阶为8p²的7度对称图

On Symmetric Graphs of Order Eight Times a Prime Square and Valency Seven

摘要: 在本文中，研究了8p²阶的7度对称图，其中p为一个奇素数。证明了自同构群在图的顶点集上拟本原时，存在两个图。当自同构群在图的顶点集上二部拟本原时，不存在图。

Abstract: In this paper, we study symmetric graphs of valency seven and order 8p², where p is an odd prime. It is proved that there are two graphs if the automorphism group of those graphs which is quasiprimitive on its vertices set, while it is no graphs exists in the case of the automorphism group is biquasiprimitive on the vertex set.

1. 引言

本文中，考虑的图都是连通的，无向的，无重边和无自环的。

对于一个图 $\Gamma$，我们用 $V\Gamma ,E\Gamma$ 和 $A\Gamma$ 分别表示图 $\Gamma$ 的顶点集，边集和弧集。设 $Aut\Gamma$ 为 $\Gamma$ 的全自同构群，且 $X\le Aut\Gamma$。若X在 $V\Gamma ,E\Gamma$ 和 $A\Gamma$ 上作用传递，则称 $\Gamma$ 为X-点传递图，X-边传递图和X-弧传递图。通常，弧传递图也称为对称图。图 $\Gamma$ 的一条s-弧是由 $s+1$ 个顶点 $\left(v_1,v_2,\cdots ,v_s\right)$ 组成的一个有序元组，使得 $v_{i-1}$ 与 $v_i$ 是邻接的， $1\le i\le s$，且 $v_i\ne v_{i+2},0\le i\le s-2$。若X在 $\Gamma$ 的s-弧集上作用传递，则称 $\Gamma$ 为 $\left(X,s\right)$ -弧传递图；若 $\Gamma$ 是 $\left(X,s\right)$ -弧传递的，但不是 $\left(X,s+1\right)$ -弧传递的，则 $\Gamma$ 称为 $\left(X,s\right)$ -传递的。对任意的 $v\in V\Gamma$，定义 $\Gamma \left(v\right)=\left\{w\in V\Gamma |\left\{v,w\right\}\in E\Gamma \right\}$ 为v的邻域，用 $\left|\Gamma \left(v\right)\right|$ 表示v的度数，记作 $val\left(v\right)$。对任意的 $v,w\in V\Gamma$，若v和w的度数都相同，则称 $\Gamma$ 为正则图，用 $val\left(\Gamma \right)$ 表示图 $\Gamma$ 的度数。假设 $X\le Sym\left(\Omega \right)$ 是 $\Omega$ 上的一个传递置换群，若X的每个极小正规子群在 $\Omega$ 上都是传递的，则称X是拟本原的。若X的每个极小正规子群在 $\Omega$ 上至多有两个轨道且存在一个极小正规子群在 $\Omega$ 上恰好有两个轨道，则称X是二部拟本原的。 $Out\left(X\right)$ 表示群X的外自同构群。

刻画固定阶数的边传递图或弧传递图受到了广泛的关注。这是因为这些研究发现了很多有趣的图例，且对一般图类的研究起着重要作用。设p，q是一个不同的素数。Chao在 [1] 中分类了p阶的对称图。Cheng和Oxley在 [2] 中刻画了2p阶的边传递图，Wang和Xu在 [3] 中确定了所有3p阶的对称图。这些结果被Praeger等在 [4] [5] 中分析的阶为pq的图得以推广。此外，在 [6] [7] 中Feng等分类了 $m{p}^2$ 阶的3度对称图，其中 $m\le 6$。在 [8] [9] [10] 中Feng和Pan等确定了了2p²阶的4度和5度对称图。Guo等在 [11] [12] 中刻画了阶为4p和16p的7度对称图。Pan等在 [13] 中刻画了阶为4n的7度弧传递图，其中n是平方自由的。在 [14] 中Hua等分析了阶为2pq的7度弧传递图。在 [15] 中Pan和Yin研究了阶为 $4p^n$ 的7度弧传递图。7度对称图的研究提供了一些图例，对后续对称图的研究和学习起着重要的参考作用。本文的主要目的是刻画8p²阶7度弧传递图。

定理1.1 设 $\Gamma$ 是连通的阶为8p²的7度X-弧传递图，其中 $X\le Aut\Gamma$，p是奇素数。则下列表述成立：

1) 假设X在 $V\Gamma$ 上是拟本原的，存在两个7度弧传递图 ${\mathcal{C}}_{72}^1$ 和 ${\mathcal{C}}_{72}^2$，且 $Aut\left({\mathcal{C}}_{72}^1\right)\cong Aut\left({\mathcal{C}}_{72}^2\right)\cong PSL\left(2,8\right)\times {\mathbb{Z}}_2$。

