具有临界增长的分数阶带有磁场的SchrO^¨dinger方程解的多重性

Multiplicity for FractionalSchrO^¨dinger Equation with Magnetic Fields and Critical Growth

摘要: 本文研究了下列具有临界增长的含磁场的分数阶Schrödinger方程解的多重性 其中ε > 0 是参数，s∈(0,1)，N≥3 ，(-Δ)_A^s 是分数阶的磁拉普拉斯算子，V∈C(ℝ^N ,ℝ)和A∈C^0,α (ℝ^N,ℝ^N),α∈(0,1]是磁位势。在V的局部条件下以及ε充分小时，本文利用变分方法、截断技巧、Nehari流形方法和Ljusternik-Schnirelmann理论得到了上述方程解的多重性。

Abstract: In this paper, we investigate the multiplicity for fractional Schrödinger equation with magnetic fields and critical growth where ε > 0 is a parameter, s∈(0,1) , N ≥ 3 ,(-Δ)_A^s is the fractional magnetic Laplacian operators,V ∈C (ℝ^N ,ℝ) and A∈C^0,α (ℝ^N,ℝ^N),α ∈(0,1] is magnetic potential.Under a local condition on the potential V and ε is sufficiently small, we obtain some multiplicity results by variational methods, truncated techniques, Nehari manifold method and the Ljusternik-Schnirelmann theory.

1. 绪论现状

1.1. 研究背景及现状

Schrödinger方程是量子力学的基本方程，是1926年奥地利理论物理学家薛定谔提出的，用来描述量子力学系统的波函数或者态函数的偏微分方程。它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用，文献 [1] [2] 大量说明。近年来，随着科学技术和现代数学基础理论的不断发展，分数阶磁拉普拉斯算子在各领域中频繁出现，已经引起了许多学者的关注。分数阶Schrödinger方程是分数阶量子力学中的重要方程之一，被应用在很多领域，比如薄障碍问题、控制系统、晶体错位等，已经成为了新的研究趋势之一。

d’Avenia和Squassina [3] 研究了下列方程基态解的存在性

${\epsilon }^{2s}{\left(-\Delta \right)}_{A/\epsilon }^{s}u+V\left(x\right)u=f\left({\left|u\right|}^2\right)u,x\in {ℝ}^N,$ (1.1)

此时 $\epsilon =1$，V是一个常数。Zhang，Squassina和Zhang [4] 证明了山路解的存在性。当电势 $V\left(x\right)$ 满足Rabinowitz [5] 提出的下列条件时

$\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim \inf }V\left(x\right)>\underset{x\in {ℝ}^N}{\inf }V\left(x\right),$ (1.2)

Ambrosio [6] 得到了问题(1.1)在连续非线性项f具有临界增长和超临界增长的假设下非平凡弱解的存在性和集中性。2011年，Alves和Figueiredo [7] 等数学工作者研究了下列一个带磁场的非线性Schrödinger方程，并将其解的数目与其势能达到最小值的集合的拓扑结构联系起来

$ih\frac{\partial \psi }{\partial t}={\left(\frac{h}{i}\nabla -A\left(z\right)\right)}^2\psi +U\left(z\right)\psi -f\left({\left|\psi \right|}^2\right)\psi ,z\in {ℝ}^N,$

其中 $t\in ℝ$， $N\ge 2$， $\psi \left(x\right)\in ℂ$，h是普朗克常数， $U\left(z\right)$ 是实电势， $A:{ℝ}^N\to {ℝ}^N$ 是磁位势，非线性项 $f\in C^1\left(ℝ,ℝ\right)$ 是超线性函数。Schrödinger算子被定义为

${\left(\frac{h}{i}\nabla -A\left(z\right)\right)}^2\psi :=-h^2\Delta \psi -\frac{2h}{i}A\cdot \nabla \psi +{\left|A\right|}^2\psi \text{div}A.$

2016年，Figueiredo和Siciliano [8] 利用Neari流形方法、Ljusternik-Schnirelmann理论和Morse迭代证明了下列分数阶Schrödinger方程在 ${ℝ}^N$ 上，当 $\epsilon \to 0^{+}$ 时，正解的多重性

$\begin{array}{l}{\epsilon }^{2s}{\left(-\Delta \right)}^{s}u+V\left(z\right)u\\ =f\left(u\right),u\left(z\right)>0,\end{array}$

其中 $N>2s$， $0<s<1$。 ${\left(-\Delta \right)}^s$ 是分数阶拉普拉斯， $f\in C^1\left(ℝ,ℝ\right)$。2017年，Ambrosio [9] 进一步研究了上述方程在超临界情况下正解的多重性。同一年，Ambrosio和d’Avenia [10] 利用变分方法、罚函数方法、Ljusternik-Schnirelmann理论，研究了下列分数阶带磁次临界增长Schrödinger方程

${\epsilon }^{2s}{\left(-\Delta \right)}_{A/\epsilon }^{s}u+V\left(x\right)u=f\left({\left|u\right|}^2\right)u,x\in {ℝ}^N,$

其中 $\epsilon >0$ 是一个参数， $s\in \left(0,1\right)$， $N\ge 3$， $A\in C\left({ℝ}^N,{ℝ}^N\right)$ 是连续势， $f:ℝ\to ℝ$ 是一阶连续函数。分数阶拉普拉斯算子定义为

${\left(-\Delta \right)}_A^{s}u\left(x\right)=c_{N,s}\underset{r\to 0}{\lim }{\displaystyle {\int }_{B_r^c\left(x\right)}\frac{u\left(x\right)-{\text{e}}^{i\left(x-y\right)\cdot A\left(\frac{x+y}{2}\right)}u\left(y\right)}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}y},c_{N,s}:=\frac{4^s\Gamma \left(\frac{N+2s}{2}\right)}{{\pi }^{N/2}\left|\Gamma \left(-s\right)\right|}.$

2018年，Ambrosio [11] 进一步利用变分方法和Ljusternik-Schnirelmann理论，研究了下列带有泊松项的临界增长的磁分数阶Schrödinger方程解的存在性和集中性

