1. 引言
Cahn-Hilliard方程最早是由Cahn和Hilliard在20世纪50年代提出的 [1],常用来描述二元合金在某种不稳定状态时相的分离和粗化现象 [2] [3] [4]。为了抑制粗化现象,Aristotelous提出修正Cahn-Hilliard方程 [5]。本文研究的具有浓度迁移率和对数势能的修正Cahn-Hilliard方程具有如下形式:
(1)
其中:
;
是给定的参数;
;
;n是单位外法向量。u是混合物中某种物质的浓度,w是化学势能,
是辅助变量,
。
是浓度迁移率,定义如下 [6]:对于
,
容易得到,对于
,存在
,使得
成立;对于
,存在
,使得
成立。
是对数势能,定义如下 [7]:对于
,
根据正则化思想,考虑下面的对数势能函数 [8]:对于
,
在接下来的研究中,将用正则化的对数势能
及其导数
来代替
和
,为了简单,仍记为
和
。自由能函数定义为:
2. 数值格式
是平方可积函数空间,内积为
,相应范数为
。
是通常的Sobolev空间,相应的半范和范数分别为
具有浓度迁移率和对数势能的修正Cahn-Hilliard方程的弱解形式为:
(2)
其中
。容易得到
,
,
。
2.1. 半离散格式
把时间区间
进行剖分,
,N是一个正整数,时间节点满足
,
,
是时间步长。接下来构造具有浓度迁移率和对数势能的修正Cahn-Hilliard方程的半离散格式:给定
,求
,
,
,当
时,满足
(3)
其中
。
2.2. 全离散格式
设
是区域
上拟一致剖分,
表示网格大小,
,
是分片连续的有限元空间,定义
,
。这里
是
的次数不超过
的线性多项式的集合。定义
,
。接下来构造具有浓度迁移率和对数势能的修正Cahn-Hilliard方程的全离散格式:给定
,求
,
,
,当
时,满足
(4)
Ritz投影算子
满足
,
,其中
。
3. 稳定性分析
定义3.1:
范数定义如下:
引理3.1 [9]:设
,有
其中
是可逆线性算子,
,且满足
其中
。进一步,下面估计式成立
定理3.1:令
是(4)的解,对任意的
,下面的不等式成立
(5)
证明:在(4)的第1式中,令
,得
(6)
在(4)的第2式中,令
,并运用
得
(7)
在(4)的第(3)式中,令
,得
(8)
将(6),(7),(8)相加并利用引理3.1得
(9)
在
的定义中,用
和
来表示
和
的原函数所对应的部分,即
,
,
。
然后利用泰勒展开公式,得到:
(10)
(11)
结合(10),(11) 得到:
(12)
将(12)代入(9)式,并对(9)式最后一项运用
,得
(13)
根据自由能函数的定义,则上式变为
则稳定性得证。
4. 误差估计
为了之后证明的简单,介绍下面一些符号:
对于
,做如下正则性假设:
引理4.2 [10]:Ritz投影算子
满足下面的估计:
引理4.3 [11]:假设
是(2)的解,则有下面估计:
定理4.2:设初始问题(2),全离散格式(4)的解分别是
和
,存在常数
,则有估计式
(14)
证明:对于(3)式,令
,
,
,利用
的性质,在
,有
(15)
(15)式减去(4)式得
(16)
在(16)式中,令
,
,
,然后三式相加得
(17)
其中
(18)
则(17)式变为
(19)
接下来,根据 Cauchy-Schwarz不等式,庞加莱不等式和Young不等式估计
:
(20)
(21)
(22)
(23)
运用泰勒展开,有
(24)
因此
(25)
(26)
则(19)式变为
(27)
在(16)式的第一式中令
,有
(28)
则
(29)
将(29)式代入(27)式得
(30)
在(30)式中取适当的
,并乘以
得:
(31)
上式从1到n求和,根据离散的Gronwall不等式,有:
(32)
5. 数值实验
在数值实验部分,采用一些数值算例验证理论分析的正确性和有效性。选择初始条件为
计算区域为
。在表1~4中,选择固定的参数
,变化的网格步长为
,
,
,
,
,
。相对误差
和
的空间收敛阶接近于2和1,与理论部分得到的收敛阶保持一致,且不同的
和
对收敛阶影响不大。
Table 1. ε = 0.09 , θ = 0.1 , β = 0
表1.
Table 2. ε = 0.09 , θ = 0.1 , β = 1
表2.
Table 3. ε = 0.09 , θ = 0.7 , β = 0
表3.
Table 4. ε = 0.09 , θ = 0.7 , β = 1
表4.
6. 结论
本文研究了具有浓度迁移率和对数势能的修正Cahn-Hilliard方程,在理论分析中证明了它的稳定性和误差估计,并给出了数值算例验证了它的结论。
基金项目
山西省自然科学基金(No:201901D111123)。