1. 引言
Adler等人 [1] 引入拓扑熵来描述系统的复杂性,它同时是拓扑共轭的不变量。后来Bowen [2] 利用生成集和分离集定义了度量空间上一致连续映射的拓扑熵,并证明了对于紧致度量空间,他们与Adler等人定义的拓扑熵一致。拓扑压作为拓扑熵的自然推广,是动力系统的重要的概念。Ruelle [3] 首先引入可扩动力系统上的可加势函数的拓扑压的概念。Walters [4] [5] 随后将这一概念扩展到紧致空间上的连续变换。由于拓扑压在动力系统中有着重要的作用,一些研究者试图找到一些适用于其他系统的拓扑压的推广(见 [6] - [14] )。
1980年,Feldman [15] 对于
和
之间的相互作用引入了r熵的概念。在此基础上,引入了连续映射的拓扑r熵和测度r熵的概念。
设
是紧致度量空间,f是X连续自映射。对于有限集合A,我们用
表示A的基数。对于
,
,
,
,
,有
如果对于任意
,存在
,使得
,则称F为X的
生成集。
用
表示X的任何
生成集的最小基数。Ren等人在文 [16] 中定义
和
叫做f的拓扑r熵。
定理1.1:( [16] , Corollary 2.5)设
是度量为d的紧致度量空间,
是一个连续映射。则有
其中
为f的拓扑r压。
Zhu等人 [17] 引入了紧致度量空间上自由半群作用的拓扑r熵的概念,并证明了:
定理1.2:( [17] , Theorem 1.1)设
是在紧致度量空间
上的连续自映射。则有
其中
定义为
的拓扑熵;
定义为
的拓扑r熵( [17],定义3.1)。
在文 [18] 中,Chen进一步介绍了紧致度量空间中拓扑r压的概念,并给出了相关的性质。
对于
,有
在文 [18] 中,Chen定义了
叫做f的拓扑r压。
定理1.3:( [18] , Corollary 3.2.2)设
是在紧致度量空间
上的一个连续映射,且
,则有
其中
定义为f的拓扑压。
在上述结果的基础上,我们引入了自由半群作用的拓扑r压的概念,并给出了这个概念的一些性质。本文的主要结果是以下两个定理。
定理1.4:设
是在紧致度量空间
上的连续自映射,且
,则有
其中
表示
的拓扑压;
表示
的拓扑r压。
定理1.5:设
是在紧致度量空间
上的连续自映射,且
,则有
本文概要如下。在第二章,我们作一些初步的介绍。在第三章中,我们给出了自由半群作用的拓扑r压的定义,并给出了它们的一些性质。在第四章中,我们给出定理1.4的证明。在第五章,我们给出定理1.5的证明。
2. 预备知识
2.1. 自由半群作用的拓扑压
设
为符号
的所有有限词的集合。对于每一个
,
表示w的长度,即w中符号的个数。若
,则定义
为
在w的右边写成的词。根据这个合成律
是一个有m个生成子的自由半群。记
,如果存在一个词
使
。
由符号
构成的所有双边无穷序列的集合表示为
,即:
定义
上的度量,
,其中
。
显然,
关于这个度量是紧致的。Bernoulli转移
是同胚,由下面公式给出,
假设
,a, b为整数,且
。如果
,则记
。
设X为紧致度量空间,d为X上的度量。
是在紧致度量空间
上的连续映射,若
,
,其中对所有
有
,定义
。显然,对所有
,有
。
对任意
,定义X上的度量
显然,如果
,对两点任意
有
。
对任意
,
,
,
表示
。
设
,E是X的子集,若对任意的
,
,由
则称E是X的
分离集。
在文 [10] 中,Lin等人定义
设
,F是X的子集,若对任意的
存在
,由
则称F是X的
张成集。
并利用该公式定义了自由半群作用的拓扑压
注2.1:当
,它与文 [4] [5] 定义的拓扑压相一致。有时,为了强调度量d,将拓扑压记作
。
2.2. 斜积变换
设
是在紧致度量空间
上的连续自映射。设映射
,我们把有如下形式的映射称为斜积变换,
,
其中
,
,
表示Bernoulli转移。若
,则
表示
,
,
表示
,以此类推。对于
,定义
。设
,有
将
表示
中F关于g的拓扑压。
在文 [10] 中,Lin等人证明了下面这个定理
定理1.3:( [10] , Theorem 1.1)斜积变换F关于g的拓扑压,满足
其中
上的度量D定义为
同时
上的度量
定义为
,
。
3. 自由半群作用的拓扑r压
在这一章中,我们介绍了自由半群作用的拓扑r压的定义,并给出了这个概念的一些性质。
设
是在紧致度量空间
上的连续自映射。对
,
,
以及
,令
若X的子集F满足,对任意
,存在
,使得
,则称F是X的
张成集,令
注3.1:设
表示紧致度量空间X的
张成集的最小基数,令
1) 若
,有
。因此,
2)
。因此,
3)
,因此,
定义 3.1:对于
,
,自由半群作用的拓扑r压定义为
有时候为了强调度量d的,我们可以写成
。
注3.2:显然
,若
,它与文 [18] 中定义的拓扑r压相一致,若
,它与文 [17] 中定义的自由半群作用的拓扑r熵一致。
现在我们简单介绍一下分离集。
若X的子集E满足对任意
,
,使得
则称E是X的
分离集。
故
注3.3:若
有
,则
故