${\epsilon }^{2s}{\left(-\Delta \right)}_{A/\epsilon }^{s}u+V\left(x\right)u+{\epsilon }^{-2t}\left({\left|x\right|}^{2t-3}\ast {\left|u\right|}^2\right)u=f\left({\left|u\right|}^2\right)u+{\left|u\right|}^{2_s^{\ast }-2}u,x\in {ℝ}^3,$

其中 $\epsilon >0$ 是一个参数， $s\in \left(\frac{3}{4},1\right)$， $t\in \left(0,1\right)$， $2_s^{\ast }=\frac{6}{3-2s}$ 是临界指数， $V:{ℝ}^3\to ℝ$ 是正连续势， $A:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ 光滑磁位势且 $f\in C^1\left(ℝ,ℝ\right)$。2020年，Ji和Rădulescu [12] 结合变分方法、罚函数方法和Ljusternik-Schnirelmann理论，证明了下列非线性磁Schrödinger方程解的多重性

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{\epsilon }{i}\nabla -A\left(x\right)\right)}^{2}u+V\left(x\right)u=f\left({\left|u\right|}^2\right),x\in {ℝ}^N\left(N\ge 2\right),\\ u\in H^1\left({ℝ}^N,ℂ\right),\end{array}$

其中 $\epsilon >0$ 是正参数， $V:{ℝ}^N\to ℝ$ 是连续函数，磁位势 $A:{ℝ}^N\to {ℝ}^N$ 是Hölder连续且 $f\in C\left(ℝ,ℝ\right)$。

1.2. 研究内容以及预备知识

本文受 [6] [11] 影响，主要研究了下列方程在 ${ℝ}^N$ 上解的多重性

${\epsilon }^{2s}{\left(-\Delta \right)}_{A/\epsilon }^{s}u+V\left(x\right)u=f\left({\left|u\right|}^2\right)u+{\left|u\right|}^{2_s^{\ast }-2},x\in {ℝ}^N.$ (1.3)

其中令非线性项 $f\in C^1\left(ℝ,ℝ\right)$，当 $t\le 0$ 时， $f\left(t\right)=0$ 且满足下列性质：

(h₁) $\underset{t\to 0}{\lim }f\left(t\right)=0$ ；

(h₂) 存在常数 $C_0>0$ 和 $q,p\in \left(2,2_s^{\ast }\right)$，使得对任意的 $t\ge 0$ 都有；

$f\left(t\right)\ge C_0{t}^{\frac{q-2}{2}},\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{f\left(t\right)}{t^{\frac{p-2}{2}}}=0;$

其中 $2_s^{\ast }=\frac{2N}{N-2s}$ 是Sobolev临界指数；

(h₃) 存在 $\theta \in \left(2,p\right)$，使得对任意的 $t>0$ 都有

$0<\frac{\theta }{2}F\left(t\right)\le tf\left(t\right),$

其中 $F\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(\tau \right)\text{d}\tau$ 是h的原函数；

(h₄) $f\left(t\right)$ 在 $\left(0,\infty \right)$ 上是单调递增的。

而且在本论文中，我们假设位势V满足下列条件：

(V₁) $\underset{x\in {ℝ}^N}{\inf }V\left(x\right)=V_0>0$ ；

(V₂) 存在一个有界开集 $\Lambda \subset {ℝ}^N$ 使得

$0<V_0=\underset{x\in \Lambda }{\inf }V\left(x\right)<\underset{x\in \partial \Lambda }{\min }V\left(x\right).$

观察到

$M:=\left\{x\in \Lambda :V\left(x\right)=V_0\right\}\ne \varnothing .$

本文的主要定理如下：

定理1.1 假设V满足(V₁)，(V₂)且f满足(h₁)~(h₄)，则对任意 $\sigma >0$，使得

$M_{\sigma }:=\left\{x\in {ℝ}^N:\text{dist}\left(x,M\right)<\sigma \right\}\subset \Lambda ,$

存在 ${\epsilon }_{\sigma }>0$，使得对任意 $\epsilon \in \left(0,{\epsilon }_{\sigma }\right)$，问题(1.3)有至少 $ca{t}_{M_{\sigma }}\left(M\right)$ 个非平凡解

下面给出本文将要用到的一些基础知识。

当 $A=0,0<s<1$ 时，定义分数阶Sobolev空间如下：

$H^s\left({ℝ}^N,ℝ\right)=\left\{u\in L^2\left({ℝ}^N,ℝ\right):{\displaystyle {\iint }_{{ℝ}^{2N}}\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y<\infty }\right\}.$

定义Gagliardo半范数如下：

${\left[u\right]}_s^2={\displaystyle \int {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{2N}}\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right)\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}}.$

定义空间 $H^s\left({ℝ}^N,ℝ\right)$ 的范数为

${\Vert u\Vert }_{H^s}^2={\Vert u\Vert }_{L^2}^2+{\left[u\right]}_s^2.$

当 $A\ne 0,0<s<1$ 时，定义复空间 $L^2\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ 的内积为

${\langle u,v\rangle }_{L^2}=\Re \left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}u\bar{v}}\text{d}x\right)$

定义Gagliardo半范数如下：

${\left[u\right]}_{s,A}^2={\displaystyle \int {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^{2N}}\frac{{\left|u\left(x\right)-u\left(y\right){\text{e}}^{iA\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot \left(x-y\right)}\right|}^2}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}}.$

定义 ${\mathcal{D}}_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ 空间如下

${\mathcal{D}}_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)=\left\{u\in L^{2_s^{\ast }}\left({ℝ}^N,ℂ\right){\left[u\right]}_{s,A}<\infty \right\},$

定义分数阶磁Sobolev空间如下：

$H_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)=\left\{u\in L^2\left({ℝ}^N,ℂ\right):{[u]}_{s,A}<\infty \right\}.$

显然 $H_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ 是Hibert空间，赋予下列的实标量内积

${\langle u,v\rangle }_{s,A}={\langle u,v\rangle }_{L^2}+\Re {\displaystyle {\iint }_{{ℝ}^{2N}}\frac{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right){\text{e}}^{iA\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot \left(x-y\right)}\right)\overline{\left(v\left(x\right)-v\left(y\right){\text{e}}^{iA\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot \left(x-y\right)}\right)}}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}.$

