一类Brunnian Link的尖括号多项式

The Bracket Polynomial of a Kind of Brunnian Link

摘要: 尖括号多项式是纽结理论中一个重要的不变量。Brunnian link是一类特殊又简单的链环，本文研究了一类特殊的Brunnian链环的组合，如下图所示，

Abstract: The bracket polynomial is an important invariant in knot theory. Brunnian link is a kind of special chain link with simple structure. This article studies a special chain link combination , as shown in the following figure.

1. 预备知识

定义1.1.1 [1] 纽结

将单位圆周 $S^1$ 嵌入到三维欧氏空间 $R^3$ 中或者球面 $S^3$ 中得到纽结。若K在 $S^3$ 中，K是简单闭曲线，且 $K\cong S^1$，则K是一个纽结。

定义1.1.2 [2] 链环

把嵌入到三维欧式空间 $R^3$ 或者球面 $S^3$ 中若干个互不相交的圆周 $S_i^1\left(1\le i\le n,n>1\right)$ 所形成的图形称为链环，记为 $L=K_1\cup K_2\cup \cdots \cup K_n$。

其中若 $K_i$ 都是平凡纽结，则L为平凡链环。

给定链环每个分支一个方向，得到定向链环。

定义1.1.3 [2] Reidemeister move (R变换)

通过改变纽结或者链环投影图中交叉点处的变换方式分为如下三种类型：

R₁变换：

R₂变换：

R₃变换：

定义1.1.4 [3] 纽结连通和

设M是一个平面， $K_1,K_2$ 是两个纽结且分别位于该平面两侧，分别在 $K_1,K_2$ 中选择一段不越过交叉点的弧，挖掉这两段弧并沿着端点接到一起得到新的纽结称作 $K_1$ 与 $K_2$ 的连通和，记为 $K_1\#K_2$。

下图1所示为三叶结，图2所示为八字结。二者做连通和所得到的纽结为图3所示。

Figure 1

图1

Figure 2

图2

Figure 3

图3

定义1.1.5 [3] 尖括号多项式

I. A通道、B通道：

对下图所示的交叉点，上行线到下行线逆时针旋转所经过的区域为A通道；上行线到下行线顺时针旋转所经过的区域为B通道。

II. 尖括号多项式拆接关系：

定义1.1.6 [3] 特殊的连通和

设S是一个平面， $K_1,K_2$ 是两个纽结并分别位于平面M的两侧，在 $K_1,K_2$ 中各选择两段不越过交叉点的弧 $a,b$。分别挖去 $K_1,K_2$ 中的弧a并且连接在一起；再分别挖去 $K_1,K_2$ 中的弧b并且连接在一起，将其称作特殊的连通和，记为 $K_1*K_2$。如图4所示：

Figure 4

图4

2. 一类Brunnian Link尖括号多项式的计算

定理2.1.1

$\langle B\stackrel{n}{\stackrel{︷}{\left(0,0,\cdots ,0\right)}}\rangle =\{\begin{array}{l}{\left(3-2A^4-2A^{-4}+A^8+A^{-8}\right)}^{n-1}\langle B\left(0\right)\rangle +\left(A^{10}+A^{-10}-A^6-A^{-6}\right)\\ \cdot {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{\left(3-2A^4-2A^{-4}+A^8+A^{-8}\right)}^i\cdot {\left(-A^{-3}-A^5+A^{-7}\right)}^{2\left[n-\left(i+1\right)\right]}n\ge 2}\\ -A^2-A^{-2}n=1\end{array}$

证明 首先计算 $\langle B\left(0\right)\rangle$， $B\left(0\right)$ 如图5所示：

Figure 5

图5

首先选择图中最上面的两个交叉点，如图6所示：

Figure 6

图6

打开这两个交叉点有以下四种方式：

1) 同时打开两个交叉点的A通道，得到的投影图记为I，如图7所示。

2) 打开最上面左侧交叉点的A通道，打开最上面右侧交叉点的B通道，得到的投影图记为Q，如图8所示。

3) 打开最上面左侧交叉点的B通道，打开最上面右侧交叉点的A通道，得到的投影图记为M，如图9所示。

4) 同时打开两个交叉点的B通道，得到的投影图记为N，如图10所示。

Figure 7

图7

Figure 8

图8

Figure 9

图9

Figure 10

图10

根据尖括号多项式的计算法则可得：

$\langle B\left(0\right)\rangle =A^2\langle I\rangle +AB\langle Q\rangle +BA\langle M\rangle +B^2\langle N\rangle$

