1. 引言
1934年,在第八届斯堪的纳维亚数学家大会上,F. Marty [1] 引入了超运算的概念,进而定义了一种叫超群的代数结构。超运算是二元运算的推广,具体地,对于一个非空集合H,两个元素在超运算作用下不再是一个元素而是H的一个非空子集。1972年,Mittas [2] [3] [4] 引入了正规超群的概念,它是Marty所定义超群的一个特殊子类。作为环的推广,超环也被引入并被研究。超环有着不同的定义,主要是来自于对环的两种运算推广的不同组合。大致分为三种情况:1) 两种运算都是超运算。这种超环被DeSalvo [5] 和Barghi以及A. Asokkumar [6] 和Velrajan [7] 所研究,这种超环称为Salvo超环;2) 乘法是超运算而加法是二元运算。这种超环通常称为乘法超环,它被Rota [8] 引入并研究;3) 加法是超运算而乘法是二元运算。这种超环称为加法超环,也称为Krasner超环,它被Krasner [9] 引入并研究。近年来,超代数的研究取得了很多进展,代数中许多经典结论都可以推广到超代数中来,比如中国剩余定理,同构定理都已推广到超环上,相关的结果可以参考文献 [10] [11] [12] [13]。同时,超代数对象被发现广泛地存在于多个领域,如二次型理论 [14],MilnorK理论 [15],热带几何(tropical geometry) [16] 和数论 [17] 等领域。
另一方面,交换环上的线性代数被充分研究,它有着重要的理论和应用价值 [18]。在其中,交换环上的矩阵以及交换环上的矩阵环的理想是重要的基础。一个自然的问题就是,能否对超环上的矩阵以及超环上矩阵的超理想作研究,并得到一些好的结论,为研究超环上的线性代数奠定基础。本文在这方面作了初步的研究。
2. 超环
这一节我们先回顾一些相关的概念与性质,具体内容也可以参考文献 [13]。
定义2.1 一个Krasner超环指的是一个代数结构
,它满足如下条件:
1)
是一个正规超群,即
i)
,
;
ii)
,
;
iii) 存在
,使得
,有
;
Iv)
,使得
(元素
称为x的负元,并记为
);
v) 由
可推得
及
;
2)
是一个半群,存在一个元素0,且0关于乘法满足性质:
;
3) 乘法关于超运算加法满足分配律,即
,有
及
。
如果还满足:
4)
,有
;
则称
是交换Krasner超环。
若存在
,使得
,
,则称1是R的单位元。
注:在记号方面,把
简记为
,
简写为
。
接下来给出Krasner超环的一些简单性质。
命题2.2 在Krasner超环中,下列性质成立:
1) 零元是唯一的;
2)
;
3)
,其中
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
,有
。
特别要注意的是(7)中的等号不一定成立,即在超环中分配律成立不能得到双分配律也成立。可参见例子[6.2.1节II]。
注:从现在起,本文的Krasner超环均指含有单位元的交换Krasner超环。
定义2.3 Krasner超环
的非空子集I称为R的Krasner超理想,若满足下列条件:
1)
,有
;
2)
,有
。
下面再来介绍另一类超环:Salvo超环。Salvo超环与Krasner超环的区别在于Salvo超环的乘法运算也是超运算,定义如下:
定义2.4 一个Salvo超环指的是一个代数结构
,它满足如下条件:
1)
是一个正规超群;
2)
是一个半超群,且0关于乘法满足性质:
;
3) 超运算乘法关于超运算加法满足分配律。
若存在
,使得
,
,则称1是R的单位元。
命题2.2中的性质(1),(2),(3),(6)和(7)仍然成立,但对(4),有如下结论:
命题2.5 [6] 设
是一个Salvo超环。若
,其中
,则有
。
