且它的母函数是
,
也是独立同分布的并且它的母函数是
。
性质2.1假设
和
,
是通过
生成的
代数。则
是一个上鞅并且几乎处处收敛到随机变量K。
证明:根据
的定义可知,对于
,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x195_hanspub.png)
因此
是上鞅。我们知道
当且仅当
和
,所以
,则
是一个可积的上鞅,并且几乎肯定收敛到r.v.K。
根据
的定义可知,
。定义
和![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x205_hanspub.png)
为了计算的方便,我们将研究
和
之间的关系。假设
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x208_hanspub.png)
显然,
在上增加
并且
。此外,对于
,因为
,我们有
;对于
,因为
,我们有
。因此,k的迭代
在
中不增,在
中不减(相对于n)。
性质2.2如果
和
,假设
,则对于
,当
,
并且
(2.3)
这里的
是下式的单根,
(2.4)
(2.5)
证明:因为
时
。我们知道对于
和
,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x235_hanspub.png)
因此
的定义是在
,并且当
时
。当
时,因为
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x241_hanspub.png)
所以
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x242_hanspub.png)
这就意味着当
时
。定义
。再者当
时,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x247_hanspub.png)
因此
a.s., ![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x249_hanspub.png)
当
时,
。因此我们可知
也就是当
时
。现在,对于
时,存在
使得
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x257_hanspub.png)
因此,
存在。
再者,
满足(2.3)~(2.5)。所以当![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x260_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x261_hanspub.png)
当
时
,
再者
和
。
因为当
时
。因此
。最后,我们很容易看出(2.3)~(2.5)解的唯一性。
性质2.3假设
时
。则
(2.6)
其中
表示对t取整。
证明:当
时,由于
,则
,
假设
时成立,
。
然后,对于
,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x279_hanspub.png)
因此(2.6)得证。
3. 定理证明
定理1.1的证明:由于
可以定义为:
(3.1)
其中
和
时独立同分布的,因此
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x284_hanspub.png)
对于固定的
,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x286_hanspub.png)
其中
和
是任意常数。因此
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x289_hanspub.png)
因为
和
,所以
。我们可以得出当
和
时,存在
和
使得
和![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x298_hanspub.png)
因此存在
和
使得
时,
。根据马尔科夫不等式,我们知道存在
和
,使得
根据引理(2.2),
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x306_hanspub.png)
证毕。
定理1.2的证明:当
时,
等价于
。基于这个事实和定理的假设,对于
存在另外的
使得
。不失一般性,我们用
定义
,因此
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x315_hanspub.png)
注意到
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x316_hanspub.png)
通过对收敛定理的简单修改,可以证明
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x317_hanspub.png)
当
时,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x319_hanspub.png)
因此,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x320_hanspub.png)
因为
,如果下式成立则证明将是完整的。
(3.2)
其中
。
对于固定的
,令
是
关于
的反函数。可以明显看出当
时
。注意到
,所以,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x331_hanspub.png)
其中
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x332_hanspub.png)
由于
,而且
满足
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x335_hanspub.png)
根据假设
,则对于
和
,我们能够找到
满足
。因此对于
,
,
这意味着
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x343_hanspub.png)
所以
(3.3)
当
时,有
(3.4)
我们可以看出(3.3)和(3.4)暗示着(3.2),证毕。
推论1.1的证明:由于
,对于任意
有
。因此对于
,存在
和
使得
。根据马尔科夫不等式,可得
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x354_hanspub.png)
根据假设,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x355_hanspub.png)
而且对于任意的
,存在常数
使得
。另外
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x359_hanspub.png)
定理1.3的证明:不失一般性,我们假设对任意的
有
。首先我们证明
(3.5)
由于
等价于
,而且
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x365_hanspub.png)
上式中用到
。因此(3.5)成立。根据性质2.3,当
时,
,![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x369_hanspub.png)
再者,当
根据性质2.3
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x371_hanspub.png)
由于
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x372_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x373_hanspub.png)
因此当
时,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x375_hanspub.png)
对于
,当
时我们可得
。根据性质2.2
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x379_hanspub.png)
并且上式是正的和有限的。因此我们能找到
使得
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x381_hanspub.png)
定理1.4的证明:根据定理1.3,我们先给出一个估计。假设当
时
。因此对于
,
和
。如果
是U的独立同分布副本并且
,I和
是同分布的变量,则当
时,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x391_hanspub.png)
注意到
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x392_hanspub.png)
我们有
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x393_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x394_hanspub.png)
令
,则
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x396_hanspub.png)
对于
,我们知道
。因此
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x399_hanspub.png)
注意到
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x400_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x401_hanspub.png)
其中
是
粒子中第j种粒子在
时刻的种群大小,
是第j个原始父变量在t时刻下降线上的极限随机变量,
和I是同分布变量。根据独立性可知,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x407_hanspub.png)
其中,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x408_hanspub.png)
另外,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x409_hanspub.png)
因此,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x410_hanspub.png)
当
,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x412_hanspub.png)
因此,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x413_hanspub.png)
其中
。对于任意的
,
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x416_hanspub.png)
选择
,则
。因此
![](//html.hanspub.org/file/23-1251271x419_hanspub.png)
其中
。类似的方法可以证明
的成立,证毕。