2) 假设X在 $V\Gamma$ 上是二部拟本原的，则图 $\Gamma$ 不存在。

2. 预备知识

本文所使用的符号都是标准的，可参照 [16]。对于群X，设H为X的一个子群，用 $C_X\left(H\right)$ 和 $N_X\left(H\right)$ 来定义H在X中的中心化子和正规化子。

设 $\Gamma$ 是阶为m的k度图，则 $\left|A\Gamma \right|=mk,\left|E\Gamma \right|=mk/2$。因此，当m为奇数时k为偶数。由此得出奇数阶对称图的度数为偶数。下面介绍两个具体的图。

例2.1 设 $X=PSL\left(2,8\right)$，则X有一个子群 $H\cong {\mathbb{Z}}_7$，利用Magma [17] 计算可知，存在两个阶为72的互不同构的7度对称图，分别记作 ${\mathcal{C}}_{72}^1$ 和 ${\mathcal{C}}_{72}^2$，且 $Aut\left({\mathcal{C}}_{72}^1\right)\cong Aut\left({\mathcal{C}}_{72}^2\right)\cong PSL\left(2,8\right)\times {\mathbb{Z}}_2$。

对于正整数n和群T，通常用 $\pi \left(T\right)$ 表示 $\left|T\right|$ 的素因子集合， $\left|\pi \left(T\right)\right|$ 表示 $\left|T\right|$ 中含有素因子的个数。如果 $\left|\pi \left(T\right)\right|=n$，则称群T为 $K_n$ -群。当 $3\le n\le 6$ 时， $K_n$ -单群在 [19] 和 [18] 中被确定出来。下面这个定理刻画了阶有5个素因子的单群。

定理2.2 [19] [定理A] 设T是一个 $K_5$ -单群。则下列断言之一成立：

a) $T=PSL\left(2,q\right)$，其中 $\left|\pi \left(q^2-1\right)\right|=4$ ；

b) $T=PSU\left(3,q\right)$，其中 $\left|\pi \left(\left(q^2-1\right)\left(q^3+1\right)\right)\right|=4$ ；

c) $T=PSL\left(3,q\right)$，其中 $\left|\pi \left(\left(q^2-1\right)\left(q^3-1\right)\right)\right|=4$ ；

d) $T=O_5\left(q\right)$，其中 $\left|\pi \left(q^4-1\right)\right|=4$ ；

e) $T=S_z\left(2^{2m+1}\right)$，其中 $\left|\pi \left(\left(2^{2m+1}-1\right)\left(2^{4m+2}+1\right)\right)\right|=4$ ；

f) $T=R\left(3^{2m+1}\right)$，其中 $\left|\pi \left(3^{4m+2}-1\right)\right|=3$ 且 $\left|\pi \left(3^{4m+2}-3^{2m+1}+1\right)\right|=1$ ；

g) $\begin{array}{l}T=A_{11},A_{12},M_{22},J_3,AS,H_e,McL,PSL\left(4,4\right),PSL\left(4,5\right),PSL\left(4,7\right),PSL\left(5,2\right),PSL\left(5,3\right),\\ PSL\left(6,2\right),O_7\left(3\right),PSp\left(6,3\right),PSp\left(8,2\right),PSU\left(4,4\right),PSU\left(4,5\right),PSU\left(4,7\right),PSU\left(4,9\right),\\ PSU\left(5,3\right),PSU\left(6,2\right),O^{+}\left(8,3\right),O^{-}\left(8,2\right),{}^{3}D{}_4\left(3\right),G_2\left(4\right),G_2\left(5\right),G_2\left(7\right)或G_2\left(9\right)\end{array}$。

7度连通对称图的点稳定子群在 [20] [定理1.1]和 [21] [定理3.4]中被独立确定出来，其中 $F_n$ 表示阶为n的Frobenius群，n为正整数。

引理2.3 设 $\Gamma$ 是一个连通的7度 $\left(X,s\right)$ -弧传递图，其中 $X\le Aut\Gamma$ 且 $s\ge 1$。则 $s\le 3$，且下述其中之一成立，其中 $\alpha \in V\Gamma$。

1) 若 $X_{\alpha }$ 是可解的，则 $\left|X_{\alpha }\right||2^2\cdot 3^2\cdot 7$。进一步， $\left(s,X_{\alpha }\right)$ 如下表1。

Table 1. Solvable cases of stable subgroups of 7-degree graph points

表1. 7度图点稳定子群可解的情形

2) 若 $X_{\alpha }$ 是不可解的，则 $\left|X_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$。进一步， $\left(s,X_{\alpha }\right)$ 如下表2。

