一类带有Dirichlet边界条件的分数阶对流弥散方程解的多重性

Multiple Solutions for a Class of Fractional Advection-Dispersion Equation with Dirichlet Boundary Conditions

摘要: 本文研究了带有Dirichlet边界条件的分数阶对流弥散方程耦合系统的多解问题。基于变分方法和一个三临界点定理，我们得到了该分数阶系统至少有三个解的结果。

Abstract: This article concerns multiple solutions for a coupled system of fractional advection-dispersion equation with Dirichlet boundary conditions. Using variational methods and a three-critical point theorem, we obtain that the fractional system has at least three solutions.

1. 引言

本文将研究如下带有两个参数的分数阶对流弥散方程耦合系统的多重解问题。

$\{\begin{array}{ll}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}{}_{0}D{}_t^{-\beta }\left(u^{\prime }\left(t\right)\right)+\frac{1}{2}{}_{t}D{}_T^{-\beta }\left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right)+\lambda F_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)+\mu G_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)=0,\hfill & a.e.t\in \left[0,T\right]\hfill \\ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}{}_{0}D{}_t^{-\eta }\left(v^{\prime }\left(t\right)\right)+\frac{1}{2}{}_{t}D{}_T^{-\eta }\left(v^{\prime }\left(t\right)\right)\right)+\lambda F_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)+\mu G_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)=0,\hfill & a.e.t\in \left[0,T\right]\hfill \\ u\left(0\right)=u\left(T\right)=0,v\left(0\right)=v\left(T\right)=0,\hfill & \hfill \end{array}$ (1)

其中， ${}_{0}D{}_t^{-\kappa }$ 和 ${}_{t}D{}_T^{-\kappa }$ 分别是 $\text{0}\le \kappa <1$ 阶的左、右Riemann-Liouville分数阶积分， $\lambda$ 和 $\mu$ 是两个正的实参数， $F\left(t,x,y\right)$， $G\left(t,x,y\right):\left[0,T\right]\times R^2\to R$，特别地，在 $t\in \left[0,T\right]$ 上，对每一个 $\left(x,y\right)\in R^2$， $F\left(\cdot ,x,y\right)$ 和 $G\left(\cdot ,x,y\right)$ 是连续函数，且在 $R^2$ 上，对任意的 $t\in \left[0,T\right]$， $F\left(t,\cdot ,\cdot \right)$ 和 $G\left(t,\cdot ,\cdot \right)$ 是 $C^1$ 函数，且 $F\left(t,0,0\right)=G\left(t,0,0\right)=0$， $F_s$， $G_s$ 分别表示F，G对s的偏导数。

近几年，关于非线性分数阶微分方程解的存在性和多重性问题被广泛的研究，目前，解决此类问题的一些主要方法包括不动点定理，重合度理论，上下解法，单调迭代法等 [1] [2] [3] [4]。除上述经典方法之外，变分方法和临界点理论已经成功地应用于研究非线性分数阶边值问题解的存在性和多重性问题，此方法对于研究一些复杂的分数阶微分方程具体重大的意义。然而，由于分数阶边值问题的临界点理论往往很难建立一个合适的空间和变分泛函，因此，迄今为止，变分方法和临界点理论应用于分数阶边值问题解的研究还很少 [5] [6] [7] [8] [9]。

在文献 [10] 中，作者研究了如下带有p-Laplacian算子的分数阶微分方程的边界值问题。

$\{\begin{array}{ll}{}_{t}D{}_b^{\alpha }\left(\frac{1}{a{\left(t\right)}^{p-2}}\phi \left(a\left(t\right){}_{a}D{}_t^{\alpha }u\left(t\right)\right)\right)=\lambda \left(f_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)+g_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\right),\hfill & t\in \left[a,b\right]\hfill \\ {}_{t}D{}_b^{\beta }\left(\frac{1}{a{\left(t\right)}^{p-2}}\phi \left(a\left(t\right){}_{a}D{}_t^{\beta }v\left(t\right)\right)\right)=\lambda \left(f_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)+g_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\right),\hfill & t\in \left[a,b\right]\hfill \\ u\left(a\right)=u\left(b\right)=0,v\left(a\right)=v\left(b\right)=0\hfill & \hfill \end{array}$ (2)

其中， $\left[a,b\right]$ 是任意有界区间， $\lambda$ 是一个非负的实参数， ${}_{a}D{}_t^{\alpha }$， ${}_{a}D{}_T^{\beta }$， ${}_{t}D{}_b^{\alpha }$ 和 ${}_{t}D{}_b^{\beta }$ 分别为 $\text{0}<\alpha ,\beta \le 1$ 阶的左、右Riemann-Liouville分数阶导数，函数 $a\left(t\right)$， $b\left(t\right)\in L^{\infty }\left(\left[a,b\right]\right)$，满足 $a_0=\text{ess}\underset{\left[a,b\right]}{\inf }a\left(t\right)>0$， $a^{\text{0}}=\text{ess}\underset{\left[a,b\right]}{\sup }a\left(t\right)>0$， $b_0=\text{ess}\underset{\left[a,b\right]}{\inf }b\left(t\right)>0$， $b^{\text{0}}=\text{ess}\underset{\left[a,b\right]}{\sup }b\left(t\right)>0$， ${\phi }_p\left(s\right)={\left|s\right|}^{p-2}s$， $p>1$，且 $f\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)$， $g\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right):\left[a,b\right]\times R^2\to R$ 为 $C^1$ 函数， $f_s$， $g_s$ 分别为f，g关于s的偏导数。首先在A-R条件下，作者证明了系统(2)存在无穷多个解，此外，在没有A-R条件的情况下，作者得出了系统(2)至少有一个非平凡解存在的结果。

