1. 引言
理想序列偶主要被广泛地应用于信息通讯系统、导航、编码以及密码学等众多领域 [1]。然而,直接进行序列偶的构造,其难度颇大。因此,众多学者利用差集、几乎差集、差集偶、几乎差集偶 [2] [3] [4] [5] 等一些工具去构造序列偶。在组合设计理论中,经典分圆类是通常会被应用到差集、几乎差集、差集偶、几乎差集偶的构造中。经典分圆类的一个重要推广是广义分圆类。Whiteman [6]、Ding和Helleseth [7]、Fan和Ge [8]、Zeng等 [9] 给出了各种广义分圆类。Yi和Xie [10] 给出了周期为
的广义分圆序列的定义。本文对环
的广义分圆类,给出若干分圆类的性质,并给出两个猜想。
2. 差集偶的概念
定义 [1] 设
是模
的剩余类环,
是
的两个子集,
,
,
。若对
中的任意非零元r,方程
恰有
个解对
,其中
,
,则称
是
上的一个
差集偶。
3. 基于
的广义分圆类构造差集偶
以下介绍
广义分圆类 [7]。
记奇素数
,f是一个偶数。g是模
的原根,则g或
是奇数,且是模
的一个公共原根。下面用g来表示这个公共原根,且不妨假设g为奇数 [11]。对于任意的j,令
,其中,
是欧拉函数。
对于
,
或
定义
由定义可知
只取决于同余类
,若
,则
。
对于
,
或者
定义
对于
的
阶广义分圆类,可知
中
构成。从而有
,
。
引理1 设
。若
为奇数,则
;若k为偶数,则
。
证:因为
,所以存在
,使得
。
若k为奇数,因g是奇数,故
为偶数,因此
,又
,所以
,
,即
。
若
为偶数,
为偶数,因此
。显然
,所以
,
,即
。
定理1 记
,
。设
且
。
1) 若s为偶数,则
,其中
,
;
2) 若s为奇数,则
。
证:设
,
,
,其中
分奇偶共四种情况,我们仅以x为偶数y为奇数或偶数这两种情况进行证明,其余两种情况类似。
设x为偶数,y为偶数。由引理1,
,
。若
,则
为偶数,且
,此时,
。
若
,则
为偶数,令
,则
为奇数,且
,
,此时,
,
。
设
为偶数,y为奇数。若
,则
,令
,则
为奇数,且
,此时,
。若
,则
,令
,则
为偶数,而
。证毕。
Ding和Helleseth [7] 给出了
上的分圆数,刻画了可逆元素在分圆类的差的集合中出现的次数。这里给出更加详细的刻画。记
是一个多重集,
,则有如下结论:
定理2 若
,则
;
若
,则
;
证:根据文献 [7],
,其中,
。若
,即
,则
,因此
。此时,
。若
是不可逆元,则
,此时
为奇数,因此,
,
而根据文献 [7],
,
,
;当
,
。代入即可得证。
环上的广义分圆类常用来构造差集、差族等。对于环
上的广义分圆类,通过数值实验,我们给出如下两个猜测:
猜想1
构成参数为
的差集偶。
例1 当
时,
。此时
,
。
经验证,
是环
上一个参数为
的差集偶。
例2 当
时,
。此时
,
。
经验证,
是环
上一个参数为
的差集偶。
例3 当
时,
。根据猜想1可得到
经验证,
是环
上一个参数为
的差集偶。
例4 当
时,
。此时
,
。
经验证,
是环
上一个参数为
的差集偶。
猜想2
构成参数为
的差集偶。
例5 当
时,
。此时
,
。
经验证,
是环
上一个参数为
的差集偶。
例6 当
时,
。根据猜想2可得到
,
。
经验证,
是环
上一个参数为
的差集偶。
例7 当
时,
。根据猜想2可得到
,
。
经验证,
是环
上一个参数为
的差集偶。
基金项目
辽宁省教育厅一般项目[LQ2020020]。