Table 2. Unsolvable cases of stable subgroups of 7-degree graph points

表2. 7度图点稳定子群不可解的情形

特别地，若 $5|\left|X_{\alpha }\right|$，则 $\left|X_{\alpha }\right||2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$，且 $X_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\cong A_7$ 或 $S_7$ ；若 $5\nmid \left|X_{\alpha }\right|$，则 $\left|X_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^2\cdot 7$。

利用正规商图研究点传递图是一种典型的方法。假设 $\Gamma$ 是X-点传递图，其中 $X\le Aut\Gamma$ 有一个非传递正规子群N。用 $V{\Gamma }_N$ 表示N在 $V\Gamma$ 上的轨道的集合。 $\Gamma$ 的正规商图 ${\Gamma }_N$ 是由N在顶点集 $V{\Gamma }_N$ 上诱导的。对任意两点 $B,C\in V{\Gamma }_N$ 是邻接的当且仅当存在 $b\in B,c\in C$，使得 $b,c$ 在 $\Gamma$ 中是邻接的。进一步，若 $\Gamma$ 和 ${\Gamma }_N$ 有相同的度数，则称 $\Gamma$ 为 ${\Gamma }_N$ 的正规N-覆盖。

下面这个定理是 [22] [引理2.5]的一个特例，它稍微改进了Praeger在 [23] [定理4.1]中得到一个著名结果。

定理2.4 设 $\Gamma$ 是一个素数度X-弧传递图，且设 $N⊲X$ 在 $V\Gamma$ 上有两个以上的轨道，其中 $X\le Aut\Gamma$。则下列结论成立。

1) N在 $V\Gamma$ 上半正则， $\frac{X}{N}\le Aut{\Gamma }_N$, ${\Gamma }_N$ 是X/N-弧传递的，且 $\Gamma$ 是 ${\Gamma }_N$ 的正规N-覆盖；

2) $\Gamma$ 是 $\left(X,s\right)$ -弧传递的当且仅当 ${\Gamma }_N$ 是 $\left(X/N,s\right)$ -弧传递的，其中 $1\le s\le 5$ 或 $s=7$ ；

3) $X_{\alpha }\cong {\left(X/N\right)}_{\delta }$，其中 $\alpha \in V\Gamma ,\delta \in V{\Gamma }_N$。

3. 相关引理

本节将证明两个关于群论的引理，它们将用于定理1.1的证明。

引理3.1 设T是一个单群，使得 $\left|T\right||2^{27}\cdot 3^2\cdot 7p^2$ 且 $7p^2|\left|T\right|$，其中p为奇素数。则下列结论成立。

1) 若 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，则满足条件的 $\left(T,\left|T\right|,p^2\right)$ 如下表3。

Table 3. Cases with 3 prime factors in a single group

表3. 单群中有3个素因子的情形

2) 若 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，则群T不存在。

证明：因为 $7p^2|\left|T\right|$，从而 $3\le \left|\pi \left(T\right)\right|\le 4$，因此单群T满足 [18] [定理Ι]。若 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，则 $p\in \left\{3,7\right\}$，从而T是一个 $\left\{2,3,7\right\}$ -群。若 $p=3$ 时，从而有 $\left|T\right||2^{27}\cdot 3^4\cdot 7$，由 [18] [表1]可得， $T=PSL\left(2,7\right)$, $PSL\left(2,8\right)$ 或 $PSU\left(3,3\right)$，进一步由 $7p^2|\left|T\right|$ 可得 $T=PSL\left(2,8\right)$ 或 $PSU\left(3,3\right)$。当 $p=7$ 时，我们有 $\left|T\right||2^{27}\cdot 3^2\cdot 7^3$，并且 $7^3|\left|T\right|$，再由 [18] [表1]可知，此时不存在群T。

若 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$, $\left|T\right||2^{27}\cdot 3^2\cdot 7p^2$，且 $p>7$ 或 $p=5$ 从而有

$3^3\nmid \left|T\right|$, $7^2\nmid \left|T\right|$, $p^3\nmid \left|T\right|$. (1)

由 [18] [定理Ι] 可知，T满足 [18] [表2]，或 $T=PSL\left(2,r\right)$ 是一个 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$ 的群，其中r为一个素数幂。

对于 [18] [表2]中的31个群，通过检查每个群的阶可得，群T不存在。当 $T=PSL\left(2,r\right)$ 时，如果r是2, 3, 5或7的方幂，或者 $r\ge 11$ 是一个素数。对于第一种情况，根据 [18] [表3]中的群，检验每个群的阶可得，群T不存在。对于另一种情形，有

$\left|PSL\left(2,r\right)\right|=\frac{r\left(r-1\right)\left(r+1\right)}{2}$

此时， $r=p^2$，矛盾。

引理3.2 设T是一个单群，使得 $\left|T\right||2^{11}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7p^2$ 且 $35p^2|\left|T\right|$，其中p是一个奇素数。则下列结论成立。