在上述文献的启发之下，本文将利用变分法及一个三临界点定理研究系统(1)的多重解问题，为此，下文将会建立一个合适的函数空间以及系统(1)的变分结构。

2. 预备知识

在本文中 $\alpha =1-\frac{\beta }{2}\in \left(\frac{1}{2},1\right]$， $\delta =1-\frac{\eta }{2}\in \left(\frac{1}{2},1\right]$。

定义1令 $\text{0}<\tau \le \text{1}$， $\text{1}<p<\infty$，分数阶导数空间 $S_0^{\tau }$ 是空间 $C_0^{\infty }\left(\left[0,T\right],R\right)$ 的闭包，其范数定义如下

${\Vert w\Vert }_{\tau }={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\left|w\left(t\right)\right|}^p}\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^T{\left|{}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\left(t\right)\right|}^p}\text{d}t\right)}^{\frac{1}{p}},\forall w\in S_0^{\tau }$

显然，如果 $w\in S_0^{\tau }$，那么w， ${}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\in L^p\left(\left[0,T\right],R\right)$， $w\left(0\right)=w\left(T\right)=0$， $S_0^{\tau }$ 是一个自反可分空间。

命题2 ( [11])令 $\text{0}<\tau \le 1$， $\text{1}\le p<\infty$。对所有的 $w\in S_0^{\tau }$，有

${\Vert w\Vert }_{L^p}\le \frac{T^{\tau }}{\Gamma \left(\tau +1\right)}{\Vert {}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\Vert }_{L^p}$ (3)

此外，如果 $\tau >\frac{1}{p}$，且 $\frac{\text{1}}{p}+\frac{1}{q}=1$，那么

${\Vert w\Vert }_{\infty }\le \frac{T^{\tau -\frac{1}{p}}}{\Gamma \left(\tau \right){\left(\left(\tau -1\right)q+1\right)}^{\frac{1}{q}}}{\Vert {}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\Vert }_{L^p}$ (4)

由(4)可知，关于空间 $S_0^{\tau }$ 的范数有下面等式成立

${\Vert w\Vert }_{\tau }={\Vert {}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\Vert }_{L^p}={\left({\displaystyle {\int }_0^T{\left|{}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\right|}^p\text{d}t}\right)}^{\frac{1}{p}}$ (5)

命题3 ( [11])对于任意的 $w\in S_0^{\tau }$，则有

$\begin{array}{c}\left|\cos \left(\pi \tau \right)\right|{\displaystyle {\int }_0^T{\left|{}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\left(t\right)\right|}^2}\text{d}t\le -{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\left(t\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\tau }w\left(t\right)\right)\text{d}t}\\ \le \frac{1}{\left|\cos \left(\pi \tau \right)\right|}{\displaystyle {\int }_0^T{\left|{}_0{}^{c}D{}_t^{\tau }w\left(t\right)\right|}^2}\text{d}t\end{array}$ (6)

命题4 ( [11])令 $\text{0}<\tau \le 1$， $1<p<\infty$。设 $\tau >\frac{1}{p}$，当序列 $\left\{w_k\right\}$ 在空间 $S_0^{\tau }$ 上弱收敛w，那么在空间 $C_0^{\infty }\left(\left[0,T\right],R\right)$ 中， $\left\{w_k\right\}$ 强收敛到w，即 ${\Vert w_k-w\Vert }_{\infty }\to 0$，当 $k\to \infty$。

因此，对于任意的 $u\in S_0^{\alpha }$， $v\in S_0^{\delta }$，定义空间S表示空间 $S_0^{\alpha }\times S_0^{\delta }$，其范数定义为

${\Vert \left(u,v\right)\Vert }_S={\Vert u\Vert }_{\alpha }+{\Vert v\Vert }_{\delta }$

显然空间S是一个自反可分的Banach空间，且紧嵌入到空间 $X=C^0\left(\left[0,T\right],R\right)\times C^0\left(\left[0,T\right],R\right)$ 中。

我们考虑泛函 $T_{\lambda }:S\to R$，其定义为

$T_{\lambda }\left(u,v\right)=\Phi \left(u,v\right)-\lambda \Psi \left(u,v\right)$

其中：

$\Phi \left(u,v\right):=-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\text{d}t}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\delta }v\left(t\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\delta }v\left(t\right)\right)\text{d}t}$ (7)

$\Psi \left(u,v\right):={\displaystyle {\int }_0^{T}F\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)}+\frac{\mu }{\lambda }G\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\text{d}t$ (8)

显然， $\Phi$， $\Psi$ 是Gâteaux可微泛函，则对任意 $\left(x,y\right)\in S$，其在点 $\left(u,v\right)\in S$ 处的导数 ${\Phi }^{\prime }\left(u,v\right)$， ${\Psi }^{\prime }\left(u,v\right)\in S^{\ast }$ 分别为

