1. 引言
本文考虑一类带有p(x)-Laplacian算子的Kirchhoff方程
(1)
正解的存在性与多重性,其中
,
是光滑有界区域,
是p(x)- Laplacian算子,参数
,
。
本文的方程满足如下条件:
(H1) 对于
,
,
。
(H2)
,
。
(H3)
,
。
(H4)
,其中
,
,
。
对于Kirchhoff类型方程的研究一直是偏微分方程中的重要课题。Huang等在 [1] 中利用山路引理讨论了方程(1)在p(x)=p和权函数非负的情况下正解的存在性。当权函数f(x),g(x)变号时, [2] [3] 中利用Nehari流形分解的方法得到了正解的存在性与多重性。对于带有变号权函数的p(x)-Laplacian方程正解的存在性与多重性结果可参见 [4] [5]。
本文的主要结果如下:
定理1.1:若假设(H1)~(H4)成立,则存在
,使得当
时方程(1)存在至少两个正解。
2. 预备知识与变分框架
对
,变指数Lebesgue空间
定义为:
其范数定义为:
记E为Sobolev空间
,其范数
,空间E是自反可分的Banach空间。
命题2.1 [6] 设
和
是可测函数使得对a.e.
有
以及
,设
,则有
命题2.2 [6] 若
,且
,
,则
是紧嵌入且连续的。
根据假设条件(H4),易知对
有
以及
其中
与
分别是
与
的共轭指数。因此
和
是紧嵌入且连续的。
由Hölder不等式及Sobolev嵌入可以得到,当
时下列不等式成立:
(2.1)
(2.2)
定义2.3若对任意
,下列积分恒等式成立,则称
是方程(1)的弱解
方程(1)的能量泛函
表示为
(2.3)
当
时,有
根据假设(H4)有
,由此可知
在空间E中不是下方有界的。因此,我们在下面的Nehari流形中考虑问题,其定义为
显然,其中的点为
的临界点。若
当且仅当
(2.4)
对
,有
(2.5)
将
分解为
3. 预备引理
引理3.1 存在
,使得对
,
。
证明:假设
,
以及
使得
。根据(2.1),(2.2),(2.4)以及假设(H4)可以得到
因此,
(3.1)
同样的,
因此,
(3.2)
若
足够的小,例如
结合式(3.1)和(3.2)可知
,与假设矛盾。因而可以得到当
时
。
由上面引理可知,当
时,
。记
,
。
引理3.2 泛函
在流形
上是强制和下方有界的。
证明:设
,
。通过式(1.1)、(2.2)以及假设(H4)可以得到
根据假设(H4),可以得到
时,
。因此泛函
在流形
上是强制和下方有界的。
定理3.3 假设
是
在流形
上的局部极小值或局部最大值,且
,则
是
的临界点。
证明:若
是
在流形
上的局部极值,由Lagrange乘数法可知,存在
使得
。因此,
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x117_hanspub.png)
由于
,
,而
,
。因此可得
,即
。
引理3.4 若
,
,则
。
证明:由于
,可以得到
(3.3)
我们将式(2.4) × (
)后与式(3.3)相加,可得
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x130_hanspub.png)
因此
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x131_hanspub.png)
则有,
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x132_hanspub.png)
引理3.5 若
,则
在
中存在极小值
,且
。
证明:由引理3.2可知
在
上是有界的,所以存在序列
使得
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x141_hanspub.png)
由于
是强制的,
在空间E中是有界的,我们假设在E中
,根据Sobolev嵌入可以得到
在
中,![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x146_hanspub.png)
以及
在
中,![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x148_hanspub.png)
接下来,我们证明在空间E中
。假设在E中
,则有
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x151_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x152_hanspub.png)
根据Sobolev紧嵌入,有
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x153_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x154_hanspub.png)
根据
以及式(2.1),
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x156_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x157_hanspub.png)
因此,
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x158_hanspub.png)
根据条件(H4),当
时,
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x160_hanspub.png)
而引理3.4表明当
时
,由此得到矛盾。
所以在空间E中
以及
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x164_hanspub.png)
因此,
是
在
中的极小值。
引理3.6 若
,
,则
。
证明:设
,通过
定义式(2.3)以及式(2.4)可得
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x173_hanspub.png)
若选择
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x174_hanspub.png)
则有
。基于
以及
,通过引理3.4可知
。
引理3.7 若
,则
在
中存在极小值
,且
。
证明:由引理3.2可知
在
上是有界的,所以存在极小化序列
使得
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x187_hanspub.png)
由于
是强制的,
在空间E中是有界的,假设在E中
,根据Sobolev嵌入可以得到
在
中,![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x192_hanspub.png)
以及
在
中,![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x194_hanspub.png)
若
,则存在常数
使得
以及
。
根据式(2.5),有
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x199_hanspub.png)
根据条件(H4),可以得到
。因此根据
的定义,知
。
接下来,我们证明在空间E中
。假设在E中
,则有
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x205_hanspub.png)
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x206_hanspub.png)
可得
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x207_hanspub.png)
因此,
是
在
中的极小值。
定理1.1的证明:通过引理3.4和引理3.6可知存在
以及
使得
![](//html.hanspub.org/file/12-2621186x213_hanspub.png)
由于
以及
,可知
为非负解。由定理3.3,
是
空间E中的临界点,因此
是方程(1)的弱解。再由Harnack不等式 [7],
是方程(1)的正解。
致谢
作者对审稿人表示衷心的感谢。