1) 若 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，群T不存在。

2) 若 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，满足条件的 $\left(T,\left|T\right|,p^2\right)$ 如表4。

3) 若 $\left|\pi \left(T\right)\right|=5$，群T不存在。

Table 4. The situation of 4 prime factors in a single group T

表4. 单群T中4个素因子的情形

证明：因为 $35p^2|\left|T\right|$，从而 $3\le \left|\pi \left(T\right)\right|\le 5$。如果 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，由 [18] [定理Ι]可知，单群T同构于 [18] [表1]中的8个群其中之一。通过检验每个群T的阶可得，没有满足条件的群T存在，故而矛盾。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，此时 $p\in \left\{3,5,7\right\}$，注意 $\left|T\right||2^{11}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7p^2$，则

$2^{12}\nmid \left|T\right|$, $3^7\nmid \left|T\right|$, $5^5\nmid \left|T\right|$, $7^4\nmid \left|T\right|$, $p^2|\left|T\right|$.(2)

根据 [18] [定理Ι]可知，T满足 [18] [表2]，或 $T=PSL\left(2,r\right)$ 是一个 $K_4$ -群。对于 [18] [表2]中的31个单群，通过检查它们的阶可得，满足条件的群都在表2中列出。假设 $T=PSL\left(2,r\right)$ 是一个 $K_4$ -群。如果r是2, 3, 5或7的方幂，根据 [18] [表3]中的群，检验每个群的阶可知，群T不存在。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=5$，则 $p>7$ 且满足定理2.2.由于 $\left|T\right||2^{11}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7p^2$，则

$2^{12}\nmid \left|T\right|$, $3^5\nmid \left|T\right|$, $5^3\nmid \left|T\right|$, $7^2\nmid \left|T\right|$, $p^2|\left|T\right|$ (3)

假设 $T=PSL\left(2,q\right)$，

$\left|T\right|=\frac{q\left(q-1\right)\left(q+1\right)}{2}$

则有

$\frac{q\left(q-1\right)\left(q+1\right)}{2}|2^{11}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7p^2$

由公式(3)可知q是2, 3, 5, 7或p的方幂。如果q是2的方幂，则 $\left|\pi \left(q^2-1\right)\right|=4$ 可知， $q=2^6,2^8$ 或2⁹。检查它们的阶可知，都不满足公式(3)。如果q是3, 5或7的方幂，则 $\left|\pi \left(q^2-1\right)\right|\ne 4$，矛盾。如果q是p的方幂，则 $q=p^2$，从而

$\frac{\left(q-1\right)}{2}\cdot \frac{\left(q+1\right)}{2}|2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$.

因为 $\left(\frac{q-1}{2},\frac{q+1}{2}\right)=1$，所以 $\frac{q-1}{2}|3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 或 $\frac{q+1}{2}|3^4\cdot 5^2\cdot 7$。因为 $\left|\pi \left(q^2-1\right)\right|=4$，因此，这样的q不存在，矛盾。

假设 $T=PSU\left(3,q\right)$。得到

$\left|T\right|=\frac{1}{\left(3,q+1\right)}{q}^3\left(q-1\right){\left(q-1\right)}^2\left(q^2-q+1\right)$

由公式(3)可知q是2, 3, 5, 7或p的方幂。如果q是2, 3, 5或7的方幂，因为 $\left|\pi \left(\left(q^2-1\right)\left(q^3+1\right)\right)\right|=4$ 且 $\left|T\right||2^{11}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7p^2$，这样的q不存在，矛盾。如果q是p的方幂，则 $q^3=p^2$，矛盾。

假设 $T=PSL\left(3,q\right)$。则

$\left|T\right|=\frac{1}{\left(3,q-1\right)}{q}^3{\left(q-1\right)}^2\left(q+1\right)\left(q^2+q+1\right)$

由公式(3)可知q是2, 3, 5, 7或p的方幂。如果q是2, 5或7的方幂，因为 $\left|\pi \left(\left(q^2-1\right)\left(q^3-1\right)\right)\right|=4$，这样的q不存在，矛盾。如果q是3的方幂，因为 $\pi \left(\left(q^2-1\right)\left(q^3-1\right)\right)=4$，算出 $q=3^2,3^3$。满足条件的群有 $T=PSL\left(3,9\right)$ 或 $PSL\left(3,27\right)$，检查它们的阶可知都与公式(3)矛盾，群T不存在。如果q是p的方幂，则 $q^3=p^2$，矛盾。