$\begin{array}{c}{\Phi }^{\prime }\left(u,v\right)\left(x,y\right)=-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\alpha }x\left(t\right)\right)}+\left({}_t{}^{c}D{}_T^{\alpha }u\left(t\right),{}_0{}^{c}D{}_t^{\alpha }x\left(t\right)\right)\text{d}t\\ -\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\delta }v\left(t\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\delta }y\left(t\right)\right)}+\left({}_t{}^{c}D{}_T^{\delta }v\left(t\right),{}_0{}^{c}D{}_t^{\delta }y\left(t\right)\right)\text{d}t\end{array}$ (9)

$\begin{array}{c}{\Psi }^{\prime }\left(u,v\right)\left(x,y\right)={\displaystyle {\int }_0^T{F}_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\cdot x\left(t\right)+F_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\cdot y\left(t\right)}\\ +\frac{\mu }{\lambda }\left(G_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\cdot x\left(t\right)+G_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\cdot y\left(t\right)\right)\text{d}t\end{array}$ (10)

因此，如果 $\left(u,v\right)\in S$ 是等式 ${T^{\prime }}_{\lambda }\left(u,v\right):={\Phi }^{\prime }\left(u,v\right)-\lambda {\Psi }^{\prime }\left(u,v\right)$ 的解，那么 $\left(u,v\right)$ 是问题(1)的弱解。

定理5 [12] 令E是一个自反可分的实Banach空间，在其上定义一个单调、强制、半连续算子 $A:E\to E^{\ast }$，则下面的结果成立：

a) 如果算子A严格单调，那么其存在可逆算子 $A^{-1}:E^{\ast }\to E$，且 $A^{-1}$ 是严格单调、半连续、有界算子。

b) 如果算子A强单调，那么 $A^{-1}$ Lipschitz连续。

定理6 [13] 令E是一个自反可分的实Banach空间， $\Phi :E\to R$ 为序列弱下半连续、强制、连续Gâteaux可微算子，它的Gâteaux导数在空间 $E^{\ast }$ 上存在一个连续的逆算子， $\Psi :E\to R$ 是连续Gâteaux可微泛函，其Gâteaux导数是紧的，且 $\Phi \left(\text{0}\right)=\Psi \left(\text{0}\right)$。设存在 $\rho >0$， $\tilde{x}\in E$，使得 $\rho <\Phi \left(\tilde{x}\right)$，那么

i) $\underset{\Phi \left(x\right)\le \rho }{\sup }\Psi \left(x\right)<\rho \frac{\Psi \left(\tilde{x}\right)}{\Phi \left(\tilde{x}\right)}$ ；

ii) 对每个 $\lambda \in {\Lambda }_{\rho }:=\left(\frac{\Phi \left(\tilde{x}\right)}{\Psi \left(\tilde{x}\right)},\frac{\rho }{\underset{\Phi \left(x\right)\le \rho }{\sup }\Psi \left(x\right)}\right)$，泛函 $T_{\lambda }=\Phi -\lambda \Psi$ 是强制的，则对每个 $\lambda \in {\Lambda }_{\rho }$，泛函 $T_{\lambda }=\Phi -\lambda \Psi$ 在E上至少有三个不同的临界点。

3. 主要结果

引理7 令 $\frac{\text{1}}{\text{2}}<\alpha ,\delta \le 1$， $\left(u,v\right)\in S$。函数 $\Phi$， $\Psi$ 分别定义为式(7)，(8)，则 $\Phi :S\to R$ 是一个序列弱下半连续，强制，连续Gâteaux泛函可微，它的Gâteaux导数在空间 $S^{\ast }$ 上有一个连续的逆， $\Psi :S\to R$ 是一个连续的Gâteaux可微泛函，它的Gâteaux导数是紧的。

证明：事实上，由于S紧嵌入到X中，因此 $\Phi$ 是一个Gâteaux可微泛函，它在点 $\left(u,v\right)\in S$ 处的Gâteaux导数为 ${\Phi }^{\prime }\left(u,v\right)\in S^{\ast }$，可见式(9)。此外，从式(6)可知，当 $\Vert u\Vert \to +\infty$， $\Vert v\Vert \to +\infty$ 时，得

$\Phi \left(u,v\right)\ge \frac{1}{2}\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|{\Vert u\Vert }_{\alpha }^2+\frac{1}{2}\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|{\Vert v\Vert }_{\delta }^2\to +\infty$

从而可知泛函 $\Phi$ 是强制的。下面，我们将证明 ${\Phi }^{\prime }$ 在 $S^{\ast }$ 上有一个连续的逆，令 $U=\left(u,v\right)$， $V=\left(x,y\right)$，根据式(9)，得

$\begin{array}{l}\langle {\Phi }^{\prime }\left(U\right)-{\Phi }^{\prime }\left(V\right),U-V\rangle \\ =-{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\alpha }\left(u\left(t\right)-x\left(t\right)\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\alpha }\left(u\left(t\right)-x\left(t\right)\right)\right)\text{d}t}-{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\delta }\left(v\left(t\right)-y\left(t\right)\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\delta }\left(v\left(t\right)-y\left(t\right)\right)\right)\text{d}t}\\ \ge \left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|{\Vert u\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert }_{\alpha }^2+\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|{\Vert v\left(t\right)-y\left(t\right)\Vert }_{\delta }^2\\ >0\end{array}$

