矩阵算子的广义正交问题的研究

Study on Generalized Orthogonal Problems of Matrix Operators

摘要: 本文考虑了在算子空间中，取T₁，T₂都为n × n矩阵，给出了T₁和T₂满足Birkhoff正交、等腰正交与Roberts正交的等价条件。

Abstract: This paper considers that in the operator space, taking T₁, T₂ and as n × n matrices, the equivalent conditions of T₁ and T₂ satisfying the orthogonal Birkhoff, isospheric orthogonal and Roberts are given.

1. 引言

本文将借助于赋范线性空间空间下广义正交的相关理论，探究算子空间下的广义正交的若干性质。特别是矩阵作为算子空间中的元素，取 $T_1$， $T_2$ 都为 $n\times n$ 矩阵，给出了 $T_1$ 和 $T_2$ 满足Birkhoff正交、等腰正交 [1] 与Roberts正交的等价条件。

2. 算子空间中n×n矩阵广义正交的等价条件

定义1 [2] 设X是一个赋范线性空间， $x,y\in X$，如果对于任意 $\alpha \in R$ 都有

$\Vert x+\alpha y\Vert \ge \Vert x\Vert$

则称x Birkhoff正交于y。

定义2 [3] 设X是一个赋范线性空间， $x,y\in X$，如果

$\Vert x+y\Vert =\Vert x-y\Vert$

则称x等腰正交于y。

定义3 [4] 设X是一个赋范线性空间， $x,y\in X$，如果对于任意 $\alpha \in R$ 都有

$\Vert x+\alpha y\Vert =\Vert x-\alpha y\Vert$

则称x Roberts正交于y。

定义4 [3] 295设X是一个赋范线性空间， $x,y\in X$，如果

${\Vert x+y\Vert }^2={\Vert x\Vert }^2+{\Vert y\Vert }^2$

则称x勾股正交于y。

定义5 [5] 任意给出矩阵 $A\in C^{n\times n}$，定义矩阵A的一个实函数，记作 $\Vert A\Vert$，若此函数满足：

1) 正定性： $\Vert A\Vert \ge 0$，当 $A=0$ 时等号成立。

2) 齐次性：任意给出 $k\in C,A\in C^{n\times n}$，都有 $\Vert kA\Vert =\left|k\right|\Vert A\Vert$。

3) 三角不等式：任意给出 $A,B\in C^{n\times n}$，都有 $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$。

4) 任意给出 $A,B\in C^{n\times n}$，都有 $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$。

定理1 设A和B是两个lp空间， $T_1,T_2\in \mathcal{B}\left(A,B\right)$， $T_1{\perp }_B{T}_2$ 当且仅当存在一个单位向量 $x\in A$ 有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$ 且 $\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$。

证明：首先证明充分性。假设x是空间A上的一个单位向量，对于任意的 $\lambda \in R$ 有

$\begin{array}{c}{\Vert T_1+\lambda T_2\Vert }^2\ge {\Vert \left(T_1+\lambda T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\lambda }^2{\Vert T_{2}x\Vert }^2+2\lambda \mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle \\ ={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\lambda }^2{\Vert T_{2}x\Vert }^2\ge {\Vert T_{1}x\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2\end{array}$

所以 $\Vert T_1+\lambda T_2\Vert \ge \Vert T_1\Vert$，充分性得证。

下面证明必要性。让 $T_1{\perp }_B{T}_2$，即为 $\Vert T_1+\lambda T_2\Vert \ge \Vert T_1\Vert$。对于空间A上的一个单位向量x有 $\Vert x\Vert =1$。

因为 $\Vert T_{1}x\Vert \ge \Vert T_1\Vert$，又因为 $\Vert T_{1}x\Vert \le \Vert T_1\Vert \Vert x\Vert =\Vert T_1\Vert$。所以有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$。

如果 $T_1$ 是一个半正定矩阵并且 $T_2\in \mathcal{B}\left(A,B\right)$，使得 $\Vert T_1+\lambda T_2\Vert \ge \Vert T_1\Vert$ 成立。则存在一个单位向量x使得 $T_{1}x=\Vert T_1\Vert x$ 和 $\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$。