定义空间 $H_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ 的范数为

${\Vert u\Vert }_{H_A^s}^2={\Vert u\Vert }_{L^2}^2+{\left[u\right]}_s^2.$

引理1.2.1 (嵌入定理) [3] 对任意 $r\in \left[2,2_s^{\ast }\right]$，空间 $H_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ 可以连续嵌入到空间 $L^r\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ ；对任意 $r\in \left[1,2_s^{\ast }\right)$ 和紧集 $O\subset {ℝ}^N$，空间 $H_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ 可以紧嵌入到空间 $L^r\left(O,ℂ\right)$。

引理1.2.2 (反磁不等式) [3] 对任意 $u\in H_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)$，有 $u\in H_A^s\left({ℝ}^N,ℂ\right)$ 且有下列不等式成立

${\left[\left|u\right|\right]}_s\le {\left[u\right]}_{s,A}.$

引理1.2.3 (Ljusternik-Schnirelmann theory) [13] 令 $\mathcal{M}$ 是一个光滑的Banach-Finsler流形。假设泛函 $J\in C^1\left(\mathcal{M},ℝ\right)$ 且下有界，满足(PS)_c条件，则J有至少 $ca{t}_{\mathcal{M}}\left(\mathcal{M}\right)$ 个临界点。

定义1.2.1 [13] 设X是一个拓扑空间， $A\subset X$ 是一个闭子集。则称

${\text{cat}}_X\left(A\right):=\inf \left\{k\in N\cup \left\{+\infty \right\}|\exists k个可收缩闭集F_1,\cdot \cdot \cdot ,F_k,使得A\subset {\displaystyle {\cup }_{i=1}^k{F}_i}\right\}$

为A在X中的Ljusternik-Schnirelmann畴数。

定义1.3.2 [13] 称一个集合F在M中是可收缩的，如果 $\exists \eta :\left[0,1\right]\times M\to M$ 使得 $\eta \left(0,\cdot \right)=i{d}_M$ 和 $\eta \left(1,F\right)=$ 一个点集。

注记1.2.1 因为 $s\in \left(0,1\right)$ 是固定的，为了简便，我们将 ${[\cdot ]}_s$ 和 ${[\cdot ]}_{s,A}$ 分别记为 $[\cdot ]$ 和 ${[\cdot ]}_A$。

2. 临界问题解的多重性

2.1. 辅助问题解的多重性

首先通过 $u\left(x\right)\mapsto u\left(\epsilon x\right)$ 的变量替换，我们可以看到方程(1.3)与下列问题等价

${\left(-\Delta \right)}_{A_{\epsilon }}^{s}u+V_{\epsilon }\left(x\right)u=f\left({\left|u\right|}^2\right)u+{\left|u\right|}^{2_s^{\ast }-2}u,x\in {ℝ}^N,$ (2.1)

其中 $A_{\epsilon }\left(x\right):=A\left(\epsilon x\right)$， $V_{\epsilon }\left(x\right):=V\left(\epsilon x\right)$。然后利用截断技巧处理问题。

固定常数 $k>1$ 和 $a>0$ 使得 $f\left(a\right)+a^{\frac{2_s^{\ast }-2}{2}}=\frac{V_0}{k}$，我们引入方程

$\tilde{f}\left(t\right):=\{\begin{array}{l}f\left(t\right)+{\left(t^{+}\right)}^{\frac{2_s^{\ast }-2}{2}},t\le a;\\ \frac{V_0}{k},t>a,\end{array}$

且

$g\left(x,t\right)={\chi }_{\Lambda }\left(x\right)\left(f\left(t\right)+{\left(t^{+}\right)}^{\frac{2_s^{\ast }-2}{2}}\right)+\left(1-{\chi }_{\Lambda }\left(x\right)\right)\tilde{f}\left(t\right).$

其中 ${\chi }_{\Lambda }$ 是 $\Lambda$ 上的特征函数，记 $G\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(\tau \right)\text{d}\tau$。

显然，我们根据假设(h₁)~(h₄)，经过标准计算容易得到 $g\left(x,t\right)$ 满足下列条件：

(k₁) 对任意 $x\in {ℝ}^N$，都有 $\underset{t\to 0}{\lim }g\left(x,t\right)=0$ ；

(k₂) 对任意 $x\in {ℝ}^N$ 和 $t>0$，有 $g\left(x,t\right)\le f\left(t\right)+t^{\frac{2_s^{\ast }-2}{2}}$ ；

(k₃) (i) 对任意 $x\in \Lambda$ 和 $t>0$，有 $0\le G\left(x,t\right)\le g\left(x,t\right)t\le \frac{V\left(x\right)}{k}t$ ；

(ii) 对任意 $x\in {ℝ}^N\backslash \Lambda$ 和 $t>0$，有 $0\le G\left(x,t\right)\le g\left(x,t\right)t\le \frac{V\left(x\right)}{k}t$ ；

(k₄) (i) 对任意 $x\in \Lambda$，有 $t\mapsto g\left(x,t\right)$ 在 $\left(0,+\infty \right)$ 上是单调递增的；

(ii) 对任意 $x\in {ℝ}^N\backslash \Lambda$，有 $t\mapsto g\left(x,t\right)$ 在 $\left(0,+\infty \right)$ 上是单调递增的。

然后考虑下列辅助问题

${\left(-\Delta \right)}_{A_{\epsilon }}^{s}u+V_{\epsilon }\left(x\right)u=g_{\epsilon }\left(x,{\left|u\right|}^2\right)u,x\in {ℝ}^N,$ (2.2)

其中 $g_{\epsilon }\left(x,t\right):=g\left(\epsilon x,t\right)$。注意到，如果u是方程(2.2)的解使得对任意 $x\in {ℝ}^N\backslash {\Lambda }_{\epsilon }$ 有

${\left|u\left(x\right)\right|}^2\le a,$ (2.3)

其中 ${\Lambda }_{\epsilon }:=\left\{x\in {ℝ}^N:\epsilon x\in \Lambda \right\}$，则u也是原始问题的解即方程(2.1)。

显然可以找到方程(2.2)的弱解对应的是下列Euler-Lagrange泛函的临界点

$J_{\epsilon }\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }_{\epsilon }^2-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{G}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u\right|}^2\right)\text{d}x,$