下面计算 $\langle I\rangle ,\langle Q\rangle ,\langle M\rangle ,\langle N\rangle$

同理可求得 $\langle Q\rangle ,\langle M\rangle ,\langle N\rangle$

$\langle Q\rangle =\left(-A^6-A^{-6}\right)\langle \beta \rangle +\left(2-A^4-A^{-4}\right)\langle \alpha \rangle .$

$\langle M\rangle =\langle \alpha \rangle .$

$\langle N\rangle =\left(A^{-6}-A^{-2}\right)\langle \alpha \rangle +A^{-8}\langle \beta \rangle .$

综上可得：

$\begin{array}{c}\langle B\left(0\right)\rangle =A^2\langle I\rangle +AB\langle Q\rangle +BA\langle M\rangle +B^2\langle N\rangle \\ =\left(A^{10}+A^{-10}-A^6-A^{-6}\right)\langle \beta \rangle +\left(3-2A^4-2A^{-4}+A^8+A^{-8}\right)\langle \alpha \rangle \\ =-A^2-A^{-2}.\end{array}$

令 $T=A^{10}+A^{-10}-A^6-A^{-6},P=3-2A^4-2A^{-4}+A^8+A^{-8}$

则 $\langle B\left(0\right)\rangle$ 可简化表达为： $\langle B\left(0\right)\rangle =T\langle \beta \rangle +P\langle \alpha \rangle$。

其次计算 $\langle B\left(0,0\right)\rangle$， $B\left(0,0\right)$ 可以看成 $B\left(0\right)$ 和 $B\left(0\right)$ 沿着 $a,b$ 两段弧做特殊连通和得到的，如图11所示。

Figure 11

图11

由尖括号多项式运算法则，在计算 $B\left(0,0\right)$ 时可以先打开左侧 $B\left(0\right)$ 中所有交叉点，会得到 $\alpha$ 和 $\beta$ 两种投影图，再将这两种投影图分别与右侧 $B\left(0\right)$ 沿着 $a,b$ 两段弧做特殊的连通和。其中 $\alpha$ 与 $B\left(0\right)$ 沿着 $a,b$ 两段弧做特殊的连通和得到的投影图如图12所示，可知其仍为 $B\left(0\right)$ ； $\beta$ 与 $B\left(0\right)$ 沿着 $a,b$ 两段弧做特殊的连通和得到的投影图如图13所示。

Figure 12

图12

Figure 13

图13

因此 $\langle B\left(0,0\right)\rangle =P\langle \alpha \ast B\left(0\right)\rangle +T\langle \beta \ast B\left(0\right)\rangle$。

先计算，它可以看作两个相同的做连通和，接下来计算

综上， $\langle B\left(0,0\right)\rangle =P\langle B\left(0\right)\rangle +T{R}^2$。

同理求得 $\langle B\left(0,0,0\right)\rangle =P^2\langle B\left(0\right)\rangle +PT{R}^2+T{R}^4$。

$\langle B\left(0,0,0,0\right)\rangle =P\langle B\left(0,0,0\right)\rangle +T{R}^6=P^3\langle B\left(0\right)\rangle +P^{2}T{R}^2+PT{R}^4+T{R}^6$。

$\langle B\left(0,0,0,0,0\right)\rangle =P\langle B\left(0,0,0,0\right)\rangle +T{R}^8=P^4\langle B\left(0\right)\rangle +P^{3}T{R}^2+P^{2}T{R}^4+PT{R}^6+T{R}^8$。

$⋮$

由迭代法归纳得：

$\langle B\stackrel{n}{\stackrel{︷}{\left(0,0,\cdots ,0\right)}}\rangle =\{\begin{array}{l}-A^2-A^{-2}n=1\\ P^{n-1}\langle B\left(0\right)\rangle +T\cdot {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{P}^i{R}^{2\left[n-\left(i+1\right)\right]}}n\ge 2\end{array}$

将P、T、R代入上式，得：

$\langle B\stackrel{n}{\stackrel{︷}{\left(0,0,\cdots ,0\right)}}\rangle =\{\begin{array}{l}{\left(3-2A^4-2A^{-4}+A^8+A^{-8}\right)}^{n-1}\langle B\left(0\right)\rangle +\left(A^{10}+A^{-10}-A^6-A^{-6}\right)\\ \cdot {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n-2}{\sum }}{\left(3-2A^4-2A^{-4}+A^8+A^{-8}\right)}^i\cdot {\left(-A^{-3}-A^5+A^{-7}\right)}^{2\left[n-\left(i+1\right)\right]}n\ge 2}\\ -A^2-A^{-2}n=1\end{array}$