集合 $\left\{\langle u,T_{2}u\rangle :\Vert u\Vert =1,T_{1}u=\Vert T_1\Vert u\right\}$ 是集合 $\left\{u:\Vert u\Vert =1,T_{1}u=\Vert T_1\Vert u\right\}$ 在二次形式 $u\to \langle u,T_{2}u\rangle$ 下的像，我们称之 $T_2$ 的数值范围对应于最大特征值为 $\Vert T_1\Vert$ 的 $T_1$ 的特征空间的限制，根据Hausdorff-toeplitz [6] 定理，这是一个凸集，因此集合 $\left\{\mathrm{Re}\langle u,T_{2}u\rangle :\Vert u\Vert =1,T_{1}u=\Vert T_1\Vert u\right\}$ 是一个凸集。我们得到存在一个单位向量x有

$T_{1}x=\Vert T_1\Vert x$ 和 $\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$

意味着 $\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$ 所以必要性得证。

定理2 设 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 是两个有限维Hilbert空间，让 $T_1,T_2\in \mathcal{B}\left(\mathcal{H},\mathcal{K}\right)$。 $T_1{\perp }_I{T}_2$ 当且仅当存在一个单位向量 $x\in \mathcal{H}$ 有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$， $\Vert T_{2}x\Vert =\Vert T_2\Vert$ 且 $\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$。

证明：首先我们证明充分性，假设x是空间 $\mathcal{H}$ 上的一个单位向量，有

$\begin{array}{c}{\Vert T_1+T_2\Vert }^2={\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2+2\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle \\ ={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\Vert T_1-T_2\Vert }^2={\Vert \left(T_1-T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2-2\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle \\ ={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\end{array}$

所以 ${\Vert T_1+T_2\Vert }^2={\Vert T_1-T_2\Vert }^2$ 即为 $\Vert T_1+T_2\Vert =\Vert T_1-T_2\Vert$ 因此 $T_1{\perp }_I{T}_2$ 充分性得证。

反过来我们证必要性，让 $T_1{\perp }_I{T}_2$ 即为 $\Vert T_1+T_2\Vert =\Vert T_1-T_2\Vert$ 所以有 ${\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2={\Vert \left(T_1-T_2\right)x\Vert }^2$ 整理得

$\left({\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2-{\Vert \left(T_1-T_2\right)x\Vert }^2\right)=4\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$

因此 $\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$。

对于空间 $\mathcal{H}$ 上的一个单位向量是x有 $\Vert x\Vert =1$ 因此有 $\Vert T_{1}x\Vert \le \Vert T_1\Vert \Vert x\Vert =\Vert T_1\Vert$ 又因为 $\Vert T_{1}x\Vert \ge \Vert T_1\Vert$ 所以有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$。同理可得 $\Vert T_{2}x\Vert =\Vert T_2\Vert$。因此必要性得证。

定理3 设 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 是两个有限维Hilbert空间，让 $T_1,T_2\in \mathcal{B}\left(\mathcal{H},\mathcal{K}\right)$。 $T_1{\perp }_R{T}_2$ 当且仅当存在一个单位向量 $x\in \mathcal{H}$ 有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$， $\Vert T_{2}x\Vert =\Vert T_2\Vert$ 且 $\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$。

证明：首先我们证明充分性，假设x是空间 $\mathcal{H}$ 上的一个单位向量，对于任意的 $\lambda \in C$ 有

$\begin{array}{c}{\Vert T_1+\lambda T_2\Vert }^2={\Vert \left(T_1+\lambda T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\left|\lambda \right|}^2{\Vert T_{2}x\Vert }^2+2\mathrm{Re}\tilde{\lambda }\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle \\ ={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\left|\lambda \right|}^2{\Vert T_{2}x\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\left|\lambda \right|}^2{\Vert T_2\Vert }^2\end{array}$