其中泛函 $u:{ℝ}^N\to ℂ$ 是有定义的，且u属于空间

$H_{\epsilon }^s=\left\{u\in {\mathcal{D}}_A^s\left({ℝ}^{\mathbb{N}},ℂ\right):{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{V}_{\epsilon }}\left(x\right){\left|u\right|}^2\text{d}x<\infty \right\}$

带有实数内积为

${\langle u,v\rangle }_{H_{\epsilon }^s}=\Re \left({\displaystyle {\iint }_{{ℝ}^{2N}}\frac{\left(u\left(x\right)-u\left(y\right){\text{e}}^{iA\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot \left(x-y\right)}\right)\overline{\left(v\left(x\right)-v\left(y\right){\text{e}}^{i{A}_{\epsilon }\left(\frac{x+y}{2}\right)\cdot \left(x-y\right)}\right)}}{{\left|x-y\right|}^{N+2s}}\text{d}x\text{d}y}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{V}_{\epsilon }}\left(x\right)u\bar{v}\text{d}x\right)$

另一方面，考虑方程(2.2)的自治问题如下

$V_{0}u=f\left(u^2\right)u+{\left|u\right|}^{2_s^{\ast }-2}u,x\in {ℝ}^N,$ (2.4)

定义泛函 $I_0:H^s\left({ℝ}^N,ℝ\right)\to ℝ$，则对应能量泛函为

$I_0\left(u\right)=\frac{1}{2}{\Vert u\Vert }_0^2-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}H}\left(u^2\right)\text{d}x-\frac{1}{2_s^{\ast }}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2_s^{\ast }}}\text{d}x.$

定义泛函 $J_{\epsilon }$ 的Nehari流形如下

${\mathcal{N}}_{\epsilon }:=\left\{u\in H_{\epsilon }^s\backslash \left\{0\right\}:\langle {J^{\prime }}_{\epsilon }\left(u\right),u\rangle =0\right\},$

考虑g的增长性条件，我们可以得到存在与u无关的r使得对任意 $u\in {\mathcal{N}}_{\epsilon }$，有

${\Vert u\Vert }_{\epsilon }>r,$ (2.5)

实际上，固定 $u\in {\mathcal{N}}_{\epsilon }$，我们得到

$\begin{array}{c}0={\Vert u\Vert }_{\epsilon }^2-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{g}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u\right|}^2\right){\left|u\right|}^2\text{d}x\\ \ge {\Vert u\Vert }_{\epsilon }^2-\frac{1}{k}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{g}_{\epsilon }}\left(x\right){\left|u\right|}^2\text{d}x-C{\Vert u\Vert }_{L^{2_s^{\ast }}\left(ℝ\right)}^{2_s^{\ast }}\\ \ge \frac{k-1}{k}{\Vert u\Vert }_{\epsilon }^2-C{\Vert u\Vert }_{L^{2_s^{\ast }}\left(ℝ\right)}^{2_s^{\ast }}.\end{array}$

引理2.1.1 [6] 泛函 $J_{\epsilon }$ 满足下列性质：

(i) $J_{\epsilon }\left(0\right)=0$ ；

(ii) 存在 $\beta ,r>0$，使得对任意 $u\in H_{\epsilon }^s$ 且 ${\Vert u\Vert }_{\epsilon }=r$，都有 $J_{\epsilon }\left(u\right)\ge \beta$ ；

(iii) 存在 $e\in H_{\epsilon }^s$ 且 ${\Vert e\Vert }_{\epsilon }>r$，使得 $J_{\epsilon }\left(e\right)<0$。

由引理2.1.1，定义山路水平集为

$c_{\epsilon }=\underset{\gamma \in {\Gamma }_{\epsilon }}{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\max }{J}_{\epsilon }\left(\gamma \left(t\right)\right),$

其中

${\Gamma }_{\epsilon }=\left\{\gamma \in C\left(\left[0,1\right],H_{\epsilon }^s\right):\gamma \left(0\right)=0\text{and}{J}_{\epsilon }\left(\gamma \left(1\right)\right)<0\right\}.$

由参考文献 [14] 易得

$c_{\epsilon }=\underset{u\in H_{\epsilon }^s\backslash \left\{0\right\}}{\inf }\underset{t\ge 0}{\sup }{J}_{\epsilon }\left(tu\right)=\underset{u\in {\mathcal{N}}_{\epsilon }}{\inf }{J}_{\epsilon }\left(u\right),$

引理2.1.2 [6] 令 $c\in ℝ$ 使得 $c<\frac{s}{N}{S}_{\ast }^{\frac{N}{2s}}$，则泛函 $J_{\epsilon }$ 在空间 $H_{\epsilon }^s$ 上满足(PS)_c条件。

根据多重性的证明方法，为了获得多个临界点，我们需要将泛函 $J_{\epsilon }$ 约束在 ${\mathcal{N}}_{\epsilon }$ 上作，那接下来的紧性证明很重要。 ${\lambda }_n\to 0$。

命题2.1.1令 $c\in ℝ$ 使得 $c<\frac{s}{N}{S}_{\ast }^{\frac{N}{2s}}$，则泛函 $J_{\epsilon }$ 约束在 ${\mathcal{N}}_{\epsilon }$ 上也满足(PS)_c条件。

证明：令 $\left\{u_n\right\}\subset {\mathcal{N}}_{\epsilon }$ 使得，当 $n\to \infty$，有 $J_{\epsilon }\left(u_n\right)\to c$ 且 ${\Vert {{J^{\prime }}_{\epsilon }\left(u_n\right)|}_{{\mathcal{N}}_{\epsilon }}\Vert }_{\ast }\to 0$。则存在 $\left\{{\lambda }_n\right\}\subset ℝ$，使得

${J^{\prime }}_{\epsilon }\left(u_n\right)={\lambda }_n{T^{\prime }}_{\epsilon }\left(u_n\right)+o_n\left(1\right),$ (2.6)

其中定义 $T_{\epsilon }:H_{\epsilon }^s\to ℝ$ 为

$T_{\epsilon }\left(u\right)={\Vert u\Vert }_{\epsilon }^2-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{g}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u\right|}^2\right){\left|u\right|}^2\text{d}x.$