这表明 ${\Phi }^{\prime }$ 是严格单调的，又考虑到S是自反的，且在空间S中，当 $n\to \infty$ 时， $\left(u_n,v_n\right)\to \left(u,v\right)$，则在空间 $S^{\ast }$ 中，当 $n\to \infty$ 时， ${\Phi }^{\prime }\left(u_n,v_n\right)$ 弱收敛到 ${\Phi }^{\prime }\left(u,v\right)$，则 ${\Phi }^{\prime }$ 是半连续的，通过定理5，得到 ${\left({\Phi }^{\prime }\right)}^{-1}$ 存在且连续。此外，因为 $\Phi$ 是下半连续和凸的，那么它是序列弱下半连续泛函( [14] 定理1.2)。

考虑泛函 $\Psi$，显然，由式(8)，(10)可知， $\Psi$ 是连续的Gâteaux可微泛函，它的导数为 ${\Psi }^{\prime }:S\to S^{\ast }$。此外，对于固定的 $\left(u,v\right)\in S$，设 $\left\{\left(u_n,v_n\right)\right\}\subset S$，当 $n\to +\infty$ 时，在空间S中， $\left(u_n,v_n\right)$ 弱收敛到 $\left(u,v\right)$，那么 $\left(u_n,v_n\right)$ 一致收敛到 $\left(u,v\right)$，即

$\begin{array}{c}\underset{n\to +\infty }{\lim \sup }\Psi \left(u_n,v_n\right)\le {\displaystyle {\int }_0^T\underset{n\to +\infty }{\lim \sup }}\left(F\left(t,u_n,v_n\right)+\frac{\mu }{\lambda }G\left(t,u_n,v_n\right)\right)\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^{T}F\left(t,u,v\right)+\frac{\mu }{\lambda }G\left(t,u,v\right)\text{d}t}\\ =\Psi \left(u,v\right)\end{array}$ (11)

式(11)表明 $\Psi$ 是序列弱上半连续。另一方面，在 $R^2$ 上，对所有的 $t\in \left[0,T\right]$，由于 $F\left(t,\cdot ,\cdot \right)$， $G\left(t,\cdot ,\cdot \right)$ 是 $C^1$ 函数，那么它是连续函数，则当 $n\to +\infty$ 时， $F\left(t,u_n,v_n\right)\to F\left(t,u,v\right)$， $G\left(t,u_n,v_n\right)\to G\left(t,u,v\right)$，利用Lebesgue控制收敛定理， ${\Psi }^{\prime }\left(u_n,v_n\right)$ 强收敛到 ${\Psi }^{\prime }\left(u,v\right)$，则 ${\Psi }^{\prime }$ 在S上是强连续的，则 ${\Psi }^{\prime }$ 是紧算子，因此引理7得证。

我们给出了一些符号，这些符号将在后面的证明中使用。

$M:=\max \left\{\frac{T^{2\alpha -1}}{\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|{\Gamma }^2\left(\alpha \right)\left(2\alpha -1\right)},\frac{T^{2\delta -1}}{\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|{\Gamma }^2\left(\delta \right)\left(2\delta -1\right)}\right\}$

$c:=\min \left\{\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|,\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|\right\}$

${\varpi }_{\alpha ,\delta }:=\frac{{\Vert {\omega }_1\Vert }_{\alpha }^2}{2\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|}+\frac{{\Vert {\omega }_2\Vert }_{\delta }^2}{2\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|}$

$\xi \left(k\right):=\left\{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in R^2:\frac{1}{2}{\sigma }^{\text{2}}+\frac{1}{2}{\varsigma }^{\text{2}}\le k\right\}$

${\vartheta }_{\text{1}}:=\min \left\{\frac{k-M\lambda {\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }}F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}{M{G}^k},\frac{{\varpi }_{\alpha ,\delta }-\lambda {\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}F\left(t,d_1,d_2\right)\text{d}t}}{T{G}_d}\right\}$

定理8设存在正常数k和一个函数 $\omega \text{=}\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)$ 满足

$k<\frac{M}{2}c\left({\Vert {\omega }_1\Vert }_{\alpha }^2+{\Vert {\omega }_2\Vert }_{\delta }^2\right)$ (12)

且

(H1)对每一个 $\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\in \left[\text{0},T\right]\times \left[0,d_1\right]\times \left[0,d_2\right]$， $F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\ge 0$ ；

(H2) $\frac{{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}{k}<\frac{{\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}F\left(t,d_{\text{1}},d_2\right)\text{d}t}}{M{\varpi }_{\alpha ,\delta }}$

(H3) $\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}<\frac{{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}{\text{4}kT}\min \left\{\text{2}\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|-c,\text{2}\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|-c\right\}$

则，对任意的 $\lambda \in \Lambda :=\left({\lambda }_{\text{1}},{\lambda }_2\right)$，对每一个连续函数 $G:\left[0,T\right]\times R\times R\to R$，

$\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }G\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}<+\infty$

存在 $\vartheta >0$，对任意的 $\mu \in \left[\text{0},\vartheta \right)$，系统(1)至少存在三个解。其中：令 $\frac{z}{0}=+\infty$，且

${\lambda }_{\text{1}}:=\frac{{\varpi }_{\alpha ,\delta }}{{\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}F\left(t,d_1,d_2\right)\text{d}t}},{\lambda }_{\text{2}}:=\frac{k}{M{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }}F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}$

$\vartheta :=\min \left\{{\vartheta }_{\text{1}},\frac{1}{\max \left\{0,\frac{\text{4}TM}{c}\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }G\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}\right\}}\right\}$

