1. 引言
文 [1] 中有这样一个定理:若
是三个整数,且
,
至少有一个不为零,则
。文 [2] 把这个定理作了推广。通过类比,本文对高等代数多项式理论中相应结果进行讨论。
2. 主要结果及应用
本文中讨论的多项式都是数域P上的多项式。在多项式理论中有这样的一个命题:
命题 若
是三个多项式,且
,
至少有一个不为零多项式,则
。
该命题的证明可参阅文 [3]。
引理 [3] 设
不全为零多项式,多项式
的首项系数为1,则
(1)
文 [3] 给出该引理的一个证明,下面再给出一个证明。
证易知
,故
另一方面,存在多项式
使得
故
于是
。因此,(1)式成立。
把以上这个命题进行推广,就可以得到如下几个定理。
定理1 设
是三个多项式,
不全为零多项式,
也不全为零多项式,且
,则
(2)
证 因
不全为零多项式,
也不全为零多项式,故
不全为零多项式,于是
与
都存在。下面首先证明
(3)
因
,故
。同理,
。又因
,故(3)式成立。
再证
(4)
由引理得
故要证(4)成立,只需证明
(5)
下面先证
(6)
当
为零多项式时,结论显然正确。下面设
不为零多项式,a为多项式
的首项系数,
。因为
,所以由引理得
于是,(6)式成立。又因
,故(5)式成立。
由(3)和(4)两式,即知(2)式成立。
定理2 设
是
个多项式,
和
不全为零多项式,
,且
则
证 对n作数学归纳法证明。
当
时,根据定理1,结论正确。
假设定理2的结论对
正确,下面由此可推出定理2的结论对n也正确。因为
和
不全为零多项式,
,所以
不全为零多项式,
不全为零多项式。设
若
的次数
,则
存在不可约因式
,从而
于是,
。由
得,
某个
。从而
,故
,这与
矛盾。故
因上式成立,故由定理1及归纳假设得
推论1 设非零多项式
两两互素,
为任意多项式,则
推论2 设非零多项式
两两互素,
为任意多项式,若
则
证 设多项式
的首项系数为
。因
故
。 又因
两两互素,故由推论1得
所以
。
定理3 设
及
是任意两组多项式,且
至少有一个不全为零多项式,
。若
,
,但有序数对
有序数对
,这里规定当且仅当
且
时有序数对
有序数对
,则
证 对m作数学归纳法。
当
时,由定理2得定理3的结论正确。假设定理3的结论对
正确,我们将由此推出定理3的结论对m也正确。因为
至少有一个不为零多项式,
,故
不全为零多项式,
不全为零多项式。设
若多项式
的次数
,则
存在不可约因式
。从而
于是,
。但
为不可约多项式,故
某个
,
某个
,于是
,
,这与已知条件
矛盾。故
。于是,由定理1,定理2及归纳假设得
推论1 设
及
是任意两组多项式,若前一组多项式中任一多项式与后一组多项式中任一多项式互素,则
与
互素。
推论2 设
及
是任意两组多项式,且多项式
两两互素,多项式
两两互素,则
推论3 设
是任意两个非零多项式,其首项系数分别为
,
,整数
,
,整数
,
其中
是互不相同的首项系数为1的不可约多项式,则
证 由推论2得,