利用 $\langle {J^{\prime }}_{\epsilon }\left(u_n\right),u_n\rangle =0$ 和g的定义可得

$\begin{array}{c}\langle {T^{\prime }}_{\epsilon }\left(u_n\right),u_n\rangle =2{\Vert u_n\Vert }_{\epsilon }^2-2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{g^{\prime }}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4\text{d}x-2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{g}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^2\text{d}x\\ =-2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{g^{\prime }}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4\text{d}x\\ =-2{\displaystyle {\int }_{{\Lambda }_{\epsilon }\cup \left\{{\left|u_n\right|}^2\le a\right\}}{g^{\prime }}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4\text{d}x-2{\int }_{\left\{{ℝ}^N\backslash {\Lambda }_{\epsilon }\right\}\cap \left\{{\left|u_n\right|}^2>a\right\}}{g^{\prime }}_{\epsilon }\left(x,{\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4\text{d}x\\ =-2{\displaystyle {\int }_{{\Lambda }_{\epsilon }\cup \left\{{\left|u_n\right|}^2\le a\right\}}{g^{\prime }}_{\epsilon }}\left(x,{\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4\text{d}x\end{array}$ (2.7)

$\begin{array}{c}=-2{\displaystyle {\int }_{{\Lambda }_{\epsilon }\cup \left\{{\left|u_n\right|}^2\le a\right\}}\left[f^{\prime }\left({\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4+\frac{2_s^{\ast }-2}{2}{\left({\left|u_n\right|}^2\right)}^{\frac{2_s^{\ast }-2}{2}-1}2{\left|u_n\right|}^4\right]\text{d}x}\\ =-2{\displaystyle {\int }_{{\Lambda }_{\epsilon }\cup \left\{{\left|u_n\right|}^2\le a\right\}}\left[f^{\prime }\left({\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4+\left(2_s^{\ast }-2\right){\left({\left|u_n\right|}^2\right)}^{\frac{2_s^{\ast }-2}{2}-1}2{\left|u_n\right|}^4\right]\text{d}x}\\ \le 0.\end{array}$

其中上述等式的证明还用到了(h₄)， $2_s^{\ast }=\frac{2N}{N-2s}>2$ 以及

${g^{\prime }}_{\epsilon }\left(x,{\left|u_n\right|}^2\right){\left|u_n\right|}^4=0,\forall {\left|u_n\right|}^2>a.$

根据式子(2.7)和 $\left\{u_n\right\}$ 在 $H_{\epsilon }^s$ 上的有界性可知， $\langle {T^{\prime }}_{\epsilon }\left(u_n\right),u_n\rangle \to l\le 0$。如果 $l=0$，则在 $L^{2_s^{\ast }}\left({ℝ}^N,ℝ\right)$ 上，有 $\left|u_n\right|\to 0$。利用 $\langle {J^{\prime }}_{\epsilon }\left(u_n\right),u_n\rangle =0$ 可得

$0\le \left(1-\frac{1}{k}\right){\Vert u_n\Vert }_{\epsilon }^2\le o_n\left(1\right),$

这可以推断出 ${\Vert u_n\Vert }_{\epsilon }^2\to 0$，与式子(2.5)矛盾，因此 $l<\text{0}$。由式子(2.6)可得 ${\lambda }_n\to 0$，则 $\left\{u_n\right\}$ 是无约束泛函的一个(PS)_c序列。最后利用引理2.1.2，此命题得证。

推论2.1.1泛函 $J_{\epsilon }$ 在 ${\mathcal{N}}_{\epsilon }$ 上的临界点就是 $J_{\epsilon }$ 在 $H_{\epsilon }^s$ 上的临界点。

接下来要证明集合M的拓扑结构和辅助问题(2.2)正解的个数之间的关系，我们先要介绍两类映射 ${\Phi }_{\epsilon }$ 和 ${\beta }_{\epsilon }$。在此之前，先证明一个紧性结果，它对于定义映射和证明辅助问题(2.2)的解是原问题(2.1)的解是非常重要的。

命题2.1.2令 ${\epsilon }_n\to 0$ 和 $\left\{u_n\right\}\subset {\mathcal{N}}_{{\epsilon }_n}$ 使得 $J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\to c_0$。则存在 $\left({\tilde{y}}_n\right)\subset {ℝ}^N$，使得 $v_n\left(x\right)=\left|u_n\left(x+{\tilde{y}}_n\right)\right|$ 在 $H^s\left({ℝ}^N,ℝ\right)$ 中有一个强收敛子列。此外，在子列意义下，当 $n\to \infty$ 时，有 $y_n:={\epsilon }_n{\tilde{y}}_n\to y_0\in M$。

证明：类似参考文献 [6] 中的引理3.6的证明，我们可以得到此命题。

考虑 $\sigma >0$ 使得 $M_{\sigma }\subset \Lambda$，选择 $\eta \in C_0^{\infty }\left({ℝ}^{+},\left[0,1\right]\right)$ 使得

$\eta \left(t\right)=\{\begin{array}{l}1,0\le t\le \frac{\sigma }{2};\\ 0,t\ge \sigma .\end{array}$

对任意 $y\in M=\left\{x\in \Lambda :V\left(x\right)=V_0\right\}$，定义

${\Psi }_{\epsilon ,y}\left(x\right):=\eta \left(\left|\epsilon x-y\right|\right)w\left(\frac{\epsilon x-y}{\epsilon }\right){\text{e}}^{\left(i{\tau }_y\left(\frac{\epsilon x-y}{\epsilon }\right)\right)},$

这里 ${\tau }_y\left(x\right):={\displaystyle \underset{j}{\overset{N}{\sum }}{A}_j}\left(y\right)x_j$ 且 $w\in H^s\left({ℝ}^N,ℝ\right)$ 是自治问题(2.4)的一个正基态解。

令 $t_{\epsilon }>0$ 是唯一正数使得

$\underset{t\ge 0}{\max }{J}_{\epsilon }\left(t{\Psi }_{\epsilon ,y}\right)=J_{\epsilon }\left(t_{\epsilon }{\Psi }_{\epsilon ,y}\right),$

则易得 $t_{\epsilon }{\Psi }_{\epsilon ,y}\in {\mathcal{N}}_{\epsilon }$。现在我们定义映射 ${\Phi }_{\epsilon }:M\to {\mathcal{N}}_{\epsilon }$ 为