证明：考虑到引理7，为了证明问题(1)存在多重解，我们只需要证明定理6的条件i)和ii)成立。令 $\left(u_0,v_0\right)=\left(0,0\right)$，则根据式(7)及(8)可知， $\Phi \left(\text{0},\text{0}\right)=\text{0}$， $\Psi \left(\text{0},0\right)=0$。

令 $\omega =\left({\omega }_{\text{1}}\left(t\right),{\omega }_2\left(t\right)\right)$，且

${\omega }_1\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{4d_1}{T}t,\hfill & t\in \left[0,\frac{T}{4}\right),\hfill \\ d_1,\hfill & t\in \left[\frac{T}{4},\frac{3T}{4}\right],\hfill \\ \frac{4d_1}{T}\left(T-t\right),\hfill & t\in \left(\frac{3T}{4},T\right],\hfill \end{array}{\omega }_2\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{4d_2}{T}t,\hfill & t\in \left[0,\frac{T}{4}\right)\hfill \\ d_2,\hfill & \begin{array}{c}\begin{array}{c}t\in \left[\frac{T}{4},\frac{3T}{4}\right]\end{array}\end{array}\hfill \\ \frac{4d_2}{T}\left(T-t\right),\hfill & t\in \left(\frac{3T}{4},T\right]\hfill \end{array}$

不难发现 ${\omega }_i\left(0\right)={\omega }_i\left(T\right)=0$， ${\omega }_i\in L^2\left(\left[0,T\right]\right)$， $i=1,2$。

通过计算，有

${}_0{}^{c}D{}_t^{\alpha }{\omega }_1\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{4d_1}{T\Gamma \left(2-\alpha \right)}{t}^{1-\alpha },\hfill & t\in \left[0,\frac{T}{4}\right)\hfill \\ \frac{4d_1}{T\Gamma \left(2-\alpha \right)}\left[t^{1-\alpha }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\alpha }\right],\hfill & t\in \left[\frac{T}{4},\frac{3T}{4}\right]\hfill \\ \frac{4d_1}{T\Gamma \left(2-\alpha \right)}\left[t^{1-\alpha }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\alpha }+{\left(t-\frac{3T}{4}\right)}^{1-\alpha }\right],\hfill & t\in \left(\frac{3T}{4},T\right]\hfill \end{array}$

${}_0{}^{c}D{}_t^{\delta }{\omega }_2\left(t\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{4d_2}{T\Gamma \left(2-\delta \right)}{t}^{1-\delta },\hfill & t\in \left[0,\frac{T}{4}\right)\hfill \\ \frac{4d_2}{T\Gamma \left(2-\delta \right)}\left[t^{1-\delta }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\delta }\right],\hfill & t\in \left[\frac{T}{4},\frac{3T}{4}\right]\hfill \\ \frac{4d_2}{T\Gamma \left(2-\delta \right)}\left[t^{1-\delta }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\delta }+{\left(t-\frac{3T}{4}\right)}^{1-\delta }\right],\hfill & t\in \left(\frac{3T}{4},T\right]\hfill \end{array}$

显然，在 $t\in \left[0,T\right]$ 上， ${}_0{}^{c}D{}_t^{\alpha }{\omega }_1\left(t\right)$， ${}_0{}^{c}D{}_t^{\delta }{\omega }_{\text{2}}\left(t\right)$ 是连续的，且

$\begin{array}{c}{\Vert {\omega }_{\text{1}}\Vert }_{\alpha }^{\text{2}}=\frac{16d_1^2}{T^2{\Gamma }^2\left(2-\alpha \right)}\{{\displaystyle {\int }_0^{\frac{T}{4}}{t}^{2-2\alpha }}\text{d}t+{\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}{\left[t^{1-\alpha }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\alpha }\right]}^2\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_{\frac{3T}{4}}^T{\left[t^{1-\alpha }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\alpha }+{\left(t-\frac{3T}{4}\right)}^{1-\alpha }\right]}^2\text{d}t}\}\end{array}$ (13)

$\begin{array}{c}{\Vert {\omega }_{\text{2}}\Vert }_{\delta }^{\text{2}}=\frac{16d_{\text{2}}^2}{T^2{\Gamma }^2\left(2-\delta \right)}\{{\displaystyle {\int }_0^{\frac{T}{4}}{t}^{2-2\delta }}\text{d}t+{\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}{\left[t^{1-\delta }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\delta }\right]}^2\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_{\frac{3T}{4}}^T{\left[t^{1-\delta }-{\left(t-\frac{T}{4}\right)}^{1-\delta }+{\left(t-\frac{3T}{4}\right)}^{1-\delta }\right]}^2\text{d}t}\}\end{array}$ (14)

令 $\rho =\frac{k}{M}$，则根据式(6)，(7)，(12)得

$\Phi \left({\omega }_{\text{1}},{\omega }_{\text{2}}\right)\ge \frac{1}{2}\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|{\Vert {\omega }_1\Vert }_{\alpha }^2+\frac{1}{2}\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|{\Vert {\omega }_2\Vert }_{\delta }^2>\frac{1}{2}c\left({\Vert {\omega }_1\Vert }_{\alpha }^2+{\Vert {\omega }_2\Vert }_{\delta }^2\right)>\rho$

接下来，证明定理6的条件i)成立。通过使用定理8的条件(H1)，以及 $\text{0}\le {\omega }_i\left(t\right)\le d_i$， $i=1,2$，得

