无穷维序列空间的Gel’fand宽度

Gel’fand Width of Infinite-Dimensional Sequence Space

摘要: 序列空间是一类重要的空间，很多函数类空间中的逼近问题转化为序列空间的逼近问题来处理。本文研究无穷维序列空间的Gel’fand宽度，并估计其精确渐近阶。

Abstract: Sequence space is a kind of important space; many approximation problems of function space are transformed into approximation problems of sequence space. The Gel’fand width of infinite- dimensional sequence space is discussed in this paper, and its sharp asymptotic order is estimated.

1. 引言及主要结果

序列空间是一类重要的空间，其逼近问题得到广泛而深入的研究。关于有限维空间的宽度问题，如Kolmogorov n-宽度，Gel’fand宽度，线性n-宽度等，取得了丰硕的成果 [1]，关于无穷维序列空间的熵数研究，也取得了丰硕的成果 [2] [3] [4]。众所周知，Gel’fand宽度与计算复杂性有密切的联系 [5]。本文研究无穷维序列空间的Gel’fand宽度。

下面，回顾无穷维序列空间：

用 $l_p\left(1\le p\le \infty \right)$ 表示赋予范数 ${\Vert •\Vert }_p$ 的经典无穷维序列空间。众所周知， $l_p$ 具有以下重要性质：

1) 对 $1\le p<q\le \infty$，有 $l_p\subset l_q$，反之不成立。

2) 对 $1\le p<\infty$， ${\left\{e_k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ 为 $l_p$ 的Schauder基。其中， $e_k\left(1\le k<\infty \right)$ 表示 $l_p$ 中第k个分量为1，其余分量为0的实序列。

对 $\forall 1\le p<\infty$， $x=\left\{x_k\right\}\in l_p$， $r\in ℝ$，令

$x^{\left(r\right)}={\left\{k^r{x}_k\right\}}_{k=1}^{\infty },$

$l_{p,r}:=\left\{x\in l_p|x^{\left(r\right)}\in l_p\right\}.$

易见， $l_{p,r}$ 为线性空间。对 $x\in l_{p,r}$，令

${\Vert x\Vert }_{p,r}:={\Vert x^{\left(r\right)}\Vert }_{l_p}.$

则 ${\Vert •\Vert }_{p,r}$ 为 $l_{p,r}$ 上的范数。以下用 $l_{p,r}$ 表示 $l_{p,r}$ 上赋予范数 ${\Vert •\Vert }_{p,r}$ 的赋范线性空间， $B_{p,r}$ 表示 $l_{p,r}$ 中的单位球。

由Hȍlder不等式知，对 $1\le q<p<\infty$，当 $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ 时， $l_{p,r}$ 可连续地嵌入 $l_q$ 中。本文讨论 $l_{p,r}$ 在 $l_q$ 中的Gel’fand宽度。

2. $l_{p,r}$ 在 $l_q$ ( $1\le q<p<\infty$, $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$ )中的Gel’fand宽度

定义1：设 $\left(X,\Vert •\Vert \right)$ 为赋范线性空间，A为X中非空子集， $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }=\left\{0,1,2,\cdots \right\}$，称

$d^n\left(A,X\right):=\underset{L^n}{\inf }\underset{x\in A\cap L^n}{\sup }\Vert x\Vert$

为A在X中的Gel’fand n-宽度。其中 $L^n$ 取遍X中余维数不超过n的所有线性子空间。本文用 $\text{codim}{L}^n$ 表示 $L^n$ 的余维数。

关于Gel’fand宽度的性质，可参阅Pinkus专著 [1]。

本文主要讨论 $l_{p,r}$ 在 $l_q$ 中的Gel’fand宽度精确阶，其中 $1\le q<p<\infty$， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$，这也是本文的主要结果。

定理1：设 $1\le q<p<\infty$， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$， $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则

$d^n\left(B_{p,r},l_q\right)\succ \prec n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}．$