${\Phi }_{\epsilon }\left(y\right):=t_{\epsilon }{\Psi }_{\epsilon ,y},$

通过构造得，对任意 $y\in M$， ${\Phi }_{\epsilon }\left(y\right)$ 有一个紧支集且它是连续的。

注记2.1.1 为了运算简便，我们将 ${\Phi }_{{\epsilon }_n}\left(y_n\right),{\Psi }_{{\epsilon }_n,y_n}$ 和 $t_{{\epsilon }_n}$ 分别记作 ${\Phi }_n,{\Psi }_n$ 和 $t_n$。

引理2.1.3 泛函 $J_{\epsilon }$ 在 $y\in M$ 时一致满足下列极限

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{J}_{\epsilon }\left({\Phi }_{\epsilon }\left(y\right)\right)=c_0.$

证明：反证法。假设不成立，则存在 ${\sigma }_0>0$， $\left\{y_n\right\}\subset M$，取 ${\epsilon }_n\to 0$，有

$\left|J_{{\epsilon }_n}\left({\Phi }_n\right)-c_0\right|\ge {\sigma }_0.$ (2.8)

利用参考文献 [10] 和Lebesgue控制收敛定理得

${\Vert {\Psi }_n\Vert }_{{\epsilon }_n}^2\to {\Vert w\Vert }_0^2\in \left(0,\infty \right),$ (2.9)

${\Vert {\Psi }_n\Vert }_{L^{2_s^{\ast }}\left({ℝ}^N\right)}\to {\Vert w\Vert }_{L^{2_s^{\ast }}\left({ℝ}^N\right)}.$ (2.10)

另一方面，考虑 $\langle {J^{\prime }}_{{\epsilon }_n}\left({\Phi }_n\right),{\Phi }_n\rangle =0$，作变量替换 $z=\frac{{\epsilon }_{n}x-y_n}{{\epsilon }_n}$，则

$t_n^2{\Vert {\Psi }_n\Vert }_{{\epsilon }_n}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}g}\left({\epsilon }_{n}z+y_n,{\left|t_n\eta \left(\left|{\epsilon }_{n}z\right|\right)w\left(z\right)\right|}^2\right){\left|t_n\eta \left(\left|{\epsilon }_{n}z\right|\right)w\left(z\right)\right|}^2\text{d}z.$ (2.11)

如果 $z\in B_{\delta /{\epsilon }_n}\left(0\right)$，那么 ${\epsilon }_{n}z+y_n\in B_{\sigma }\left(y_n\right)\subset M_{\sigma }\subset \Lambda$。再利用函数g和 $\eta$ 的定义可得

$t_n^2{\Vert {\Psi }_n\Vert }_{{\epsilon }_n}^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}h}\left({\left|t_n\eta \left(\left|{\epsilon }_{n}z\right|\right)w\left(z\right)\right|}^2\right){\left|t_n\eta \left(\left|{\epsilon }_{n}z\right|\right)w\left(z\right)\right|}^2+{\left|t_n\eta \left(\left|{\epsilon }_{n}z\right|\right)w\left(z\right)\right|}^{2_s^{\ast }}\text{d}z.$ (2.12)

通过(h₄)和等式(2.11)，结合函数 $\eta$ 在 $B_{\delta /2}\left(0\right)\subset B_{\delta /{\epsilon }_n}\left(0\right)$ 中取值为1，得当n充分大时，有

$\begin{array}{c}{\Vert {\Psi }_n\Vert }_{{\epsilon }_n}^2=\frac{1}{t_n^2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(h\left({\left|t_n{\Psi }_n\right|}^2\right){\left|{\Psi }_n\right|}^2+{\left|t_n{\Psi }_n\right|}^{2_s^{\ast }}\right)\text{d}z}\\ \ge {\displaystyle {\int }_{B_{\sigma /\left(2{\epsilon }_n\right)}\left(0\right)}{\left|w\left(z\right)\right|}^{2_s^{\ast }}}\text{d}z\\ \ge t_n^{2_s^{\ast }-2}{\displaystyle {\int }_{B_{\delta /2}\left(0\right)}{\left|w\left(z\right)\right|}^{2_s^{\ast }}}\text{d}z\\ \ge t_n^{2_s^{\ast }-2}w{\left(\xi \right)}^{2_s^{\ast }}\left|B_{\delta /2}\left(0\right)\right|,\end{array}$ (2.13)

这里 $w\left(\xi \right)=\underset{z\in B_{\delta /2}\left(0\right)}{\min }w\left(z\right)>0$。接下来我们证明：当 ${\epsilon }_n\to 0$ 时， $t_n\to 1$。一方面，如果当 ${\epsilon }_n\to 0$ 时， $t_n\to \infty$，利用式子(2.9)、(2.10)和(2.13)得 ${\Vert w\Vert }_0^2=\infty$，这产生一个矛盾。另一方面，如果当 ${\epsilon }_n\to 0$ 时， $t_n\to 0$，根据式子(2.12)、(2.9)、(2.10)以及条件(k₁)、(k₂)得 $t_n^2{\Vert {\Psi }_n\Vert }_{{\epsilon }_n}^2\to 0$，这与等式(2.5)矛盾。总结得出：当 ${\epsilon }_n\to 0$ 时， $t_n\to t_0\in \left(0,\infty \right)$。现在对等式(2.12)两边取 $n\to \infty$，则

$t_0^2{\Vert w\Vert }_0^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(h\left({\left(t_{0}w\right)}^2\right){\left(t_{0}w\right)}^2+{\left(t_{0}w\right)}^{2_s^{\ast }}\right)\text{d}z}.$

$w\in {\mathcal{N}}_0$ 即 $\langle {I^{\prime }}_0\left(w\right),w\rangle =0$，得

${\Vert w\Vert }_0^2={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}h}\left(w^2\right)w^2\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{w}^{2_s^{\ast }}}\text{d}x.$

考虑上述两个等式，我们推断出

$0={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(h\left({\left(t_{0}w\right)}^2\right)-h\left(w^2\right)\right)w^2\text{d}x}+\left(t_0^{2_s^{\ast }-2}-1\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{w}^{2_s^{\ast }}}\text{d}x.$

再根据(h₄)得 $t_0=1$。现在对等式(2.11)两边取 $n\to \infty$，得

$\underset{n\to \infty }{\lim }{J}_{{\epsilon }_n}\left({\Phi }_n\right)=I_0\left(w\right)=c_0,$