假设 $T=Sz\left(2^{2m+1}\right)$ 或 $R\left(3^{2m+1}\right)$。因此 $\left|T\right|=2^{4m+2}\left(2^{4m+2}+1\right)\left(2^{4m+2}-1\right)$ 或 $3^{6m+3}\left(3^{6m+3}+1\right)\left(3^{2m+1}-1\right)$。对于第一种情形，由 $2^{4m+2}\le 2^{11}$，则 $m=1$ 或2。当 $m=1$ 时，因为 $\left|\pi \left(Sz\left(2^3\right)\right)\right|=4$，所以 $T=Sz\left(2^3\right)$。当 $m=2$ 时，因为 $\left|\pi \left(Sz\left(2^5\right)\right)\right|=4$，所以 $T=Sz\left(2^5\right)$。检查它们的阶可知都不满足 $35p^2|\left|T\right|$。对于第二种情形，因为 $3^{6m+3}\ge 3^9$ 与公式(3)相矛盾，群T不存在。

假设 $T=O_5\left(q\right)$，则

$\left|T\right|=\frac{1}{2}{q}^4\left(q^4-1\right)\left(q^3-1\right)\left(q^2-1\right)$

由公式(3)可知q是2, 3, p的方幂。如果q是2, 3的方幂，因为 $\left|\pi \left(q^4-1\right)\right|=4$ 和公式(3)，这样的q不存在，矛盾。如果q是p的方幂，则 $q^4=p^2$，矛盾。

最后，假设T属于情形(g)列出的群，通过检查每个群的阶可知，满足条件的群T不存在，矛盾。

4. 定理1.1的证明

设 $\Gamma$ 是连通的阶为8p²的7度X-弧传递图，其中 $X\le Aut\Gamma$，p是奇素数。设N是X的极小正规子群，则 $N=T^d$，其中T为单群且 $d\ge 1$。设 $\alpha \in V\Gamma$。我们先证明下面的引理。

引理4.1 假设N是非交换的，则 $d=1$。

证明：反正法。设N是非交换的且 $d\ge 2$，从而有 $\left|N\right|\nmid 8p^2,N_{\alpha }\ne 1$，根据定理2.4可知N在 $V\Gamma$ 上至多有两个轨道。设 $N=T_1\times T_2\times \cdots \times T_d$，其中 $T\cong T_i\left(i=1,2,\cdots ,d\right)$。

假设N在 $V\Gamma$ 上是传递的。因为 $1\ne N_{\alpha }⊲X_{\alpha }$ 且 $\Gamma$ 是连通的，所以有 $1\ne N_{\alpha }^{\text{Γ}\left(\alpha \right)}⊲X_{\alpha }^{\text{Γ}\left(\alpha \right)}$。由此可知， $N_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ 是传递的，且 $\Gamma$ 是N-弧传递的。如果 $T_1$ 在 $V\Gamma$ 上传递，则中心化子 $C_N\left(T_1\right)$ 在 $V\Gamma$ 上半正则(可见 [24] [定理4.2A])，因此是 $T_2$ 也是半正则的，这和 $\left|T_2\right|$ 不能整除 $\left|V\Gamma \right|=8p^2$ 是矛盾的。如果 $T_1$ 在 $V\Gamma$ 上至少有3个轨道，由定理2.4可知， $T_1$ 是半正则的，推出矛盾。因此， $T_1$ 在 $V\Gamma$ 上恰好有两个轨道，分别记作V和W。因为 $T_1⊲N$，V和W在 $V\Gamma$ 上构成N-不变块系。所以，点稳定子群 $N_v$ 在N中的指数为2，这与 $N=T^d$ 不存在指数为2的子群相矛盾。

假设N在 $V\Gamma$ 上恰好有两个轨道，分别记作 $V_1$ 和 $V_2$。那么 $\Gamma$ 是二部图且二部分别为 $V_1$ 和 $V_2$。假设 $X^{+}=X_{V_1}=X_{V_2}$ 是二部图 $\Gamma$ 上的点稳定子群。如果 $X^{+}$ 作用在 $V_1$ 上是不忠实的，根据 [25] [引理5.2]可知， $\Gamma$ 是一个完全二部图，从而有 $\Gamma =K_{7,7}$ 且 $val\left(\Gamma \right)=7$，于是推出 $\left|V\Gamma \right|=14$，矛盾。假设 $X^{+}$ 在 $V_1$ 上的作用是忠实的。则 $N\le X^{+}$ 可以被视为 $V_1$ 上的传递置换群。若 $T_1$ 在 $V_1$ 上作用传递，则由 [24] [定理4.2A]可得， $T_2$ 在 $V_1$ 上是半正则的，于是 $\left|T_2\right||4p^2$，这是矛盾的。因此 $T_1$ 在 $V_1$ 上至少有2个轨道。又根据 [26] [引理3.2]，得到 $T_1$ 在 $V_1$ 上是半正则的，矛盾。