定义2.6 [6] 一个Salvo超环
称为准超环(quasi-hyperring),若R还满足条件:
,
。
相应地,也有Salvo超理想的概念。
定义2.7 Salvo超环
的非空子集I称为R的Salvo右(左)超理想,若满足下列条件:
1)
,有
;
2)
,有
。
当I既是R的Salvo左超理想又是R的Salvo右超理想时,称为R的Salvo双边超理想,简称为R的超理想。
注:从现在起,本文的Salvo超环均指含有单位元的Salvo超环。
类似于一般环,我们给出超环上素超理想和素超环的定义。
定义2.7 Krasner(Salvo)超环
的超理想
称为R的素超理想,若对R的超理想
,由
可得
,或
。
定义2.8 一个Krasner(Salvo)超环
称为素超环,若(0)理想是R的素超理想。
定义2.9 一个Krasner(Salvo)超环
称为单超环,若R只有平凡理想:(0)和R。
3. 超环上的矩阵及其理想
设
是一个Krasner (Salvo)超环。
定义3.1 集合
称为R上的全矩阵集,记为
。
若
,用
表示A的第i行第j列的元素。在
上定义超加法如下:
。
若
,可以定义r与A的数量积如下:
若
,可以定义A与B的超乘法如下:
。
当
时,上面定义的矩阵的乘法是
上的超乘法,即
中两个矩阵的乘积是它的一个非空子集。
关于准超环,文献 [6] 有如下结论:
引理3.2 [6,命题1.5]若
是一个准超环,则
在上面定义的超加法和超乘法运算下也是一个准超环。
定理3.3 设
是一个Krasner超环,则
是一个准超环。
证明:由命题2.2(4),Krasner超环是准超环。再由引理3.2,
是一个准超环。
命题3.4 设I是Krasner超环R的一个超理想,那么
是准超环
的超理想。
证明:
,则有
。从而,
。这表明:
。而
,显然有
,所以
是
的超理想。
下面我们证明
的超理想都具有命题3.4中
这种形式,即对
的每个超理想
,我们都存在R的一个超理想I,使得
。
先定义一类特殊矩阵
:
,显然有
。
引理3.5 关于特殊矩阵
,有如下性质:
1)
;
2) 设
,则
,有
;
3) 设
,则
,有
;
4) 设
,则
,有
。
证明:直接验证可得。
定理3.6 设R是Krasner超环,
是准超环
的一个超理想,则存在R的唯一的超理想I,使得
。
证明:令
。
1) 先证I是R的超理想。
,存在
,使得
分别是矩阵
的元素,设
,其中
。由引理3.5,
。而
,所以
。
,存在
,使得a是矩阵A的元素,设
,其中
。注意到
。而
,因此
。所以I是R的超理想。
2) 再证
。
显然
。下证反包含关系。设
,那么
,
,同时也有
。由于
,所以存在矩阵
,存在
。使得
,由引理3.5(4),有
。
从而
。所以
。
3) 最后证明超理想I的唯一性,即证:若存在R的超理想J,使得
,则
。
由I的定义,显然有
。
,存在矩阵
,存在
,使得
,由引理3.5(4),有
。
因此,
,于是
。所以
。
把R与
的理想的集合分别记为
与
,由命题3.4和定理3.6的证明过程,有如下结论:
定理3.7 设R是Krasner超环,则
是
到
的双射。
由定理3.7可直接得到如下推论。
推论3.8 设R是Krasner超环,则R是单超环当且仅当
是单超环。
推论3.9 设R是Krasner超环,则R是素超环当且仅当
是素超环。
证明:“必要性”设R是素超环。若存在
,使得
。由定理3.7,存在
,使得
。因此,
。
,注意到
。于是,
,由
的任意性
。由于R是素超环,我们有
或
。从而
或
,即
或
。所以
是素超环。
“充分性”设
是素超环。若存在
,使得
。此时,显然有
。由于
是素超环,有
或
。从而有
或
。所以R是素超环。
基金项目
海南省自然科学基金项目(编号:118MS003)。