其中，“ $\succ \prec$ ”定义如下： $c,c_i,i=0,1,\cdots$，表示仅与参数p，q，r相关的正常数。若对于正函数 $\mu \left(y\right)$ 和 $\nu \left(y\right)$， $y\in B$ (B是正函数 $\mu \left(y\right)$ 和 $\nu \left(y\right)$ 的定义域)，存在正常数 $c_1,c_2$，使得对任意的 $y\in B$，有 $\mu \left(y\right)\ge c_1\nu \left(y\right)$ 或者 $\mu \left(y\right)\le c_1\nu \left(y\right)$，则将其记为： $\mu \left(y\right)\gg \nu \left(y\right)$ 或者 $\mu \left(y\right)\ll \nu \left(y\right)$。若存在正常数 $c_3,c_4$，使得对任意的 $y\in B$，有 $c_3\le \mu \left(y\right)/\nu \left(y\right)\le c_4$，则记为： $\mu \left(y\right)\succ \prec \nu \left(y\right)$，即对任意的 $y\in B$，若 $\mu \left(y\right)\gg \nu \left(y\right)$ 和 $\mu \left(y\right)\ll \nu \left(y\right)$ 同时成立，则有 $\mu \left(y\right)\succ \prec \nu \left(y\right)$。

本文采用将无穷维序列空间的Gel’fand宽度转化为有限维空间的Gel’fand宽度来证明定理1，首先介绍有限维空间的Gel’fand宽度。

$1\le p\le \infty$，用 $l_p^m$ 表示在 ${ℝ}^m$ 上赋予通常范数 ${\Vert •\Vert }_{l_p^m}$ 的Banach空间，用 $B_p^m$ 表示 $l_p^m$ 中的单位球。易见， ${\left\{{e^{\prime }}_k\right\}}_{k=1}^m$ 为 $l_p^m$ 的基，其中 $e_k$ 表示 ${ℝ}^m$ 中第k个分量为1，其余分量为0的向量。有限维空间的Gel’fand宽度有如下结果：

命理2 [1]：设 $1\le q<p\le \infty$， $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，则

$d^n\left(B_p^m,l_q^m\right)=\{\begin{array}{l}{\left(m-n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}},0\le n\le m,\\ 0,n>m.\end{array}$

下面，建立估计定理1上界的引理。

对 $k\in \mathbb{N}=\left\{1,2,3,\cdots \right\}$，令

$S_k=\left\{n\in \mathbb{N}|2^{n-1}\le n<2^k\right\}.$

易见 $m_k:=\left|S_k\right|=2^{k-1}$。

引理3：设 $1\le q<p<\infty$， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$， $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$， $\left\{n_k\right\}$ 为非负整数序列，且 $n_k\le m_k$， ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k\le n}$，则

$d^n\left(B_{p,r},l_q\right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{d}^{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)}.$

证明：对 $\forall k\in \mathbb{N}$，令

$F_k=span\left\{e_n|n\in S_k\right\}.$

易见 $\dim F_k=m_k$。令

$I_k:F_k\to {ℝ}^{m_k},$

$x={\displaystyle \underset{j\in S_k}{\sum }{x}_j{e}_j}\mapsto {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m_k}{\sum }}{x}_{2^{k-1}+j-1}{e^{\prime }}_j}.$

则 $I_k$ 为 $F_k$ 到 ${ℝ}^{m_k}$ 上的线性同构映射。

对 $\forall x={\displaystyle \underset{j\in S_k}{\sum }{x}_j{e}_j}\in F_k$， $\forall y={\displaystyle \underset{j\in S_k}{\sum }{y}_j{e}_j}$，则

${\Vert x\Vert }_{p,r}={\left({\displaystyle \underset{j=2^{k-1}}{\overset{2^k-1}{\sum }}{\left|j^r{x}_j\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}\succ \prec 2^{kr}{\left({\displaystyle \underset{j=2^{k-1}}{\overset{2^k-1}{\sum }}{\left|x_j\right|}^p}\right)}^{\frac{1}{p}}=2^{kr}{\Vert I_{k}x\Vert }_{l_p^{m_k}},$ (1)

${\Vert y\Vert }_q={\Vert I_{k}y\Vert }_{l_q^{m_k}}.$ (2)

令

${\Delta }_k:l_p\to F_k\cap l_p,$

$x={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{\infty }{\sum }}{x}_j{e}_j}\mapsto {\displaystyle \underset{j=2^{k-1}}{\overset{2^k-1}{\sum }}{x}_j{e}_j}.$