有时候为了强调度量d的,我们可以写成
。
引理3.1:对任意
,
,
,有
1)
,
2) 令
,若
,则
证明:1) 假设E是X一个具有最大基数的
分离集,则E也是X的一个
张成集。
假设E不是X一个
张成集,则至少存在一个点
,使得对所有
,有
即
这与最大基数的分离集相矛盾。
我们由此得到一个
分离集必然是
张成集,则有
故
2) 为了证明这个结果,我们先假设E是X的一个
分离集,F是X的一个
张成集。定义映射
,映射
满足任意
,
,使得
。我们可知
是单射(详细可见文 [17] )。令
,使得
令
,有
,记
,其中
。故
因此
故
定理3.2:设
是紧致度量空间,
是X到自身的连续映射,且
,有
证明:显然由引理3.1可推得定理3.2。
注3.4:若
,由定理1.3和定理3.2可得
。
现在我们来研究
和
的相关性质。
定理3.3:设
是紧致度量空间
上的连续映射。若
,
,
,且
,则有下面的成立
1)
。
2)
可得
,特别地
3)
要么是有限值,要么是无穷。
4)
。因此若
,则
。
5)
是凸的,且若
,则
也是凸的。
6)
。
7)
。
8) 若
,有
;若
,有
。
9)
。
证明:定理(1)~(8)的证明类似于文 [10] 中Lin等人的证明,因此我们省略证明。然后证明(9)
对于
,设E是X的一个
分离集,由于
,故
因此
则
由(8)我们可以得到
因此
现在我们来研究一下
关于
的性质。
定理3.4:若
,
都是紧致度量空间。假设
是
上的连续映射,
是
上的连续映射。当
是一个连续满射,对任意
使得
,则有
若
是同胚的,则有
证明:设
,取
使得
可得
。当
,
。若F是
的一个
张成集,则
是
的一个
张成集。故
因此,我们有
即
我们再取对数和极限(
,有
),得到
若
是同胚,我们可以应用上面的
替换
推得
。
定理3.5:设
是以
为度量的紧致度量空间,令
是
上的一组有限连续映射,其中
,
。
若
,
满足
,或
满足
,则
其中
,对任意
有
;d是乘积空间
上的度量,其定义为
,其中
定义为
。
证明:首先
是
上的一组有限连续映射,对任意
,存在唯一的
和唯一的
使得对任意
,满足
。因此
。
另一方面,如果
,存在唯一
,使得对任意
,满足
,因此
。
因此对任意
,映射
是一一对应的。
对于
和
,存在
、
使得
。
如果
是
的
分离集,对任意的
,我们有
令
则
。
类似地,如果
是
的
分离集,对任意的
,我们有
令
则
。
因此对任意
,
,我们有
令
,其中
,则
和
由于
,则
因此,
是
的一个
分离集。由于
我们得到
则有
因此
故
因为
,令
,可以得到
类似的方法可以证明
的情况。
到目前为止我们还不能证明其另一不等式,即
。
4. 定理1.4的证明
在这一章中,我们给出定理1.4的证明。该定理将自由半群作用的拓扑r压与拓扑压联系起来。
在证明定理1.4之前,我们利用类似于Bufetov [19] 和Lin等人 [10] 的方法,得到了以下引理。
引理4.1:对任意
,
,
,且
,我们有
其中F是斜积变换,
是一个取决于
和r的正常数。
证明:令
是一个正整数且满足
和
,则
中有N个长度为
的不同的词。记为
。对每个
,选取
,使得
。显然对于
,
是
的一个
张成集。定义
,令
表示度量空间X的
张成集的最大基数,
。假设点
构成X的
张成集,故这些点
构成
的
张成集,因此,有
其中
是一个取决于
和r的正常数。因此
定理1.4的证明:对于
,
,由注3.2,有
则
从引理4.1我们可以得到
因此
从定理1.3和定理2.1,可得
因此
故
推论4.2:令
是紧致度量空间,
是X上到自身的连续映射,则
证明:从定理3.2,我们可以得到
则
由定理1.4可得
则
这就证实了极限的存在,所以
5. 定理1.5的证明
在证明定理1.5之前,我们应该做了些工作。
令
是紧致度量空间,假设一个有m个生成子的自由半群作用于X和生成子
都是X上的同胚。我们容易看到斜积变换
也是同胚。
我们可以看到斜积逆变换
,
满足
其中
,
,若
,
表示
;
,
表示
,以此类推。既有,
为了证明定理1.5,我们给出了
的下列性质。
定理5.1:斜积逆变换的拓扑压
满足
其中
上的度量D定义为
上的度量
满足
,
。
下面两个引理的证明与Lin等人的 [10] 的证明类似,因此我们省略了证明。
引理5.2:对任意
,
,则
引理5.3:对任意
,
,则
其中
是取决于
的正常数。
定理5.1的证明:从引理5.2,我们得到
从引理5.3,我们可以得到
证明完成。
现在我们来证明定理1.5。
定理1.5的证明。因为F是同胚,我们有
从定理5.1和定理2.1,我们可以得到
因此
注5.1:在文 [11] 中,作者给出了一个例子来说明文章 [11] 意义下的拓扑压不具有类似定理1.5的性质。
基金项目
国家自然科学基金资助的课题(批准号:11771149, 11671149);广东省自然科学基金项目 2018B0303110005。