这与式子(2.8)矛盾。因此，此引理得证。

根据上述引理，令 $\sigma >0$，取 $\rho =\rho \left(\sigma \right)>0$ 使得 $M_{\sigma }\subset B_{\rho }\left(0\right)$，先定义函数 $\Upsilon :{ℝ}^N\to {ℝ}^N$ 为

$\Upsilon \left(x\right)=\{\begin{array}{l}x,\left|x\right|<\rho ;\\ \rho x/\left|x\right|,\left|x\right|\ge \rho .\end{array}$

然后定义重心映射 ${\beta }_{\epsilon }:{\mathcal{N}}_{\epsilon }\to {ℝ}^N$ 为

${\beta }_{\epsilon }\left(u\right):=\frac{1}{{\Vert u\Vert }_{L^2\left({ℝ}^N\right)}^2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\Upsilon }\left(\epsilon x\right){\left|u\left(x\right)\right|}^2\text{d}x.$

通过Lebesgue控制收敛定理以及数列 $\left\{y_n\right\}\subset M\subset M_{\sigma }\subset B_{\rho }\left(0\right)$，易得 ${\beta }_{\epsilon }$ 在 $y\in M$ 一致满足下列极限

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }{\beta }_{\epsilon }\left({\Phi }_{\epsilon }\left(y\right)\right)=y.$ (2.14)

接下来定义Nehari流形的一个子集如下

${\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }=\left\{u\in {\mathcal{N}}_{\epsilon }:J_{\epsilon }\left(u\right)\le c_0+h_1\left(\epsilon \right)\right\},$

其中 $h_1:ℝ\to {ℝ}^{+}$，且当 $\epsilon \to 0$ 时， $h_1\left(\epsilon \right)\to 0$。实际上，固定 $y\in M$，由引理2.1.3得当 $\epsilon \to 0$ 时， $h_1\left(\epsilon \right)=\left|J_{\epsilon }\left({\Phi }_{\epsilon }\left(y\right)\right)-c_0\right|\to 0$。因此 ${\Phi }_{\epsilon }\left(y\right)\in {\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }$ 即对任意 $\epsilon >0$， ${\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }\ne \varnothing$。现在我们给出 ${\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }$ 和重心映射 ${\beta }_{\epsilon }$ 之间的关系，并加以证明。

引理2.1.4 对任意 $\sigma >0$，我们有

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{u\in {\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }}{\sup }\text{dist}\left({\beta }_{\epsilon }\left(u\right),M_{\sigma }\right)=0.$

证明：令当 $n\to \infty$ 时， ${\epsilon }_n\to 0$，则存在 $\left\{u_n\right\}\subset {\tilde{\mathcal{N}}}_{{\epsilon }_n}$ 使得

$\underset{u\in {\tilde{\mathcal{N}}}_{{\epsilon }_n}}{\sup }\underset{y\in M_{\sigma }}{\inf }\left|{\beta }_{{\epsilon }_n}\left(u\right)-y\right|=\underset{y\in M_{\sigma }}{\inf }\left|{\beta }_{{\epsilon }_n}\left(u\right)-y\right|+o_n\left(1\right).$

因此只要证明存在 $\left\{y_n\right\}\subset M_{\sigma }$，使得下式成立即可

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|{\beta }_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)-y\right|=0.$ (2.15)

利用引理1.3.1得，对任意 $t\ge 0$，有 $I_0\left(t\left|u_n\right|\right)\le J_{{\epsilon }_n}\left(t{u}_n\right)$，根据 $\left\{u_n\right\}\subset {\tilde{\mathcal{N}}}_{{\epsilon }_n}\subset {\mathcal{N}}_{{\epsilon }_n}$，可得

$c_0\le \underset{t\ge 0}{\max }{I}_0\left(t\left|u_n\right|\right)\le \underset{t\ge 0}{\max }{J}_{{\epsilon }_n}\left(t{u}_n\right)=J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\le c_0+h_1\left({\epsilon }_n\right),$ (2.16)

由此推出当 $n\to \infty$ 时， $J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\to c_0$。再利用命题2.1.1，得存在 $\left\{{\tilde{y}}_n\right\}\subset {ℝ}^N$ 使得，当n充分大时， $y_n={\epsilon }_n{\tilde{y}}_n\in M_{\sigma }$。作变量替换 $z=x-{\tilde{y}}_n$，则

${\beta }_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)=y_n+\frac{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(\Upsilon \left({\epsilon }_{n}z+y_n\right)-y_n\right){\left|u_n\left(z+{\tilde{y}}_n\right)\right|}^2\text{d}z}}{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\left(z+{\tilde{y}}_n\right)\right|}^2}\text{d}z}.$

最后根据 ${\epsilon }_{n}x+y_n\to y_0\in M_{\sigma }$，可得 ${\beta }_{{\epsilon }_n}=y_n+o_n\left(1\right)$。因此，式子(2.15)成立即此引理得证。

现在我们将证明M的拓扑结构与辅助问题(2.3)解的多重性之间的关系。

定理2.1.1 对任意 $\sigma >0$ 使得 $M_{\sigma }\subset \Lambda$，存在 ${\tilde{\epsilon }}_{\sigma }>0$ 使得，对任意 $\epsilon \in \left(0,{\tilde{\epsilon }}_{\sigma }\right)$，辅助问题(2.2)有至少 $ca{t}_{M_{\sigma }}\left(M\right)$ 个非平凡解。

证明：考虑 $\sigma >0$ 使得 $M_{\sigma }\subset \Lambda$，利用方程(2.14)，引理2.1.3以及引理2.1.4，类似参考文献 [15] 的讨论，可推断出存在 ${\tilde{\epsilon }}_{\sigma }>0$，对任意 $\epsilon \in \left(0,{\tilde{\epsilon }}_{\sigma }\right)$，映射链

$M\stackrel{{\Phi }_{\epsilon }}{\to }{\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }\stackrel{{\beta }_{\epsilon }}{\to }{M}_{\sigma }$

是有定义的且 ${\beta }_{\epsilon }\circ {\Phi }_{\epsilon }$ 同伦于恒等映射 $Id:M\to M_{\sigma }$。结合参考文献 [4] 中的引理2.2.2推断出

