1. 引言
函数逼近论是函数论中极其重要的研究领域之一。而n-宽度是逼近论的核心研究方向之一,一直被逼近论方向的研究者所重视。
1936年Kolmogorov [1] 首次提出Kolmogorov n-宽度。关于经典宽度(即最坏情形下的宽度)理论,可见Pinkus [2] 的专著。S. R. Stechkin [3] 1954年研究了在
特殊条件下有限维空间的Kolmogorov n-宽度的精确渐进阶与线性n-宽度的精确渐进阶。V. M. Tikhomirov [4] 1976年给出了经典的非线性Alexandroff宽度
及其精确阶。R. DeVore、R. Howard及C. Micchelli [5] 1989年给出了在Sobolev空间中的经典的非线性manifold n-宽度
及其精确渐进阶。De Vore、G. Kyriazis、D. Leviatan及V. Tikhomirov和Dinh Dung及Vu Quoc Thanh [6] [7] 分别讨论了经典的Sobolev函数类和Besov函数类的逼近特征,得出非线性Alexandroff
宽度和非线性Alexandroff
宽度的精确渐进阶。本文继以上工作,研究无穷维序列空间在一致框架下的非线性manifold n-宽度
,并得到其精确渐进估计。
2. 预备知识
2.1.
定义
设W是赋范线性空间X的有界子集,
W在X中的非线性manifold n-宽度
定义为:
其中,下确界是取遍所有的连续映射
和
2.2.
及
的相关定义及性质
2.2.1.
定义
设
,令
可知
为
上的一个范数,
为Banach空间。
2.2.2.
具有以下性质
1) 任意的n,令
(
的第n个分量是1,其余分量是0),则
为
的一个基。
2)
按照内积
构成一Hilbert空间,且
为其一组标准正交基,其中
,
。
3)
对于
,令
及
易见
为
上的范数,同时
为Banach空间。
为
中单位球。
令
,(当
时,令
)。
对
由holder不等式有:
则有
。于是无穷维序列空间(
)
有界。
2.2.3.
的定义
设
,
则
为
上的范数,
为
依范数
所构成的Banach空间。
表示
的单位球。
为
的基,
(第n个分量是1,其余分量是0)。
3. 相关符号
1)
表示非负常数,其仅与参数
有关;
2) 正函数
和
,
,如果存在正常数
满足条件
,则记
,若存在正常数
满足条件
,则记
;
3) 若
且
,则记
。
4. 引理
4.1. [8] [9] [10] 若
且
则有
4.2. 离散化引理
对
,记
。则对任意的
,且
有
。用
表示
中元素的个数,则
。
以下我们总是假设
。则
为
的Schauder基。从而对
,有
。
对
记
,则
。
令
则对
有
(1)
且
(2)
因此
为
到
上的等距同构映射。
4.2.1. 上界的离散化定理
设
。
是非负的整数序列,且
,
。则
。
证明:
由(1)得
有
,
对
由(2)得
,
于是
。
由非线性n宽度定义可见存在连续映射:
和
,且
,
使得任意的
,有
(3)
现规定:
.
定义连续映射:
和
有
对
的
根据
的定义和(3)有
即得到定理上界的离散化定理。
4.2.2. 下界的离散化定理
有
,其中
。
证明:由
定义得
对
,由(1)得
对
,则由(2)得
。
5. 结论的证明
5.1.
首先构造序列,对
,令
,
则
。其中,
,则有
满足引理4.2.1上界的离散化定理的条件。
所以由引理4.1有限维非线性空间
及上界的离散化定理4.2.1,且当
时,
及
。
现给出
的上界估计:
现估计
的下界:
由
及
知,存在一个正常数
,使得
。
由引理4.1有限维非线性空间
及下界的离散化定理44.2.2得
综上,当
时
。
5.2.
同5.1构造
使得
。其中,
,则有
满足引理4.2.1上界的离散化定理的条件。
所以由引理4.1有限维非线性空间
及上界的离散化定理4.2.1,且当
时,
及
,则有
的上界估计:
接下来估计
的下界:
由
及
知,同样存在一个正常数
,使得
。
由引理4.1有限维非线性空间
及下界的离散化定理4.2.2得
综上,当
时
。
基金项目
2020年“西华杯”大学生创新创业项目2020108。