基于GM(1,1)模型的潍坊市旅游人数预测

Prediction of the Number of Tourists in Weifang City Based on GM (1,1) Model

摘要: 随着社会的发展和人民生活水平的提高，人们越来越喜欢外出旅游。本文先简要概述了构建GM(1,1)模型的过程，然后以2011年至2019年潍坊市的旅游人数为基础，通过使用GM(1,1)预测模型和MATLAB软件来预测旅游人数，发现精度较高，同时预测了潍坊市未来五年的旅游人数，预测结果显示在未来五年潍坊市旅游人数仍呈递增趋势，并且2022年旅游人数有望突破1亿人。该预测结果对潍坊市旅游业的发展具有一定的反向指导和推动作用，为旅游部门的决策提供了一定的科学依据。

Abstract: With the development of society and the improvement of people’s living standard, people are more and more fond of traveling. This article first briefly summarizes the process of building GM(1,1) model, then based on the number of tourists in Weifang from 2011 to 2019, uses GM(1,1) prediction model and MATLAB software to predict the number of tourists. It is found that the accuracy is high. At the same time, it forecasts the number of tourists in Weifang in the next five years. The prediction results show that the number of tourists in Weifang is still increasing in the next five years, and the number of tourists in 2022 is expected to exceed 100 million people. The prediction results have a certain reverse guidance and promotion for the development of Weifang tourism, and provide a certain scientific basis for the decision-making of the tourism department.

1. 引言

潍坊地处中国华东地区、山东半岛中部，北濒渤海莱州湾，南依泰沂山脉，西与东营、淄博两市为邻，东与青岛、烟台两市相接，地扼山东内陆腹地通往半岛地区的咽喉，胶济铁路横贯市境东西。她有青州古城、沂山、青云山、十笏园、杨家埠民间艺术大观园、诸城恐龙博物馆等著名旅游景点，每年都有大量游客慕名而来，使得旅游人数逐年递增。因此，准确地预测潍坊市未来的旅游人数，对促进潍坊市旅游业的发展和规划有一定的实际价值和推动作用。

灰色系统是一种部分信息已知而部分信息未知的系统，该系统理论常用的预测模型是GM(1,1)模型，该模型的优点是可以利用较少的数据进行预测和分析，建模思想简单，公式较简洁，预测精度高等 [1]。本文将通过GM(1,1)模型来预测潍坊市未来五年的旅游人数。

2. GM(1,1)模型概述

对灰色系统建立的预测模型称为灰色模型，简称GM模型。它分为GM(1,1)、GM(1, N)等多种模型，其中GM(1,1)模型是系统预测的有效模型，本文的旅游人数预测就是应用的该模型。

2.1. 构建GM(1,1)预测模型的步骤 [2]

1) 设原始数列为

$x^{\left(0\right)}=\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right),x^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(0\right)}\left(n\right)\right)$ ；

2) 级比检验。求级比 $\lambda \left(k\right)$，

$\lambda \left(k\right)=\frac{x^{\left(0\right)}\left(k-1\right)}{x^{\left(0\right)}\left(k\right)},k=2,3,\cdots ,n$

如果所有的级比 $\lambda \left(k\right)$ 都落在可容覆盖 $\left({\text{e}}^{-\frac{2}{n+1}},{\text{e}}^{\frac{2}{n+2}}\right)$ 内，证明数列 $x^{\left(0\right)}$ 可以作为模型GM(1,1)的数据进

行灰色预测；

3) 数列 $x^{\left(0\right)}$ 的一次累加生成数列为

$x^{\left(1\right)}=\left(x^{\left(1\right)}\left(1\right),x^{\left(1\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$，

其中 $x^{\left(1\right)}\left(k\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{x}^{\left(0\right)}}\left(i\right)$， $k=1,2,\cdots ,n$ ；

4) 生成数列 $x^{\left(1\right)}$ 的邻均值生成数列 $z^{\left(1\right)}$。设邻均值生成数列为

$z^{\left(1\right)}=\left(z^{\left(1\right)}\left(2\right),z^{\left(1\right)}\left(3\right),\cdots ,z^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$，

其中 $z^{\left(1\right)}\left(k\right)=0.5x^{\left(1\right)}\left(k\right)+0.5x^{\left(1\right)}\left(k-1\right)$， $k=2,3,\cdots ,n$ ；