$\begin{array}{c}\Psi \left({\omega }_{\text{1}},{\omega }_{\text{2}}\right)={\displaystyle {\int }_0^{T}F\left(t,{\omega }_1,{\omega }_2\right)}+\frac{\mu }{\lambda }G\left(t,{\omega }_1,{\omega }_2\right)\text{d}t\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}F\left(t,d_1,d_2\right)}+\frac{\mu }{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^{T}G\left(t,{\omega }_1,{\omega }_2\right)\text{d}t}\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}F\left(t,d_1,d_2\right)\text{d}t}+\frac{\mu }{\lambda }T{G}_d\end{array}$ (15)

其中， $G_d:=\underset{\left[0,T\right]\times \left[0,d_1\right]\times \left[0,d_2\right]}{\inf }G$，对于所有的 $d_1,d_2>0$，显然 $G_d\le 0$。

根据式(4)，(6)，(7)得

$\begin{array}{l}\left\{\left(u,v\right)\in X:\Phi \left(u,v\right)\le \rho \right\}\\ =\left\{\left(u,v\right)\in X:-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\alpha }u\left(t\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\alpha }u\left(t\right)\right)\text{d}t}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T\left({}_0{}^{c}D{}_t^{\delta }v\left(t\right),{}_t{}^{c}D{}_T^{\delta }v\left(t\right)\right)\text{d}t}\le \rho \right\}\\ \subseteq \left\{\left(u,v\right)\in X:\frac{\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|{\Gamma }^2\left(\alpha \right)\left(2\alpha -1\right)}{{\text{2T}}^{\text{2}\alpha \text{-1}}}{\Vert u\Vert }_{\infty }^2+\frac{\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|{\Gamma }^2\left(\delta \right)\left(2\delta -1\right)}{{\text{2T}}^{\text{2}\delta \text{-1}}}{\Vert v\Vert }_{\infty }^2\le \rho \right\}\\ \subseteq \left\{\left(u,v\right)\in X:\frac{{\left|u\left(t\right)\right|}^2}{2}+\frac{{\left|v\left(t\right)\right|}^2}{2}\le M\rho =k,\forall t\in \left[0,T\right]\right\}\end{array}$

因此，有

$\begin{array}{c}\frac{\underset{\Phi \left(u,v\right)\le \rho }{\sup }\Psi \left(u,v\right)}{\rho }\le \frac{{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t+\frac{\mu }{\lambda }{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }G\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}}{\frac{k}{M}}\\ =\frac{M}{k}\left({\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t+\frac{\mu }{\lambda }{G}^k}\right)\end{array}$

其中， $G^k:={\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }G\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}$，对 $\forall k>0$， $G^k\ge 0$。

如果 $G^k=0$，得

$\frac{\underset{\Phi \left(u,v\right)\le \rho }{\sup }\Psi \left(u,v\right)}{\rho }<\frac{1}{\lambda }$ (16)

如果 $G^k>0$，为了使式(16)仍然成立，得

$\mu <\frac{k-M\lambda {\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}{M{G}^k}$

另一方面，根据式(6)，(7)，显然

$\Phi \left({\omega }_{\text{1}},{\omega }_2\right)\le \frac{{\Vert {\omega }_1\Vert }_{\alpha }^2}{2\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|}+\frac{{\Vert {\omega }_2\Vert }_{\beta }^2}{2\left|\cos \left(\pi \beta \right)\right|}={\varpi }_{\alpha ,\delta }$ (17)

则由式(15)，(17)可知，

$\frac{\Psi \left(\omega \right)}{\Phi \left(\omega \right)}\ge \frac{{\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}F\left(t,d_1,d_2\right)\text{d}t}+\frac{\mu }{\lambda }T{G}_d}{{\varpi }_{\alpha ,\delta }}$

如果 $G_d=0$，得

$\frac{\Psi \left(\omega \right)}{\Phi \left(\omega \right)}\ge \frac{\text{1}}{\lambda }$ (18)

如果 $G_d<0$，为了使式(18)成立，得

$\mu <\frac{{\varpi }_{\alpha ,\delta }-\lambda {\displaystyle {\int }_{\frac{T}{4}}^{\frac{3T}{4}}F\left(t,d_1,d_2\right)\text{d}t}}{T{G}_d}$

因此，由式(16)，(18)可知，定理6的条件i)得证。

现在，我们验证定理6的条件ii)。为了证明泛函 $T_{\lambda }$ 的强制性，我们假设

$\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}\ge 0$

固定一个 $\epsilon$，使得下列不等式成立

$\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}<\epsilon <\frac{{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}{4kT}\min \left\{2\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|-c,2\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|-c\right\}$

则存在一个函数 ${\varphi }_{\epsilon }\left(t\right)\in L^1\left(\left[0,T\right]\right)$ 使得

$F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\le \epsilon \left({\sigma }^2+{\varsigma }^2\right)+{\varphi }_{\epsilon }(\; t\; )$

其中 $t\in \left[0,T\right]$， $\sigma ,\varsigma \in R$。那么由 $\lambda$ 的范围以及上式，对于每一个 $\left(u,v\right)\in S$，得

$\begin{array}{c}\lambda {\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{T}F\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\text{d}t}\le \lambda \left(\epsilon {\displaystyle {\int }_0^T\left(u^2\left(t\right)+v^2\left(t\right)\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\varphi }_{\epsilon }\left(t\right)\text{d}t}\right)\\ <\frac{k}{M{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}\left(\epsilon MT\left({\Vert u\Vert }_{\alpha }^2+{\Vert v\Vert }_{\delta }^2\right)+{\Vert {\varphi }_{\epsilon }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}\right)\end{array}$ (19)