为 $l_p$ 到 $F_k\cap l_p$ 上的投影。

由Gel’fand宽度的定义，存在 $l_q^{m_k}$ 中余维数为 $n_k$ 的线性子空间 $L^{n_k}$，使得

$d^{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)=\underset{x\in B_p^{m_k}\cap L^{n_k}}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q^{m_k}}.$ (3)

易见， $T^{n_k}:=I_k^{-1}{L}^{n_k}$ 为 $l_q$ 中余维数为 $n_k$ 的线性子空间，由(1) (2) (3)式可得

$\underset{\begin{array}{c}x\in B_{p,r}\\ {\Delta }_{k}x\in T^{n_k}\end{array}}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q}\ll 2^{-rk}\underset{x\in B_p^{m_k}\cap L^{n_k}}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q^{m_k}}=2^{-rk}{d}^{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right).$ (4)

令 $T^n:={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{T}^{n_k}}$，其和为直和。易见

$\text{codim}{R}^n\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\text{codim}{T}^{n_k}}\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k}\le n.$

从而

$d^n\left(B_{p,r},l_q\right)\le \underset{x\in B_{p,r}\cap T^n}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q}\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\underset{{\Delta }_{k}x\in T^{n_k}}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q}}\le {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-kr}{d}^{n_k}}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)．$

下面，建立估计定理1下界的引理。

引理4：设 $1\le q<p<\infty$， $r>\frac{1}{q}-\frac{1}{p}$， $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$， $k^{\prime }=\left[{\log }_{2}n\right]+1$， $k=k^{\prime }+2$，则

$d^n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg 2^{-r{k}^{\prime }}{d}^n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right).$

证明：易见 $m_k\ge n$，且

$d^n\left(B_{p,r},l_q\right)\ge d^n\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\right).$

由Gel’fand宽度的定义，存在 $l_q\cap F_k$ 的余维数为n的线性子空间 $T^n$，使得

$d^n\left(B_{p,r}\cap F_k,l_q\right)=\underset{x\in B_{p,r}\cap F_k\cap T^n}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q}．$

令 $L^n=I_k{T}^n$，则 $L^n$ 为 $l_q^{m_k}$ 中余维数为n的线性子空间，由Gel’fand宽度的定义及(1) (2)有

$d^n\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\le \underset{x\in B_p^{m_k}\cap L^n}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q^{m_k}}\ll 2^{kr}\underset{x\in B_{p,r}\cap F_n\cap T^n}{\sup }{\Vert x\Vert }_{l_q}=2^{kr}{d}^n\left(B_{p,r},l_q\right)$

即

$d^n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg 2^{-kr}{d}^n\left(V_p^{m_k},l_q^{m_k}\right).$

定理1的证明

1. 定理1上界的证明：

令 $k^{\prime }=\left[{\log }_{2}n\right]+1$。对 $k\in \mathbb{N}$，令

$n_k=\{\begin{array}{l}{m}^k,1\le k\le k^{\prime }\\ \left[n{2}^{k^{\prime }-k}\right],k>k^{\prime }\end{array}$

则 ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{n}_k\le n}$，由引理3及命理2知

$\begin{array}{c}{d}^n\left(B_{p,r},l_q\right)\ll {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{d}^{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)}={\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{d}^{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)}\\ \le {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{m}_k^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}}\le {\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{-rk}{2}^{\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)k}=}{\displaystyle \underset{k=k^{\prime }}{\sum }{2}^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k}}\\ \ll 2^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k^{\prime }}\ll n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}\end{array}$

2. 定理1下界的证明：

令 $k^{\prime }$ 与k为满足引理4的 $k^{\prime }$ 与k，则由引理4和命题1知

$\begin{array}{c}{d}^n\left(B_{p,r},l_q\right)\gg 2^{-rk}{d}^{n_k}\left(B_p^{m_k},l_q^{m_k}\right)\gg 2^{-r{k}^{\prime }}{\left(m_k,n\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\\ \gg 2^{-rk}{\left(2^{k-1},2^{k^{\prime }}\right)}^{\frac{1}{q}-\frac{1}{p}}\gg 2^{-r{k}^{\prime }}{2}^{\left(\frac{1}{q}-\frac{1}{p}\right)k^{\prime }}\\ =2^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)k^{\prime }}\gg n^{-\left(r-\frac{1}{q}+\frac{1}{p}\right)}\end{array}$

综上所述，定理1得证。