5) 构造数据矩阵B和数据向量 $Y_n$。

$B=\left[\begin{array}{cc}-z^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)& 1\end{array}\right]$， $Y_n=\left[\begin{array}{c}{x}^0\left(2\right)\\ x^0\left(3\right)\\ \\ x^0\left(n\right)\end{array}\right]$ ；

6) 将新数列 $x^{\left(1\right)}$ 的变化趋势近似用微分方程描述：

$\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}}{\text{d}t}+a{x}^{\left(1\right)}=u$，

其中a为发展系数，u为灰作用量，利用最小二乘法拟合得到：

$\left(\begin{array}{l}a\\ u\end{array}\right)={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y$ ；

7) 由微分方程的解法得微分方程的解为

${\bar{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{u}{a}\right){\text{e}}^{-ak}+\frac{u}{a}$ ；

8) 对数列 ${\bar{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)$ 作累减生成，然后进行预测，即

${\bar{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)={\bar{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)-{\bar{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right),k=1,2,\cdots$。

2.2. 模型精度检验

为了确定预测数据是否可靠，对 ${\bar{x}}^{\left(0\right)}\left(k+1\right)$ 进行精度检验，可利用残差检验的方法 [3]。先计算出残差序列 $\epsilon \left(k\right)=x^{\left(0\right)}\left(k\right)-{\bar{x}}^{\left(0\right)}\left(k\right)$，再计算相对误差序列 $Q\left(k\right)=\epsilon \left(k\right)/x^{\left(0\right)}\left(k\right)$。如果 $Q\left(k\right)<0.2$，则可认为达到一般要求；如果 $Q\left(k\right)<0.1$，则认为达到较高的要求。

3. GM(1,1)模型在旅游人数中的应用

潍坊市旅游资源丰富，拥有众多旅游景点，凭借优越的条件，得到了众多游客的青睐，旅游业的发展潜力巨大。我们将通过MATLAB 软件，运用GM(1,1)预测模型，利用2011年至2019年潍坊市旅游人数的原始数据，通过模型来预测2020年至2024年潍坊市的旅游人数。表1展示了潍坊市2011年至2019年的旅游人数，本数据来源于中国统计信息网，数据的准确性值得信赖。

Table 1. Number of tourists in Weifang from 2011 to 2019

表1. 潍坊市2011年至2019年的旅游人数

3.1. 潍坊市未来五年旅游人数预测

下面利用2011年至2019年潍坊市的旅游人数建立GM(1,1)模型。

1) 设原始数据列为

$x^{\left(0\right)}=\left(3631.5,4256.0,4735.2,5195.8,5611.5,6115.1,6805.5,7586.9,8240.1\right)$ ；

2) 计算级比 $\lambda \left(k\right)=\frac{x^{\left(0\right)}\left(k-1\right)}{x^{\left(0\right)}\left(k\right)},k=2,3,\cdots ,9$。代入数值，通过MATLAB软件计算得到

$\lambda =\left(\lambda \left(2\right),\cdots ,\lambda \left(9\right)\right)=\left(0.8533,0.8988,0.9114,0.9259,0.9176,0.8986,0.8970,0.9207\right)$，

所有级比都落在其可容覆盖区间(0.8187, 1.1994)内，证明数列 $x^{\left(\text{0}\right)}$ 可以建立GM(1,1)模型进行灰色预测；

3) 对原始数据 $x^{\left(\text{0}\right)}$ 做一次累加得

$x^{\left(1\right)}=\left(3631,7887,12623,17818,23430,29545,36351,43937,52178\right)$ ；

4) 生成数列 $x^{\left(1\right)}$ 的邻均值生成数列 $z^{\left(1\right)}$。计算可得：

$z^{\left(1\right)}=\left(\text{5759,10255,15221,20624,26488,32948,40144,48058}\right)$ ；

5) 生成数据矩阵B及数据向量 $Y_n$。

$B=\left[\begin{array}{cc}-z^{\left(1\right)}\left(2\right)& 1\\ -z^{\left(1\right)}\left(3\right)& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z^{\left(1\right)}\left(9\right)& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-5759& 1\\ -10255& 1\\ -15221& 1\\ -20624& 1\\ -26488& 1\\ -32948& 1\\ -40144& 1\\ -48058& 1\end{array}\right]$， $Y_n=\left[\begin{array}{c}{x}^0\left(2\right)\\ x^0\left(3\right)\\ ⋮\\ x^0\left(9\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\text{4256}\text{.0}\\ \text{4735}\text{.2}\\ \text{5195}\text{.8}\\ \text{5611}\text{.5}\\ \text{6115}\text{.1}\\ \text{6805}\text{.5}\\ \text{7586}\text{.9}\\ \text{8240}\text{.1}\end{array}\right]$ ；