由于 $\mu <\vartheta$，则有

$\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }G\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}<\frac{c}{4T\mu M}$

那么存在一个函数 ${\varphi }_{\mu }\in L^1\left(\left[0,T\right]\right)$，使得对每一个 $t\in \left[0,T\right]$， $\sigma ,\varsigma \in R$，有

$G\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\le \frac{c}{4T\mu M}\left({\sigma }^2+{\varsigma }^2\right)+{\varphi }_{\mu }(\; t\; )$

因此，我们有

${\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{T}G\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)\text{d}t}\le \frac{c}{4T\mu M}{\displaystyle {\int }_0^T{u}^2\left(t\right)+v^2\left(t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_0^T{\varphi }_{\mu }\left(t\right)\text{d}t}\le \frac{c}{4\mu }\left({\Vert u\Vert }_{\alpha }^2+{\Vert v\Vert }_{\delta }^2\right)+{\Vert {\varphi }_{\mu }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}$ (20)

则根据式(6)，(7)，(8)，(19)，(20)，当 ${\Vert \left(u,v\right)\Vert }_S\to +\infty$ 时，得

$\begin{array}{c}{T}_{\lambda }\left(u,v\right)\ge \frac{\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|}{2}{\Vert u\Vert }_{\alpha }^2+\frac{\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|}{2}{\Vert v\Vert }_{\delta }^2\\ -\frac{k}{M{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}\left(\epsilon MT\left({\Vert u\Vert }_{\alpha }^2+{\Vert v\Vert }_{\delta }^2\right)+{\Vert {\varphi }_{\epsilon }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}\right)\\ -\frac{c}{4}\left({\Vert u\Vert }_{\alpha }^2+{\Vert v\Vert }_{\delta }^2\right)-\mu {\Vert {\varphi }_{\mu }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}\end{array}$

$\begin{array}{l}\ge \left(\frac{\text{1}}{\text{2}}\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|-\frac{k\epsilon T}{{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}-\frac{c}{4}\right){\Vert u\Vert }_{\alpha }^2\\ +\left(\frac{\text{1}}{\text{2}}\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|-\frac{k\epsilon T}{{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}-\frac{c}{4}\right){\Vert u\Vert }_{\delta }^2\\ -\frac{k}{M{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}{\Vert {\varphi }_{\epsilon }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}-\mu {\Vert {\varphi }_{\mu }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}\\ \to +\infty \end{array}$

即泛函 $T_{\lambda }\left(u,v\right)=\Phi \left(u,v\right)-\lambda \Psi \left(u,v\right)$ 是强制的。

另一方面，如果

$\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,T\right]}{\sup }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}<0$

那么存在一个函数 ${\varphi }_{\epsilon }\in L^1\left(\left[0,T\right]\right)$，满足 $F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\le {\varphi }_{\epsilon }\left(t\right)$，对于每一个 $t\in \left[0,T\right]$， $\sigma ,\varsigma \in R$。和前面证明过程相似，当 ${\Vert \left(u,v\right)\Vert }_S\to +\infty$，我们可得到

$\begin{array}{c}{T}_{\lambda }\left(u,v\right)=\Phi \left(u,v\right)-\lambda \Psi \left(u,v\right)\\ \ge \left(\frac{\left|\cos \left(\pi \alpha \right)\right|}{2}-\frac{c}{4}\right){\Vert u\Vert }_{\alpha }^2+\left(\frac{\left|\cos \left(\pi \delta \right)\right|}{2}-\frac{c}{4}\right){\Vert v\Vert }_{\delta }^2\\ -\frac{k}{M{\displaystyle {\int }_0^T\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }}F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}{\Vert {\varphi }_{\epsilon }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}-\mu {\Vert {\varphi }_{\mu }\Vert }_{L^1\left(\left[0,T\right]\right)}\\ \to +\infty \end{array}$

在上述两种情况中， $T_{\lambda }\left(u,v\right)$ 的强制性成立，则定理6的条件ii)得证。

根据式(16)，(18)可知

$\lambda \in \Lambda \subseteq \left(\frac{\Phi \left(\omega \right)}{\Psi \left(\omega \right)},\frac{\rho }{\underset{\Phi \left(u,v\right)\le \rho }{\sup }\Psi \left(u,v\right)}\right)$

则根据定理6，泛函 $T_{\lambda }\left(u,v\right)$ 至少存在三个临界点，证明完成。

例子：令 $\beta =\text{0}\text{.8}$， $\eta =\text{0}\text{.4}$， $T=1$，则系统(1)变成下面的形式

$\{\begin{array}{ll}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}{}_{0}D{}_t^{-\text{0}\text{.8}}\left(u^{\prime }\left(t\right)\right)+\frac{1}{2}{}_{t}D{}_{\text{1}}^{-\text{0}\text{.8}}\left(u^{\prime }\left(t\right)\right)\right)+\lambda F_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)+\mu G_u\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)=0,\hfill & a.e.t\in \left[0,\text{1}\right]\hfill \\ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\frac{1}{2}{}_{0}D{}_t^{-\text{0}\text{.4}}\left(v^{\prime }\left(t\right)\right)+\frac{1}{2}{}_{t}D{}_{\text{1}}^{-\text{0}\text{.4}}\left(v^{\prime }\left(t\right)\right)\right)+\lambda F_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)+\mu G_v\left(t,u\left(t\right),v\left(t\right)\right)=0,\hfill & a.e.t\in \left[0,\text{1}\right]\hfill \\ u\left(0\right)=u\left(\text{1}\right)=0,v\left(0\right)=v\left(\text{1}\right)=0\hfill & \hfill \end{array}$ (21)