$\begin{array}{c}{\Vert T_1-\lambda T_2\Vert }^2={\Vert \left(T_1-\lambda T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\left|\lambda \right|}^2{\Vert T_{2}x\Vert }^2-2\mathrm{Re}\tilde{\lambda }\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle \\ ={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\left|\lambda \right|}^2{\Vert T_{2}x\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\left|\lambda \right|}^2{\Vert T_2\Vert }^2\end{array}$

所以 ${\Vert T_1+\lambda T_2\Vert }^2={\Vert T_1-\lambda T_2\Vert }^2$ 即为 $\Vert T_1+\lambda T_2\Vert =\Vert T_1-\lambda T_2\Vert$ 因此 $T_1{\perp }_R{T}_2$ 充分性得证。

反过来我们证必要性，让 $T_1{\perp }_R{T}_2$ 即为 $\Vert T_1+\lambda T_2\Vert =\Vert T_1-\lambda T_2\Vert$ 所以有 ${\Vert \left(T_1+\lambda T_2\right)x\Vert }^2={\Vert \left(T_1-\lambda T_2\right)x\Vert }^2$ 整理得

$\left({\Vert \left(T_1+\lambda T_2\right)x\Vert }^2-{\Vert \left(T_1-\lambda T_2\right)x\Vert }^2\right)=4\mathrm{Re}\tilde{\lambda }\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$

因此 $\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$。

对于空间 $\mathcal{H}$ 上的一个单位向量是x有 $\Vert x\Vert =1$ 因此有 $\Vert T_{1}x\Vert \le \Vert T_1\Vert \Vert x\Vert =\Vert T_1\Vert$ 又因为 $\Vert T_{1}x\Vert \ge \Vert T_1\Vert$ 所以有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$。同理可得 $\Vert T_{2}x\Vert =\Vert T_2\Vert$。因此必要性得证。

定理4 设 $\mathcal{H}$ 和 $\mathcal{K}$ 是两个有限维Hilbert空间，让 $T_1,T_2\in \mathcal{B}\left(\mathcal{H},\mathcal{K}\right)$。 $T_1$ 勾股正交 $T_2$ 当且仅当存在一个单位向量 $x\in \mathcal{H}$ 有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$， $\Vert T_{2}x\Vert =\Vert T_2\Vert$ 且 $\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$。

证明：首先我们证明充分性，假设x是空间 $\mathcal{H}$ 上的一个单位向量，有

$\begin{array}{c}{\Vert T_1+T_2\Vert }^2={\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2+2\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle \\ ={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2\end{array}$

因此有 ${\Vert T_1+T_2\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2$，所以 $T_1$ 勾股正交 $T_2$。充分性得证。

下面我们证必要性。让 $T_1$ 勾股正交 $T_2$，即为 ${\Vert T_1+T_2\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2$。

对于空间 $\mathcal{H}$ 上的一个单位向量是x有 $\Vert x\Vert =1$ 因此有 $\Vert T_{1}x\Vert \le \Vert T_1\Vert \Vert x\Vert =\Vert T_1\Vert$ 又因为 $\Vert T_{1}x\Vert \ge \Vert T_1\Vert$ 所以有 $\Vert T_{1}x\Vert =\Vert T_1\Vert$。同理可得 $\Vert T_{2}x\Vert =\Vert T_2\Vert$。由 ${\Vert T_1+T_2\Vert }^2={\Vert T_1\Vert }^2+{\Vert T_2\Vert }^2$ 可得

${\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2$ (1)

对于空间 $\mathcal{H}$ 上的一个单位向量是x有

${\Vert \left(T_1+T_2\right)x\Vert }^2={\Vert T_{1}x\Vert }^2+{\Vert T_{2}x\Vert }^2+2\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle$ (2)

综合(1)和(2)可以得到 $\mathrm{Re}\langle T_{1}x,T_{2}x\rangle =0$ 所以必要性得证。

3. 结论

本文讨论了在算子空间中当算子是 $n\times n$ 方阵时，算子之间的广义正交性问题。分别给出了算子之间Birkhoff正交、等腰正交与Roberts正交的等价条件。