定理1.1的证明主要是从X在 $V\Gamma$ 上是拟本原和二部拟本原两种情形来讨论。

引理4.2 假设X在 $V\Gamma$ 上是拟本原的，存在两个7度弧传递图 ${\mathcal{C}}_{72}^1$ 和 ${\mathcal{C}}_{72}^2$，且 $Aut\left({\mathcal{C}}_{72}^1\right)\cong Aut\left({\mathcal{C}}_{72}^2\right)\cong PSL\left(2,8\right)\times {\mathbb{Z}}_2$。

证明：因为X在 $V\Gamma$ 上是拟本原的，则N在 $V\Gamma$ 上是传递的。如果N是交换的，则N在 $V\Gamma$ 上是正则的且 ${\left|T\right|}^d=\left|N\right|=8p^2$，矛盾。于是N是非交换的，根据引理4.1，得到 $d=1$ 且 $N=T$。又因为 $T_{\alpha }\ne 1$，因此 $\Gamma$ 是T-弧传递的，且 $T_{\alpha }$ 满足引理2.3。下面的证明将分为两个部分， $5|\left|T_{\alpha }\right|$ 和 $5\nmid \left|T_{\alpha }\right|$。

情形1：假设 $5|\left|T_{\alpha }\right|$。

根据引理2.3，得到 $\left|T_{\alpha }\right||2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 且 $T_{\alpha }^{\text{Γ}\left(\alpha \right)}\cong A_7$ 或 $S_7$。又因为 $\left|T\right|=\left|V\Gamma \right|\left|T_{\alpha }\right|$，从而有 $\left|T\right||2^{11}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7p^2$，而且，当 $35|\left|T_{\alpha }\right|$ 时， $35p^2|\left|T\right|$。于是T满足引理3.2。由 $3\le \left|\pi \left(T\right)\right|\le 5$，再由引理3.2，只需考虑 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$ 的情形。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，由引理3.2(2)可知，表2中的群都满足条件。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(J_2,3^2\right)$， $\left(A_7,3^2\right)$， $\left(A_8,3^2\right)$， $\left(A_{10},3^2\right)$， $\left(PSL\left(3,4\right),3^2\right)$， $\left(PSU\left(4,3\right),3^2\right)$ 或 $\left(PSp\left(6,2\right),3^2\right)$ 时，它们的 $\left|V\Gamma \right|$ 均为 $2^3\cdot 3^2$，因为 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\Gamma \right|$，所以 $\left|T_{\alpha }\right|=2^4\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7$， $5\cdot 7$， $2^3\cdot 5\cdot 7$， $2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$， $2^4\cdot 5\cdot 7$， $2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$ 或 $2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$，由引理2.3可知，这样的 $T_{\alpha }$ 不存在，矛盾。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(A_9,3^2\right)$，则 $\left|V\Gamma \right|=2^3\cdot 3^2$，由于 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|T_{\alpha }\right|=2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$，由引理2.3可知， $T_{\alpha }\cong A_7$，利用Magma [17] 计算可得，图 $\Gamma$ 不存在。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(PSU\left(3,5\right),5^2\right)$，则 $\left|V\Gamma \right|=2^3\cdot 5^2$，因为 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\Gamma \right|=2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$，由引理2.3可得，矛盾。

情形2：假设 $5\nmid \left|T_{\alpha }\right|$。

根据引理2.3，得到 $\left|T_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^2\cdot 7$，由T的传递性和 $\left|T\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|V\Gamma \right|$，推出 $\left|T\right||2^{27}\cdot 3^2\cdot 7p^2$。另一方面，因为 $\Gamma$ 是T-弧传递的，从而有 $7|\left|T_{\alpha }\right|$，因此， $7p^2|\left|T\right|$。于是，T满足引理3.1。故而 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 或4。再由引理3.1，只需考虑 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 的情形。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$，得到 $\left(T,p^2\right)=\left(PSL\left(2,8\right),3^2\right)$ 或 $\left(PSU\left(3,3\right),3^2\right)$。对于第一种情形， $\left|V\Gamma \right|=2^3\cdot 3^2$，因此有 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\Gamma \right|=7$，由例2.1可知存在两个图 ${\mathcal{C}}_{72}^1$ 和 ${\mathcal{C}}_{72}^2$。对于第二种情形， $\left|V\Gamma \right|=2^3\cdot 3^2$，因此 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V\Gamma \right|=2^3\cdot 3\cdot 7$，再由Atlas [16] 可知， $PSU\left(3,3\right)$ 不存在阶为 $2^2\cdot 3\cdot 7$ 的子群，矛盾。

