1. 引言
正合列是非常有用的概念,在数学研究中,是非常有用的工具。本文对链复形和链同态条件下的短正合列的性质进行讨论 [1] [2] [3] [4],在链复形和链映射的短正合列
,
对每个维数q,定义了一个边缘同态
,先证明该边缘同态定义的合理性。由所定义的边缘同态,进一步介绍链复形和链映射的短正合列的同调性质,给出正合同调序列和同调序列自然性的证明。
2. 短正合列
为了研究短正合列的相关性质,我们先引出以下一些定义 [1] [5]。
定义2.1 [1] 如果
,则由Abel群和同态组成的序列
在D处正合。如果它在每个Abel群处正合,则由Abel群和同态组成的序列
是一个正合序列。
定义2.2 一个链复形是一串Abel群
和一串同态
,排成一个序列
对每个维数q,满足
。
定义2.3 [2] 如果对每个维数q,Abel群和同态组成的序列
都在
处正合,则由链复形和链映射组成的序列
在D处正合。
定义2.4 设
为链复形,那么商群
称为C的同调群,它的元素称为C的同调类。
定义2.5 [1] 设由链复形和链映射组成的短正合列
。
对每个维数q,我们来定义一个边缘同态
。
考察下面的交换图表(图1)
Figure 1. Chain complex and chain mapping commutative graph
图1. 链复形和链映射交换图
交换图表的每个横行都是正合序列。对于
,定义
,
. (1)
根据图像的交换性,且每个横行是正合序列,通过在交换图上追踪,在(1)式中,可以得到
1) 需要取逆像的地方都能取得;
2) 逆像不唯一的地方,最后结果跟逆像的选取没有关系;
3) 在同调类
中取不同的代表闭链
,所得最后结果相同。
下面我们来证明这个定义的合理性:
证明:1) 由定义可得,
,
假定
,则
。
因为
是满射,所以存在
,使得
。
下面证明
,根据交换性,可得
,
所以
.
因为
是单射,所以存在唯一的
,使得
.
所以
有意义,则
是合理的定义。
2) 令
,其中
,则
,
所以
。则存在
,使得
。
根据交换性,可得
.
所以
,
则
,得证。
3) 假定
,
。设
,其中
。
根据交换性,可得
.
由此,可以证明边缘同态
是良定义的。
定理2.6 [2] 设有链复形和链映射的短正合列
,
则有长的正合同调序列
. (2)
证明:(A) 在
处的正合性:
(A1) 设
。则
.
所以
。
(A2) 设
,且
,则有
,使得
.
取
,则
,
即
。
而
,所以
。
所以
,得证。
(B) 在
处的正合性:
(B1) 设
,则
,
所以
。
(B2) 设
,且
。
则
,使得
。
由于
是满射的,所以至少
一个
,使得
,
所以
.
因为
是链映射,所以
。
根据正合性,存在
,使得
,所以
.
又因为
是单射,所以
,则
。
由此可得,
,
所以
,得证。
(C) 在
处的正合:
(C1) 设
,则
,
所以
。
(C2) 设
,且
,则存在
,使得
,
所以
,
所以
,则
。
所以
,得证。
定理2.7 [2] 设有链复形和链映射的交换图表
其中两个横行都是链复形的短正合列。则它们的正合同调序列之间有交换图表
证明:行的正合性是定理2.6已证明,下面我们来证明列的正合性,先画出以下交换图表(图2):
1) 如果
,则需证明
。
因为g是满射的,所以存在
,使得
.
,
Figure 2. Chain complex and chain homomorphism three-dimensional commutative graph
图2. 链复形和链同态三维交换图
所以
,则
,其中
。
,
因为
是链映射,所以
,
所以
,
其中
。
则
,因此,
,
又由于
是单射,所以
。
所以
。
2) 因为
,根据交换性,可得
,
,
,
所以
.
3. 结论
本文对链复形和链同态条件下的短正合列的性质进行讨论。首先,给出了边缘同态
的定义,通过对交换图表进行追踪,证明了其定义的合理性。然后,证明了由短正合列诱导的长正合同调序列和边缘同态
的自然性。短正合列还有其他问题需要进行研究,它是一个很有用的数学工具,在数学研究方面起到很重要的作用。如正合序列还有一个妙用“五引理”,这也是“图上追踪法”的一个典型例子。