其中： $F\left(t,u,v\right)=\left(1+t\right)H\left(u,v\right)$， $G\left(t,u,v\right)=\left(1+t^2\right)K\left(u,v\right)$，

$\begin{array}{l}H\left(u,v\right):=\{\begin{array}{ll}{\left(u^2+v^2\right)}^2,\hfill & u^2+v^2\le 1,\hfill \\ \text{8}{\left(u^2+v^2\right)}^{\frac{1}{2}}-5{\left(u^2+v^2\right)}^{\frac{\text{1}}{\text{3}}},\hfill & u^2+v^2>1.\hfill \end{array}\\ K\left(u,v\right):=\{\begin{array}{ll}{\left(u^2+v^2\right)}^{\text{3}},\hfill & u^2+v^2\le 1,\hfill \\ \frac{\text{1}}{\text{2}}{\left(u^2+v^2\right)}^{\frac{1}{3}}+\frac{\text{1}}{\text{16}}{\left(u^2+v^2\right)}^{\frac{\text{1}}{\text{4}}},\hfill & u^2+v^2>1.\hfill \end{array}\end{array}$

显然，对所有的 $t\in \left[0,1\right]$， $F\left(t,0,0\right)=0$， $G\left(t,0,0\right)=0$，计算可得

$M=\max \left\{\frac{1}{\left|\cos \left(0.6\pi \right)\right|{\Gamma }^2\left(0.6\right)\times \text{0}\text{.2}},\frac{1}{\left|\cos \left(0.8\pi \right)\right|{\Gamma }^2\left(0.8\right)\times \text{0}\text{.6}}\right\}\approx \text{7}\text{.296}$

$c=\min \left\{\left|\cos \left(0.6\pi \right)\right|,\left|\cos \left(0.8\pi \right)\right|\right\}\approx 0.\text{3}09$

令

${\omega }_1:=\{\begin{array}{ll}t,\hfill & t\in \left[0,\frac{1}{4}\right),\hfill \\ \frac{1}{4},\hfill & t\in \left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]\hfill \\ 1-t,\hfill & t\in \left(\frac{3}{4},1\right].\hfill \end{array},{\omega }_2:=\{\begin{array}{ll}2t,\hfill & t\in \left[0,\frac{1}{4}\right),\hfill \\ \frac{1}{2},\hfill & t\in \left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]\hfill \\ 2\left(1-t\right),\hfill & t\in \left(\frac{3}{4},1\right].\hfill \end{array},$

则有 ${\Vert {\omega }_{\text{1}}\Vert }_{\text{0}\text{.6}}^{\text{2}}\approx \text{0}\text{.183}$， ${\Vert {\omega }_{\text{2}}\Vert }_{\text{0}\text{.8}}^{\text{2}}\approx \text{1}\text{.131}$， ${\varpi }_{\alpha ,\delta }\approx 0.995$，取 $\rho =\text{1}\times {\text{10}}^{-4}$，则 $k=\rho \times M\approx 7.296\times {10}^{-4}$，得

$\frac{M}{\text{2}}c\left({\Vert {\omega }_1\Vert }_{0.6}^2+{\Vert {\omega }_2\Vert }_{0.8}^2\right)\approx 1.481>k$

显然，对每一个 $\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\in \left[0,1\right]\times \left[0,\frac{1}{4}\right]\times \left[0,\frac{1}{2}\right]$， $F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\ge 0$，

且

$\text{0}\text{.004}\approx \frac{{\displaystyle {\int }_{\text{0}}^{\text{1}}\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}{k}<\frac{{\displaystyle {\int }_{\frac{\text{1}}{4}}^{\frac{3}{4}}F\left(t,d_{\text{1}},d_2\right)\text{d}t}}{M{\varpi }_{\alpha ,\delta }}\approx \text{0}\text{.01}$

$\begin{array}{c}\text{0}=\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,\text{1}\right]}{\sup }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}\\ <\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\text{1}}\underset{\left(\sigma ,\varsigma \right)\in \xi \left(k\right)}{\max }F\left(t,\sigma ,\varsigma \right)\text{d}t}}{\text{4}k}\min \left\{\text{2}\left|\cos \left(\text{0}\text{.6}\pi \right)\right|-c,\text{2}\left|\cos \left(\text{0}\text{.8}\pi \right)\right|-c\right\}\\ \approx \text{3}\text{.38}\times {\text{10}}^{\text{-4}}\end{array}$

$\underset{\left|\sigma \right|\to +\infty ,\left|\varsigma \right|\to +\infty }{\lim \sup }\frac{\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }G\left(t,\sigma ,\varsigma \right)}{{\sigma }^2+{\varsigma }^2}=0<+\infty$

则定理8的所有条件成立，即对任意的 $\lambda \in \left(13.5\text{85},31.31\right)$，这里取 $\lambda =\text{25}$，则对任意的 $\mu \in \left[\text{0},\text{4865}\text{.819}\right)$，系统(21)在空间S中至少有三个解。

致谢

感谢导师陈芳启教授的悉心指导！

基金项目

国家自然科学基金(11872201)。