引理4.3 假设X在 $V\Gamma$ 上是二部拟本原的，则图 $\Gamma$ 不存在。

证明：因为X在 $V\Gamma$ 上是二部拟本原的，X有一个极小正规子群 $N=T^d$ 在 $V\Gamma$ 上恰好有2个轨道，分别记作 $V_1$ 和 $V_2$。那么 $V_1$ 和 $V_2$ 是图 $\Gamma$ 的两个部。设 $X^{+}=X_{V_1}=X_{V_2}$。从而有 $N\le X^{+}$， $\left|X:X^{+}\right|=2$ 且 $X_{\alpha }=X_{\alpha }^{+}$。如果N是交换的，则N在 $V_1$ 上是正则的且 ${\left|T\right|}^d=\left|N\right|=4p^2$，矛盾。所以N是不交换的，根据引理4.1可知， $N=T$ 为非交换单群。

假设 作用在 $V_1$ 和 $V_2$ 上是不忠实的，根据 [25] [引理5.2]可知， $\Gamma$ 是一个完全二部图，因此， $\Gamma \cong K_{7,7}$ 且 $\left|V\Gamma \right|=14$，矛盾。

假设 $X^{+}$ 作用在 $V_1$ 和 $V_2$ 上是忠实的，由 [27] [定理1.5]，则下列表述之一成立：

1) $X^{+}$ 在 $V_i$ 上是拟本原的。

2) $X^{+}$ 有两个正规子群 $U_1$ 和 $U_2$，使得 $U_1\cong U_2$ 在 $V\Gamma$ 上半正则。进一步可得 $U_1\times U_2$ 在 $V_i$ 上是正则的。

对于情形(2)，我们有 ${\left|U\right|}^2=\left|V_i\right|=4p^2$，矛盾。下考察(1)，因为 $X^{+}$ 在 $V_i$ 上是拟本原的且有一个极小正规子群T，这里的T是一个单群。根据O’Nan-Scott-Praeger定理 [24]， $soc\left(X^{+}\right)=T$ 或 $T^2$。先考虑 $soc\left(X^{+}\right)=T^2$，于是 $X^{+}$ 是复合全形型的且T在 $V_i$ 上是正则的。故而有 $\left|T\right|=\left|V_i\right|=4p^2$，矛盾。因此， $soc\left(X^{+}\right)=T$，假设T不是X的极小正规子群。因为 $X=X^{+}.{\mathbb{Z}}_2$，得到 $X=X^{+}\times {\mathbb{Z}}_2$，所以正规子群 ${\mathbb{Z}}_2$ 在 $V\Gamma$ 上有4p²个轨道，这与X是二部拟本原的相矛盾。由此推出X是几乎单群且令它的基柱为 $soc\left(X\right)=T$。下设 $X=T.o$, $X^{+}=T.o^{\prime }$，其中 ${\mathbb{Z}}_2\le o\le Out\left(T\right)$ 且 $\left|o:o^{\prime }\right|=2$。后面的证明，将分两种情况讨论。

情形1：假设 $5\nmid \left|T_{\alpha }\right|$。

因为 $T_{\alpha }\le X_{\alpha }$，根据引理2.3，有 $\left|T_{\alpha }\right||2^{24}\cdot 3^2\cdot 7$。又因为 $\left|T\right|=\left|V_1\right|\left|T_{\alpha }\right|$，推出 $\left|T\right||2^{26}\cdot 3^2\cdot 7p^2$。另一方面，由于 $T_{\alpha }\ne 1$，所以 $7|\left|T_{\alpha }\right|$，于是有 $7p^2|\left|T\right|$。因此，T满足引理3.1且 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 或4。再由引理3.1，只需考虑 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 的情形。

先考虑 $\left|\pi \left(T\right)\right|=3$ 的情形，由引理3.1 (1)，容易得到 $\left(T,p^2\right)=\left(PSL\left(2,8\right),3^2\right)$ 或 $\left(PSU\left(3,3\right),3^2\right)$。对于第一种情形，由Atlas [16] 可知， $Out\left(PSL\left(2,8\right)\right)\cong {\mathbb{Z}}_3$，有 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$ 且 $X^{+}=T$。从而 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2\cdot 7$，由引理2.3可知，这是矛盾的。对于第二种情形，由 $Out\left(T\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，有 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$，因此 $X^{+}=T$，于是 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^3\cdot 3\cdot 7$，由引理2.3可知，得到 $X_{\alpha }\cong PSL\left(3,2\right)$，利用Magma [17] 计算可知，这种情况不存在图。