$ca{t}_{{\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }}\left({\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }\right)\ge ca{t}_{M_{\sigma }}\left(M\right).$ (2.17)

结合命题2.1.1和Ljusternik-Schnirelmann理论可得 $J_{\epsilon }$ 在 ${\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }$ 上存在至少 $ca{t}_{{\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }}\left({\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }\right)$ 个临界点。再利用推论2.1.1可得方程(2.2)有至少 $ca{t}_{M_{\sigma }}\left(M\right)$ 非平凡解。

2.2. 定理1.1的证明

在这一部分我们将证明我们的主要结果。实际上，我们需要证明定理2.1.1中得到的解满足不等式(2.3)即辅助问题的解在一定条件下是方程(2.1)的解。

引理2.2.1 取 ${\epsilon }_n\to 0$，令 $u_n\in {\tilde{\mathcal{N}}}_{{\epsilon }_n}$ 是方程(2.2)的一个解，则 $J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\to c_0$。而且， $v_n\left(x\right):=\left|u_n\left(\cdot +{\tilde{y}}_n\right)\right|$ 满足 $v_n\in L^{\infty }\left({ℝ}^N,ℝ\right)$ 且存在常数 $C>0$ 使得，对任意 $n\in N$，有

${\Vert v_n\Vert }_{L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)}\le C,$

这里的 ${\tilde{y}}_n$ 是由命题2.1.1给出的。进一步有

$\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\left|v_n\left(x\right)\right|=0$

证明：利用 $J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\le c_0+h_1\left({\epsilon }_n\right)$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{h}_1\left({\epsilon }_n\right)=0$ 以及引理2.1.4中的方程(2.16)，可得 $J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\to c_0$。类似参考文献 [6] 中引理2.8证明，易得 $\left\{v_n\right\}$ 在 $L^{\infty }\left({ℝ}^N,ℝ\right)$ 上是有界的且 $\underset{\left|x\right|\to \infty }{\lim }\left|v_n\left(x\right)\right|=0$。

定理1.1的证明 该证明分为如下2步：

第1步：证明方程(2.2)的解是方程(2.1)的解。即取 $\sigma$ 使得 $M_{\sigma }\subset \Lambda$，证明存在 ${\hat{\epsilon }}_{\sigma }>0$ 使得对任意 $\epsilon \in \left(0,{\hat{\epsilon }}_{\sigma }\right)>0$，方程(2.2)的任意解 $u_n\in {\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }$ 都满足

${\Vert u_{{\epsilon }_n}\Vert }_{L^{\infty }\left({ℝ}^N\backslash {\Lambda }_{{\epsilon }_n}\right)}^2\le a.$ (2.18)

这里我们利用反证法。假设上式不成立，则可以找到一个序列 ${\epsilon }_n\to 0$，对任意 $u_n:=u_{{\epsilon }_n}\in {\tilde{\mathcal{N}}}_{{\epsilon }_n}$，使得

${\Vert u_n\Vert }_{L^{\infty }\left({ℝ}^N\backslash {\Lambda }_{{\epsilon }_n}\right)}^2>a.$ (2.19)

由于 $J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\le c_0+h_1\left({\epsilon }_n\right)$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }{h}_1\left({\epsilon }_n\right)=0$，根据引理2.1.4中的方程(2.16)可得 $J_{{\epsilon }_n}\left(u_n\right)\to c_0$。然后利用命题2.1.2可得，存在 ${\tilde{y}}_n\subset {ℝ}^N$ 使得对 $y_0\in M$，有 ${\epsilon }_n{\tilde{y}}_n\to y_0$。

因此，我们可以找到一个 $r>0$，使得对所有的 $n\in N$ 有 $B_r\left({\epsilon }_n{\tilde{y}}_n\right)\subset \Lambda$。也就是说对任意 $n\in N$ 当n充分大时， $B_{\frac{r}{{\epsilon }_n}}\left({\tilde{y}}_n\right)$。故

${ℝ}^N\backslash {\Lambda }_{{\epsilon }_n}\subset {ℝ}^N\backslash B_{\frac{r}{{\epsilon }_n}}\left({\tilde{y}}_n\right).$

根据引理2.2.1知存在 $R>0$ 使得对任意 $n\in N$，当 $\left|x\right|\ge R$ 有 $v_n^2\le a$，这里 $v_n\left(x\right):=\left|u_n\left(\cdot +{\tilde{y}}_n\right)\right|$。故对任意 $x\subset {ℝ}^N\backslash B_R\left({\tilde{y}}_n\right),n\in N$，有 ${\left|u_n\right|}^2\le a$。因此存在 $v\in N$，对任意 $n\ge \nu$ 和 $\frac{r}{{\epsilon }_n}>R$ 使得

${ℝ}^N\backslash {\Lambda }_{{\epsilon }_n}\subset {ℝ}^N\backslash B_{\frac{r}{{\epsilon }_n}}\left({\tilde{y}}_n\right)\subset {ℝ}^N\backslash B_R\left({\tilde{y}}_n\right),$

由此可以推断出对任意 $x\subset {ℝ}^N\backslash {\Lambda }_{{\epsilon }_n}$ 和 $n\ge \nu$，有 ${\left|u_n\right|}^2\le a$。对照方程(2.19)这就产生了一个矛盾即证明了我们的目标。现在令 ${\epsilon }_{\sigma }=\text{min}\left\{{\hat{\epsilon }}_{\sigma },{\tilde{\epsilon }}_{\sigma }\right\}$，固定 $\epsilon \in \left(0,{\epsilon }_{\sigma }\right)$，利用定理2.1.1，得方程(2.1)有至少 $ca{t}_{M_{\sigma }}\left(M\right)$ 个解。

第2步：证明方程(2.1)的解是方程(1.3)的解。如果 $u_{\epsilon }\in {\tilde{\mathcal{N}}}_{\epsilon }$ 是这些解中的一个，利用g的定义和方程(2.18)可以推断出 $u_{\epsilon }$ 也是方程(2.2)的解。现在取 ${\hat{u}}_{\epsilon }\left(x\right)=u_{\epsilon }\left(\frac{x}{\epsilon }\right)$，可以得到 $u_{\epsilon }$ 也是方程(1.3)的一个解。