1. 引言及主要结果
本文中,
与
为复平面
上的非常数亚纯函数,a,b为任意有穷复数,m,k为正整数。若
与
的零点相同(不计重数),则称a为
与
的IM分担值;若
与
的零点相同,且满足每个零点的重级相同,则称a为
与
的CM分担值;
表示
的零点重级
以m重来计数,
以k重计数的计数函数;
表示
的零点重级大于k的零点的精简计数函数数;
表示
的零点,但不是
与
的零点的精简计数函数;
表示任意满足
的量。
1977年,Rubel和Yang证明了下述结果:
定理A [1] 若非常数整函数f与
具有两个有穷的CM分担值,则
。
1979年,Mues和teinmetz把定理A中的CM分担值的条件换成IM分担值,得到下述结果:
定理B [1] 若非常数整函数f与
具有两个有穷的IM分担值,则
。
1980年,Gundersen将定理A中的整函数替换为亚纯函数,得到以下结果:
定理C [1] 若f与
以0,
为CM分担值,则
。
1983年,Mues和Gunderen研究了比较一般的情形,得到下述结论:
定理D [1] 若f与
具有两个有穷的CM分担值,则
。
1986年,Frank和Ohlenroth考虑将定理D中一阶导数扩展到它的高阶导数,他们得到:
定理E [1] 若f与
具有两个有穷的CM分担值,则
。
1986年,Jank,Mues,and Volkmann得出以下两个结论:
定理F [1] 若f,
,
以
为CM分担值,则
。
定理G [2] 设
为非常数整函数。若f与
以
为IM分担值,且当
时,
,则
。
1995年,H. Zhong考虑了高阶导数得到以下结论:
定理H [3] 设
为非常数整函数。若f与
以
为CM分担值,且当
时,
,则
。
围绕定理C与定理D、定理H前人得出以下问题:
问题1 [1] 设
为非常数亚纯函数,
为有穷复数,
为两个正整数,且
。若f,
,
以
为CM分担值,则我们是否能得到
。
例1. 设
为两个正整数,且
。若
,
,则f,
,
以
为CM分担值,但是
。
然而,f为有穷级整函数时,当
,问题1是成立的。1998年,C. C. Yang就证明以下结论:
定理I [4] 设
为有穷级整函数,a为有穷复数,k为正整数。若f,
,
以a为IM分担值,
,
以a为CM分担值,则
。
2001年,Ping和C. C. Yang参考了问题1来减弱了定理H的条件,得到以下结果:
定理J [5] 若f,
,
以
为CM分担值,则
。
2009年,Al-Khaladi围绕定理B得出以下结论:
定理K [6] 若f与
以
为CM分担值,且
,则
或
,其中
,c为常数。
定理L [6] 若f与
以
为IM分担值,且
,则
或
,其中
,c为常数。
2013年,Al-Khaladi根据定理K与定理L考虑了高阶导数得出以下结论:
定理M [7] 若f与
以
为CM分担值,且
,则
。
定理N [7] 若f与
以
为IM分担值,且
,则
。
在本文中,我们围绕以上定理,得到下面的结果:
定理1设
为非常数亚纯函数。k为大于1的整数。若f与
以1为IM分担值,
与
以1为CM分担值,且
,则
。
由定理1容易得到以下两个结论:
推论1设
为非常数亚纯函数。k为大于1的整数。若f与
以
为IM分担值,
与
以1为CM分担值,且
,则
。
推论2设
为非常数整函数。若f与
以
为IM分担值,且满足
,则
或
,其中
,c为常数。
定理2设
为非常数亚纯函数,m,k为两个大于1的整数。若f与
以1为IM分担值,
与
以1为CM分担值,且满足
,则
。
由定理2容易得到以下两个结论:
推论3设
为非常数亚纯函数,m,k为两个大于1的整数。若f与
以
为IM分担值,
与
以
为CM分担值,且满足
,则
。
推论4设
为非常数整函数,k为大于1的整数。若f与
以
为IM分担值,且
,则
。
2. 几个引理
引理1 [1] 设
为非常数亚纯函数,
为整数,则
。
引理2 [1] 设
为非常数亚纯函数,
为f的p次多项式,其系数
均为常数,
为
个判别的有穷复数,则
.
引理3 [1] 设
为p个于
内的亚纯函数,则对于
有
,
.
3. 定理证明
定理1的证明
设
。
令
, (1.1)
由引理3和(1.1)得
. (1.2)
若
为f的p重极点,则
, (1.3)
由于1为
与
的CM分担值,则
在
的零点处解析。
由
和(1.1)得
. (1.4)
当
时,由(1.1)式得
(c为非零常数)。
故
. (1.5)
当
时。
由(1.4)与(1.3),(1.2)式得
. (1.6)
由引理3和(1.5)、(1.6)得
,
,
.
以此类推下去得
. (1.7)
由定理的条件以及(1.7)得
。
定理2的证明
不妨设
。设
。
令
, (1.8)
由引理3和(1.8)得
. (1.9)
若
为f的p重极点,则
。
由于1为
与
的CM分担值,则
在
的零点处解析。
由
和(1.8)得
。
当
时,由(1.8)式得
(c为非零常数)。故
。
当
时,以下与定理1类似得到结论。