6) 对 $x^{\left(1\right)}$ 建立微分方程：

$\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\text{d}t}+a{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)=u$。

利用MATLAB软件求得 $a=-0.0942$， $u=3718.3$ ；

7) 微分方程的解为

${\bar{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)=43089{\text{e}}^{0.0942k}-39458$ ；

8) 对数列 ${\bar{x}}^{\left(1\right)}\left(k+1\right)$ 作累减可得旅游人数的预测值，见表2。

Table 2. A comparison between the actual and predicted number of tourists in Weifang City

表2. 潍坊市旅游人数实际值与预测值对比

9) 精度检验

由表2可知，实际值与预测值比较接近，说明模型的拟合效果比较准确，而且利用MATLAB程序可得相对误差 $Q=\left(0,0.0005,0.0119,0.0105,0.0067,0.0151,0.0022,0.0121,0.0006\right)$，因为 $Q\left(k\right)<0.1$，所以该预测达到较高要求。

10) 经过GM(1,1)灰色模型预测分析，得到了潍坊市未来五年的旅游人数预测，见表3。

Table 3. Forecast of the number of tourists in Weifang in the next five years

表3. 未来五年潍坊市旅游人数预测

模型预测曲线见图1，呈现增长态势。从图中也可以看出，预测较好，精度较准。

Figure 1. Forecast curve of the number of tourists in Weifang

图1. 潍坊市旅游人数预测曲线

3.2. GM(1,1)预测模型的MATLAB代码

根据GM(1,1)模型的建模步骤，利用MATLAB软件进行相关计算，具体代码如下：

clear;clc;

%建立符号变量a(发展系数)和u(灰作用量)

syms a u;

c=[a u]';

%原始数列x0

x0=[3631.5 4256.0 4735.2 5195.8 5611.5 6115.1 6805.5 7586.9 8240.1];

n=length(x0);

%级比检验

Xle=exp(-2/(n+1));

Xre=exp(2/(n+2));

lambda=x0(1:end-1)./x0(2:end);

range=minmax(lambda);

if range(2) Xle

disp('所有的级比都落在可容覆盖区间，可以建立GM模型')

else

disp('没有通过级比检验')

end

%对原始数列 x0 做累加得到数列 x1

x1=cumsum(x0);

%对数列x1做紧邻均值生成

for i=2:n

z(i)=(x1(i) + x1(i-1))/2;

end

z(1)=[];

%构造数据矩阵

x1=[-z;ones(1,n-1)];

Y=x0; Y(1)=[];Y=Y';

%使用最小二乘法计算参数a(发展系数)和u(灰作用量)

c=inv(x1*x1')*x1*Y;

c=c';

a=c(1);

u=c(2);

%预测后续数据

F=[];F(1)=x0(1);

for i=2:(n+5)

F(i)=(x0(1)-u/a)/exp(a*(i-1))+ u/a;

end

%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据

G=[];G(1)=x0(1);

for i=2:(n+5)

G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据

end

disp('预测数据为：');

G

%模型检验

H=G(1:9);

%计算残差序列

epsilon=x0-H;

%计算相对误差序列

Q=abs(epsilon./x0);

Q

%绘制曲线图

t1=2011:2019;

t2=2011:2024;

plot(t1, x0,'ro'); hold on;

plot(t2, G, 'g-');

xlabel('年份/年'); ylabel('旅游人数/万人');

legend('原始数据','预测数据');

grid on;

4. 结论

1) 通过残差检验，证明了GM(1,1)模型预测精度高，具有较高的可信度，能够客观地反映目前潍坊市旅游人数呈逐年递增的总趋势。

2) 潍坊市旅游人数正处于逐年增长阶段，通过旅游人数的GM(1,1)预测模型知，未来五年潍坊市的旅游人数仍将持续增长，2022年旅游人数将突破1亿人。

3) 未来潍坊市应该重视旅游业的发展，通过旅游带动当地经济的进一步发展。旅游部门要加强旅游景点的相关建设，以容纳更多游客。

注：2020年旅游人数可能受新冠肺炎疫情的影响，导致实际值与预测值有较大出入，但该影响不会持续，预计2021年将恢复正常。