情形2：假设 $5|\left|T_{\alpha }\right|$。

因为 $T_{\alpha }⊲X_{\alpha }$，由引理2.3，推出 $\left|T_{\alpha }\right||2^8\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7$ 且 $T_{\alpha }^{\text{Γ}\left(\alpha \right)}\cong A_7$ 或 $S_7$。又因为 $\left|T\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|V_1\right|$，从而 $\left|T\right||2^{10}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7p^2$。由 $35|\left|T_{\alpha }\right|$，于是有 $35p^2|\left|T\right|$。因此T满足引理3.2。再由引理3.2，只需考虑 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$ 的情形。

假设 $\left|\pi \left(T\right)\right|=4$，根据引理3.2 (2)，表2中的群都满足条件。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(J_2,3^2\right)$，从而有 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^5\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7$。进一步，由Atlas [16] 可知， $Out\left(J_2\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，有 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$ 且 $X^{+}=T.o^{\prime }=T$，于是 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=2^5\cdot 3\cdot 5^2\cdot 7$。根据引理2.3可知，矛盾。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(A_7,3^2\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2\cdot 5\cdot 7$，由Atlas [16] 可知， $Out\left(A_7\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，有 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$ 且 $X^{+}=T.o^{\prime }=T$，因此 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=2\cdot 5\cdot 7$。由引理2.3可知，矛盾。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(A_8,3^2\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^4\cdot 5\cdot 7$。由Atlas [16]，有 $Out\left(A_8\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，因此 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$，因为 $X^{+}=T.o^{\prime }=T$，所以 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=2^4\cdot 5\cdot 7$，由引理2.3推出矛盾。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(A_9,3^2\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$。由Atlas [16]，有 $Out\left(A_9\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，推出 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$，由于 $X^{+}=T.o^{\prime }=T$，因此 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$。由引理2.3可得， $T_{\alpha }\cong S_7$，利用Magma [17] 计算可知，图 $\Gamma$ 不存在。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(A_{10},3^2\right)$，从而有 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$。进一步，由Atlas [16] 可知， $Out\left(A_{10}\right)\cong {\mathbb{Z}}_2$，有 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$ 且 $X^{+}=T.o^{\prime }=T$，于是推出 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=\left|T\right|=2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7$。由引理2.3可知，矛盾。若 $\left(T,p^2\right)=\left(PSL\left(3,4\right),3^2\right)$，从而有 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^4\cdot 5\cdot 7$，进而由Atlas [16] 可知， $Out\left(PSL\left(3,4\right)\right)\cong {\mathbb{Z}}_2\times S_3$，我们得到 $o={\mathbb{Z}}_2\times S_3,o^{\prime }=S_3$ 或 $o=S_3,o^{\prime }={\mathbb{Z}}_3$ 或 $o={\mathbb{Z}}_2^2,o^{\prime }={\mathbb{Z}}_2$ 或 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$。又因为 $X^{+}=T.o^{\prime }$， $\left|T_{\alpha }\right|=2^4\cdot 5\cdot 7$，所以 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=2^5\cdot 3\cdot 5\cdot 7,2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7,2^5\cdot 5\cdot 7$ 或 $2^4\cdot 5\cdot 7$。根据引理2.3可知，矛盾。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(PSU\left(3,5\right),5^2\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$。由Atlas [16] 可知，有 $Out\left(PSU\left(3,5\right)\right)\cong S_3$，推出 $o=S_3,o^{\prime }={\mathbb{Z}}_3$ 或 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$。因为 $X^{+}=T.o^{\prime }$，所以 $\left|X^{+}\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=2^2\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7$ 或 $2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$。由引理2.3推出矛盾。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(PSU\left(4,3\right),3^2\right)$，从而有 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^5\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$。再由Atlas [16] 可知， $Out\left(PSU\left(4,3\right)\right)\cong D_8$，有 $o=D_8,o^{\prime }={\mathbb{Z}}_2^2$ 或 $o={\mathbb{Z}}_2^2,o^{\prime }={\mathbb{Z}}_2$ 或 $o={\mathbb{Z}}_2,o^{\prime }=1$。又因为 $X^{+}=T.o^{\prime }$， $\left|T_{\alpha }\right|=2^5\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$，因此 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|X_{\alpha }^{+}\right|=\left|T_{\alpha }\right|\left|o^{\prime }\right|=2^7\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7,2^6\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$ 或 $2^5\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$。根据引理2.3，矛盾。如果 $\left(T,p^2\right)=\left(PSp\left(6,2\right),3^2\right)$，则 $\left|T_{\alpha }\right|=\left|T\right|/\left|V_1\right|=2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$。由Atlas [16] 可知， $Out\left(PSp\left(6,2\right)\right)\cong 1$，从而 $X=T$，于是有 $\left|X_{\alpha }\right|=\left|T_{\alpha }\right|=2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$，由引理2.3可知，矛盾。

基金项目

国家自然科学基金资助项目资助(基金名称：弧传递有向图及关联置换群问题研究，编号：11961076)。